Sommes des chiffres de multiples d'entiers

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Sommes des chiffres de multiples d’entiers

Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Cécile Dartyge, Gérald Tenenbaum. Sommes des chiffres de multiples d’entiers. Annales de l’Institut

Fourier, Association des Annales de l’Institut Fourier, 2005, 55, no. 7, pp.2423-2474. �hal-00091831v2�

55, 7 (2005), 2423–2474.

Sommes des chiffres de multiples d’entiers

C´ ecile Dartyge & G´ erald Tenenbaum

Sommaire

1 Introduction. . . . 1

2 Enonc´´ es des r´esultats. . . . 4

2.1 Valeurs deα·sq(hn) et majorations de|Gr(x, y;ϑ;α,h,k)|. . . . 4

2.2 Quelques pas vers la conjecture de Gelfond et d’autres applications du Th´eor`eme 2.5. . . . 9

2.3 Applications aux progressions arithm´etiques. . . . 11

2.4 Valeurs moyennes `a coefficients multiplicatifs. . . . 13

3 Un r´esultat d’espacement et d’autres estimations pr´eliminaires. . . . 14

4 Version effective d’un r´esultat de Solinas : preuve du Th´eor`eme 2.3.. . . . 19

5 Applications aux sommes d’exponentielles. . . . 23

6 Grandes d´eviations pour la loi binomiale. . . . 24

7 Preuve du Th´eor`eme 2.1. . . . 27

8 Preuve du Th´eor`eme 2.5. . . . 31

9 Applications du Th´eor`eme 2.5 : preuves des r´esultats ´enonc´es au§2.2. . . . 32

9.1 Preuve du Th´eor`eme 2.6. . . . 32

9.2 Preuve du Th´eor`eme 2.7. . . . 33

9.3 Preuve du Th´eor`eme 2.8. . . . 33

9.4 Preuve du Th´eor`eme 2.9. . . . 34

10 Sommes des chiffres et progressions arithm´etiques. . . . 34

11 Sommes des chiffres et fonctions multiplicatives. . . . 38

1. Introduction

Soit q un entier au moins ´ egal ` a 2. Pour n ∈ N , notons s

(n) la somme des chiffres de n en base q.

Dans les derni` eres d´ ecennies, de nombreuses recherches ont port´ e sur la r´ epar- tition asymptotique de la fonction vectorielle

n → s

(hn) :=

s

(h

n), . . . , s

(h

n)

(h := (h

, . . . , h

) ∈ N

) On pourra notamment consulter les travaux de Stolarsky [22], Schmidt [18], Schmid [17] pour le cas q = 2.

Dans [17] (th´ eor` eme 1.1, p. 392), Schmid donne en particulier, pour h ∈ N

et a ∈ Z

fix´ es, une estimation asymptotique du cardinal de l’ensemble

{ 0 n x : s

(hn) = a }

lorsque x → ∞ .

D’autres informations sur la loi limite du vecteur s

(hn) peuvent ˆ etre d´ eduites des r´ esultats g´ en´ eraux de Indlekofer et Katai [11], [12], concernant les valeurs moyennes de fonctions de la forme n → g

(h

n) · · · g

(h

n) o` u les g

(1 j k) sont des fonctions q-multiplicatives

de module 1 : en effet, le choix g

(n) := e

avec t

∈ R fournit la transform´ ee de Fourier multidimensionnelle de la loi de r´ epartition de s

(hn).

Tous ces r´ esultats sont valables uniquement lorsque le vecteur ` a coordonn´ ees enti` eres h est fix´ e. La d´ elicate question de la d´ ependance en h des termes d’erreurs et des constantes implicites n’y est pas abord´ ee.

L’objet principal de ce travail consiste ` a pr´ eciser quantitativement, y compris du point de vue de l’uniformit´ e en h ∈ N

, le degr´ e d’ind´ ependance asymptotique des suites n → s

(h

n) et d’un caract` ere additif ou multiplicatif.

Un contrˆ ole effectif du param` etre h s’av` ere en effet crucial pour de nombreuses applications arithm´ etiques.

Pour h := (h

, . . . , h

) ∈ N

, k ∈ N

, α ∈ R

, ϑ ∈ R , nous introduisons les produits scalaires

α · s

(hn) =

1jr

α

s

(h

n), α · s

(hn + k) =

1jr

α

s

(h

n + k

).

