M´ecanique des fluides - Bachelor 2016- TD 3
Th´ eor` eme de Buckingham-Π
Exercice 1
On ´etudie un seuil `a paroi mince, avec un d´eversoir de forme triangulaire (angle φ) comme le montre la figure 1. Ce d´eversoir contrˆole le d´ebit dans un canal ; l’eau est d´evers´ee dans un canal en contrebas, qui n’a aucune action en retour sur l’´ecoulement amont (seuil d´enoy´e). La hauteur d’eau au niveau du d´eversoir estH. Le d´ebitQtransitant est fonction deH, de la vitesseV `a l’approche du d´eversoir (resserrement des lignes de courant dˆu `a la contraction de la section d’´ecoulement), de l’acc´el´eration de la gravitationg, et naturellement de l’angle d’ouvertureφ. A l’aide du th´eor`eme Π, identifiez les nombres adimensionnels qui d´ecrivent le probl`eme.
H
φ
Figure1 – d´eversoir mince.
Exercice 2
La jet´ee couvrant la rade d’un port est expos´ee `a un syst`eme de vagues venant du large et ayant pour p´eriode T = 7,5 s. Afin d’´etudier le comportement de cette jet´ee, on r´ealise une maquette au 1/20. Quelle p´eriode doit on donner au syst`eme de vagues artificiellement produit pour r´ealiser la similitude dynamique ? On rappelle que l’on d´efinit la c´eelirit´ee des ondes en eau peu profonde par : c=√
gh=Tλ.
Figure2 – La jet´ee
Exercice 3
Une soci´et´e poss´edant un bassin de car`ene vous propose de construire un mod`ele r´eduit `a l’´echelle 1/10 du navire que vous souhaitez r´ealiser, cela afin de d´eterminer la traˆın´ee directement `a partir des essais sur le mod`ele r´eduit.
1. Sachant que le navire se d´eplacera `a une vitesse de croisi`ereUc, calculez `a quelle vitesseUmdevront ˆetre men´es les essais avec la maquette dans le bassin.
2. La force de train´ee est la force qu’exerce l’´ecoulement sur le bateau. On d´emontre qu’elle est proportion- nelle `a ρU2S, o`uS est l’air de la section en vue de face en contact avec l’eau. On noteFmla norme de la force de train´ee ressentie par la maquette et F celle de la force de train´ee du mod`ele r´eel. Quel lien y a-t-il entre ces deux forces ? Commentez.
1
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Figure 3 – Le bateau
Exercice 4
Une maquette de digue `a l’´echelle 1/20 est constitu´ee d’un empilement de blocs en b´eton de masse 1 kg.
Cette digue est cens´ee prot´eger un port contre la houle. On a observ´e qu’il n’y avait aucun dommage tant que la hauteurH de la houle ne d´epassait pas 30 cm sur le mod`ele r´eduit. Quel doit ˆetre le poids minimal des blocs en b´eton pour que la digue r´esiste `a une houle g´eom´etriquement et dynamiquement similaire `a celle du mod`ele r´eduit sachant que la houle peut atteindre 6 m en hauteur ?
Indications : Supposez que le soul`evement d’un corps expos´e aux vagues intervient lorsque Fp/Fa = avec Fp le poids du corps, Fa la force d’arrachement due `a l’eau et une constanteind´ependantede l’´echelle . En premi`ere approximation on consid´erera que Fa est proportionnelle `a la surface apparente du corps et au carr´e de la vitesse de l’eau (Fa∝U2L2 avec U la vitesse de l’eau etLla longueur caract´eristique du corps). Egalisez ensuite les nombres de Froude.
mer digue
H
Figure4 – merlon de protection contre la houle.
Exercice 5
Vous ˆetes charg´es d’´etudier en laboratoire la chute de pression par unit´e de longueur dans un tuyau de section circulaire.
1. Identifiez les param`etres qui contrˆolent cet ´ecoulement ? Sans utiliser le th´eor`eme Buckimgham-Π, quel plan d’exp´erience envisageriez-vous pour r´ealiser cette exp´erience ?
2. Utilisez maintenant le th´eor`eme Pi pour connaitre les nombres sans dimensions sur lesquelles se construit le ph´enom`ene physique. Quel plan d’exp´erience peut-on maintenant envisager ?
3. Ci-dessous (Figure 5) est trac´e le diagramme de Moody, c´el`ebre ing´enieur am´ericain qui a trac´e `a partir d’exp´eriences l’´evolution du coefficient de frottement de Darcy-Weissbach d´efini par :
f = 2d ρV2l∆P en fonction deRe pour un tube cylindrique de diam`etre d.
A la lumi`ere de vos trouvailles avec le th´eor`eme Π, expliquez l’int´erˆet de ce graphique ? voit-on un degr´e de libert´e suppl´ementaire ? indiquez le nombre d’exp´eriences n´ecessaires pour d´ecrire le ph´enom`ene pour Re >>105et avec une rugosit´e de D = 0.03
Exercice 6 :
Dans un fluide en ´ecoulement, on introduit une plaque. Celle-ci est plac´ee perpendiculairement au flux, elle est rectangulaire de largeur wet de hauteur h. Supposez que la traˆın´ee exerc´ee par le fluide sur la plaque est une fonction dew,h,µ(viscosit´e du fluide),ρ(densit´e du fluide) etv(vitesse du fluide). D´eterminez les termes Π n´ecessaires `a l’´etude exp´erimentale de ce probl`eme.
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Figure5 – Diagramme de Moody
Exercice 7
Figure 6 – Dinde
Une dinde sera cuite `a point lorsque la temp´erature en son centre atteint une valeurTcdonn´ee (mesur´ee avec une sonde). Pour permettre l’estimation du temps de cuissontc les livres de cuisines traditionnels indiquent le nombre de minutes de cuisson par kilogramme de dinde, quand celle-ci est plac´ee dans un four `a temp´erature Tf constante et uniforme. Par exemple : “pour une dinde de 3 `a 4 kg, il faut compter environ 50 mn par kg.”
1. Nous avons une dinde de 6 `a 7 kg, estimer alors le temps de cuissontc en consid´erant que le temps de cuisson est lin´eaire avec le poids de la dinde. Qu’en pensez vous ?
On souhaite affiner cette premi`ere approche. Une analyse dimensionnelle de la cuisson de la dinde doit nous permettre de d´eterminer la relation entre le temps de cuisson et la tailleLde la volaille. Le transfert de chaleur dans la dinde se fait par conduction donc le temps de cuisson tc d´epend notamment de la longueur L, de la diffusivit´e thermiqueχ de la chair ainsi que de la temp´erature que l’on veut atteindreTc en comparaison avec la temp´erature du fourTf.
Pour rappel, voici l’´equation de la chaleur qui est ici pour vous aider `a percevoir le lien entre ces diff´erentes grandeurs (il ne faut pas la r´esoudre) :
∂T
∂t =χ∂2T
∂x2 (1)
2. Utiliser le th´eor`eme de Buckingham-Π pour ´etablir une relation g´en´erale reliant la temp´erature dans la dinde au temps pass´e dans le four et aux param`etres sans dimensions du probl`eme.
3. En supposant que, quand elles grossissent, les dindes restent g´eom´etriquement semblables et gardent les mˆemes valeurs deρet deχ, trouver la relation entre masse et temps de cuisson dans un four `a temp´eratureTf. 4. Application num´erique : dans ces conditions, quel est le temps de cuisson par livre d’une dinde de 6 `a 7 kg ? Comparer le temps de cuisson n´ecessaire avec celui trouv´e en 1.
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