Comme s

(qn) = s

(n) pour tout entier n, nous pouvons sans perte de g´ en´ eralit´ e restreindre l’´ etude de n → α · s

(hn) au cas o` u q h

pour 1 j r. Par commodit´ e, nous appliquons cette mˆ eme restriction au cas de n → α · s

(hn + k).

Posons e(t) := exp(2iπt) (t ∈ R ). Une mesure de l’ind´ ependance asymptotique

´

evoqu´ ee plus haut est fournie, dans le cas d’un caract` ere additif, par la majoration des sommes

longues

(1 · 1) G

(x; ϑ) = G

(x; ϑ; α, h) :=

nx

e

α · s

(hn) + ϑn ,

et

courtes

G

(x, y; ϑ) = G

(x, y; ϑ; α, h) := G

(x + y; ϑ; α, h) − G

(x; ϑ; α, h).

Pour des raisons pr´ ecis´ ees plus loin, nous nous int´ eressons ´ egalement ` a la somme G

(x, y; ϑ; α, h, k) :=

x<nx+y

e

α · s

(hn + k) + ϑn .

1. Une fonctionq-multiplicative g est une fonction arithm´etique v´erifiant g(a+q^tb) =

g(a)g(q^tb) pour tous nombres entiersa0,b0,t0 tels quea < q^t.

2. Comme on le verra dans l’´enonc´e du Th´eor`eme 2.12infra, nous englobons le cas d’un caract`ere multiplicatifdans celui, plus g´en´eral, d’une fonction multiplicative `a valeurs dans le disque unit´e.

Lorsque r = 1, nous avons (1 · 2) G

q

− 1; ϑ; α, 1

=

n<q^K

e(αs

(n) + ϑn) =

0k<K

0d<q

e

d(α + ϑq

) .

En exploitant cette identit´ e, Gelfond [9] a ´ etabli, pour chaque entier m 1, l’existence d’une constante λ = λ

∈ ]0, 1[ telle que l’on ait, uniform´ ement pour 1 j < m, (m, q − 1) = 1, ϑ ∈ R , h ∈ N

,

(1 · 3) G

(x; ϑ; j/m; h) (hx)

.

Il a en outre montr´ e que, λ

= (log 3)/ log 4 ; cette valeur est en fait optimale, comme l’attestent les r´ esultats de Newman [15] relatifs au cas r = 1, h = 3, ϑ = 0.

Gelfond d´ eduit en particulier de (1 · 3) que, sous la condition (m, q − 1) = 1, on a

nx n≡b(modd) s_q(n)≡a(modm)

1 = x

md + O(x

),

avec λ = λ

, uniform´ ement en a, b, d, m.

Lorsque r 2, l’identit´ e (1 · 2), qui refl` ete la q-additivit´ e de la fonction s

, n’a plus lieu, et il faut recourir ` a des techniques diff´ erentes. En 1982, Coquet (voir [4], th´ eor` emes 1 et 3), a montr´ e que, si les param` etres α ∈ R

, h ∈ N

sont choisis de sorte que n → (q − 1)α · s

(hn) ne soit pas constante modulo 1, on a pour chaque ϑ ∈ R ,

(1 · 4) G

(x; ϑ; α, h) = o(x).

Cette estimation est uniforme en ϑ, mais pas en h. Une version effective a ´ et´ e donn´ ee par Solinas [21] lorsque α ∈ Q

et ϑ = 0. Cela lui a permis de calculer, pour tous a ∈ Z

, m ∈ N

, la densit´ e de l’ensemble des entiers n satisfaisant ` a s

(hn) ≡ a (mod m). ` A la fin de son article, il cite

une majoration, ´ etablie dans sa th` ese [20], de G

(x; α, h; 0) en fonction de H := [h

, . . . , h

] et du ppcm m des d´ enominateurs des α

, soit

(1 · 5) G

(x; 0; α, h)

H

x

(x 1),

avec δ(H, m) := 4 sin

(π/2m)/ { q

H

log(q

H

) } s’il existe un j tel que m a

(q − 1). La preuve de ce r´ esultat repose sur un astucieux proc´ ed´ e inductif qui permet de r´ eduire le probl` eme ` a l’´ evaluation des puissances d’une matrice de taille H × H. Cette technique semble d´ elicate ` a transposer aux suites (1 · 1) lorsque ϑ = 0 car la matrice prend alors une valeur diff´ erente ` a chaque pas de la r´ ecurrence.

3. Nous rectifions une coquille dans cette assertion.

La premi` ere partie de ce travail est d´ evolue ` a la majoration des quantit´ es G

(x, y; ϑ; α, h, k). Les r´ esultats obtenus sont ´ enonc´ es au paragraphe 2.1, o` u nous mentionnons ´ egalement des majorations moins fortes mais valables pour des r- uplets h pour lesquels

h

:= max

1jr

| h

|

est de l’ordre de x. Nous d´ eveloppons ensuite divers types d’applications, qui sont explicit´ ees aux paragraphes 2.2 ` a 2.4.

2. ´ Enonc´ es des r´ esultats

2 · 1. Valeurs de α · ^s q ( h n) et majorations de | ^G r (x, y; ϑ; α, h , k ) |

Notre r´ esultat principal fournit une estimation uniforme en ϑ et cependant effective relativement aux vecteurs h et k.

Nous notons traditionnellement ω(n), ou parfois, pour all´ eger les notations, ω

, le nombre des facteurs premiers, compt´ es sans multiplicit´ e, d’un entier n 1.

Nous d´ esignons par u la distance d’un nombre r´ eel u ` a l’ensemble des entiers et nous ´ etendons la d´ efinition ` a R

en posant

u := max

1jr

u

u ∈ R

.

Etant donn´ ´ es un vecteur α ∈ R

et un entier X 1, il existe, en vertu de la version multidimensionnelle du th´ eor` eme de Dirichlet (voir par exemple [24], lemme II.1.14.1), un entier m ∈ [1, X

] tel que mα 1/X. Nous notons m(α; X

) le plus petit des entiers m satisfaisant cette propri´ et´ e. Il existe alors un vecteur a = a(α; X ) ∈ Z

tel que mα − a

1/X.

Etant donn´ ´ ee une puissance de q, disons ! = q

, nous notons

(2 · 1) n =

j0

e

(n)!

le d´ eveloppement d’un entier g´ en´ erique en base ! et posons, pour E 0, D 0, N (E, D; !) := { n 0 : e

(n) = 0 (E < j E + D) } .

Ainsi n ∈ N (E, D; !) si, et seulement si, n = a + !

b avec 0 a < !

, b 0.

Th´ eor` eme 2.1. Soient r ∈ N

, α ∈ R

, et h ∈ N

un r-uplet dont les coordonn´ ees sont deux ` a deux distinctes et non divisibles par q. On pose h := h

. Il existe des constantes strictement positives δ et K, ne d´ ependant que de q et r, telles que les assertions suivantes soient v´ erifi´ ees.

Notons

(2 · 2) X := 84(q − 1)rh log(2Kqh)

log q , m := m

α; X

.

Sous la condition

(q − 1)a(α; X ) ∈ / Z

, et lorsque

x 0, y 1, ϑ ∈ R , D ∈ N , E ∈ N , k ∈ N (E, D; !)

, o` u ! d´ esigne l’unique puissance de q v´ erifiant 2Kh < ! 2Kqh, on a (2 · 3) G

x, y; ϑ; α, h, k y(8 + 3D/h)e

+ 4!

. Des valeurs admissibles de δ et K sont

(2 · 4) δ := 1

s(400 log 4s)

q

, K := K

q

s

log s

o` u K

est absolue et o` u l’on a pos´ e s := r + ω(q). En particulier, si k

√ y, on a

(2 · 5) G

(x, y; ϑ; α, h, k) m

δ

y

, o` u la constante implicite est absolue. Une valeur admissible de c

est

(2 · 6) c

:= c

q

s(log 4s)

o` u c

est absolue.

Remarque. Si l’on a (q − 1)α

∈ Z et k

= 0 pour un indice t ∈ [1, r], alors e(α

s

(h

n)) = e(α

h

n) puisque q

≡ 1 (m od q − 1) pour tout entier j 0 ; ce terme peut alors ˆ etre regroup´ e avec e(ϑn) et l’on est ramen´ e ` a un probl` eme de dimension au plus r − 1.

Le contrˆ ole uniforme de tous les param` etres rend la formulation du Th´ eor` eme 2.1 in´ evitablement technique. Nous ´ enon¸cons ` a pr´ esent un corollaire simple qui permet d’en appr´ ecier plus ais´ ement le contenu.

Corollaire 2.2. Soient q 2, r 1 et α ∈ R

Z /(q − 1)

. On pose

R = R(α) := 1 si α ∈ Q

, 2r + 1 si α ∈ R

Q

.

Il existe deux constantes strictement positives A

et c

, ne d´ ependant que de α, q et r, telles que l’on ait

(2 · 7) | G

(x, y; ϑ; α, h, k) | A

ye

sous les conditions

(2 · 8)

 

 

 

 

 



x 0, y 3, ϑ ∈ R , L 1, k

√ y, h

log(2 h

log y

L

,

h

= h

(1 i < j r), q h

(1 j r).

Contrairement ` a celle de Solinas dans [20], notre approche est directe et ne repose pas sur un raisonnement par r´ ecurrence. Comme l’atteste la comparaison de (1 · 5) et (2 · 5), cela permet une am´ elioration appr´ eciable de la d´ ependance en h.

Dans [6] nous utilisons le Th´ eor` eme 2.1 pour montrer que, si f ∈ Z [X ] est un polynˆ ome de degr´ e d 2 dont les coefficients sont positifs ou nuls, et si g, q 2, m 2 sont des entiers tels que (m, q − 1) = 1, alors

nN sq(f(n))≡g(modm)

1 N

.

Le contrˆ ole des d´ ependances en k et y est d´ eterminant pour cette application, qui a motiv´ e l’insertion du param` etre k dans la d´ efinition de G

.

Il est tr` es vraisemblablement possible, par nos m´ ethodes, de relˆ acher encore les contraintes relatives aux vecteurs h et k. Cependant, de telles extensions sont certainement limit´ ees par des ph´ enom` enes de mauvaises corr´ elations, comme celui mis en ´ evidence par Mauduit et S´ ark¨ ozy [14] dans la formule

0n<2^M

( − 1)

= −

2

−

( − 1)

(M 0).

Dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 2.1, nous avons

(2 · 9) α − a/m

1/(mX )

avec a := a(α; X ) ∈ Z

et m := m(α; X ). Nous posons alors M (n) = a · s

(hn) :=

1jr

a

s

(h

n).

Consid´ erons un vecteur a ∈ Z

satisfaisant (2 · 9). Ainsi que nous l’avons pr´ ec´ edemment remarqu´ e, les sommes G

(x, y; ϑ; a/m, h, k) sont de nature essen- tiellement triviale lorsque m | a

(q − 1) pour tout indice j, 1 j r. Dans le cas contraire, soit

(2 · 10) ∃ j ∈ [1, r] : m a

(q − 1),

nous posons

(2 · 11) h

= h

(a, m; q) := m ax

1jr ma_j(q−1)

h

.

Sous l’hypoth` ese (2 · 10), Solinas [21] a ´ etabli l’existence d’au moins un entier n

h

tel que

(2 · 12) M (n) ≡ 0 (m od m).

D’int´ erˆ et intrins` eque, la premi` ere ´ etape de notre preuve du Th´ eor` eme 2.1 consiste

`

a minorer de fa¸con effective le nombre des solutions de (2 · 12) n’exc´ edant pas une borne donn´ ee. Nous construisons ` a cet effet des couples d’entiers (-, n) tels que (2 · 13) M (-) − M (- − 1) ≡ M (n) − M (n − 1) (mod m).

Pour tous entiers N 1, H 3, nous d´ esignons par Q(N, H) le nombre maximal de couples (-, n) de ]N + 1, N + H]

v´ erifiant (2 · 13) et tels que les quadruplets { - − 1, -, n − 1, n } soient deux ` a deux disjoints.

Th´ eor` eme 2.3. Soient a ∈ Z

, h ∈ ( N

)

et m ∈ N

satisfaisant (2 · 10). On suppose que les coordonn´ ees h

de h sont deux ` a deux distinctes et non divisibles par q.

(i) On a Q(0, H ) > 0 pour H 60h

q

(ω

+r) log(2ω

+ 2r), o` u h

est d´ efini par (2 · 11).

(ii) Il existe deux constantes positives K et δ, ne d´ ependant que de r et q, telles que l’on ait

Q(N, H) δH

pour tous H, N v´ erifiant H Kh

, N 0. Les valeurs de δ et K donn´ ees en (2 · 4) sont admissibles.

Le Th´ eor` eme 2.3 fournit ais´ ement, pour les sommes G

(x, y; ϑ; α, h; k), une estimation non triviale valable mˆ eme lorsque les coordonn´ ees de h sont d’un ordre de grandeur comparable ` a celui de x. Nous donnons ci-dessous une formulation plus g´ en´ erale.

Th´ eor` eme 2.4. Soient r ∈ N

, α ∈ R

, et h ∈ N

. On pose h := h

. Il existe des constantes positives K et δ, ne d´ ependant que de r et q, telles que l’on ait pour N 0, H > Kh, q

h(N + H), X := 4r(q − 1)V , m := m

α; X

, (q − 1)a(α; X) ∈ / Z

, ϑ ∈ R ,

(2 · 14) | G

(N, H; ϑ; α, h) | H

1 − δ/m

. Les valeurs de δ et K donn´ ees en (2 · 4) sont admissibles.

4. Nos quadruplets {−1, , n−1, n} sont des variantes simplifi´ees des quadruplets {τ1, τ2, τ3, τ4}de Solinas dans [21], p. 144.

Pour de petites valeurs de h et, par exemple, α ∈ Q

, la majoration (2 · 14) est significativement plus faible que (2 · 5). En revanche, nous obtenons ainsi un domaine de validit´ e consid´ erablement ´ etendu : (2 · 14) a lieu d` es que H > Kh alors que (2 · 5) n´ ecessite log H h.

Ainsi que nous l’avons mentionn´ e plus haut, le Th´ eor` eme 2.4 constitue l’´ etape liminaire de notre preuve du Th´ eor` eme 2.1. La derni` ere phase du raisonnement consiste ` a mettre en œuvre un processus de d´ ecoupage permettant une application it´ er´ ee du Th´ eor` eme 2.4. Le contrˆ ole effectif de ce d´ ecoupage est obtenu grˆ ace ` a une estimation uniforme, ´ enonc´ ee au Th´ eor` eme 6.1, des probabilit´ es de grandes d´ eviations pour la loi binomiale.

Nous concluons ce paragraphe par une application sp´ ecifique des Th´ eor` emes 2.1 et 2.3.

Etant donn´ ´ es des entiers positifs a, d, m satisfaisant ` a (m, q − 1) = 1, d´ efinissons n

= n

(a, m) comme le plus petit entier n 1 tel que

s

(nd) ≡ a (mod m).

La question de l’ordre de grandeur de n

est un probl` eme ouvert int´ eressant. Une cons´ equence imm´ ediate du Th´ eor` eme 2.3 est la majoration universelle

(2 · 15) n

60dq

(2 + ω

) log(4 + 2ω

) (d 1).

L’exemple de d = 1 + q

o` u q est pair, a = 0, m = 2, montre que l’on peut avoir n

d − 1 pour une infinit´ e d’entiers d. Il s’ensuit que l’ordre de grandeur en d de la majoration (2 · 15) est exact.

Le th´ eor` eme suivant, qui r´ esulte facilement du Th´ eor` eme 2.1, implique que n

est normalement de taille beaucoup plus mod´ er´ ee — et en fait born´ ee sur un ensemble de densit´ e arbitrairement proche de l’unit´ e.

Pour a ∈ Z

, h ∈ N

, x 2, nous d´ esignons par S(x; h; a, m) le nombre des entiers d de [1, x] tels que

( ∀ j ∈ [1, r]) s

(h

d) ≡ a

(mod m).

Th´ eor` eme 2.5. Soient q 2, r 1, a ∈ Z

, m 2 tels que (m, q − 1) = 1.

Soit h ∈ N

un r-uplet dont les coordonn´ ees sont deux ` a deux distinctes et non divisibles par q. On pose h := h

. Il existe une constante c

= c

(q) > 0 telle que l’on ait

(2 · 16) S(x; h; a, m) = x

1 − 1/m

1+O

2

x

(x 2), o` u la constante implicite est absolue. Une valeur admissible de c

(q) est

c

(q) = c

/ { q

ω

log

(2ω

) log q } o` u c

est absolue.

En particulier, pour chaque q fix´ e et toute fonction ξ(d) tendant vers l’infini, on a n

ξ(d)

pour presque tout entier d.

L’uniformit´ e en r du Th´ eor` eme 2.5 est susceptible d’applications relatives ` a l’existence, dans certaines suites d’entiers d´ efinies par des contraintes multiplica- tives, d’une infinit´ e d’entiers n tels que s

(n) ≡ a (mod m). Nous d´ eveloppons ici quelques applications de cette nature. Les ´ enonc´ es correspondants sont pr´ esent´ es au paragraphe suivant.

2 · 2. Quelques pas vers la conjecture de Gelfond et d’autres applications du Th´ eor` eme 2.5

A la fin de son article [9], Gelfond ´ ` ecrit (pour (m, q − 1) = 1) :

Il serait aussi int´ eressant de trouver le nombre de nombres premiers p x tels que s

(p) ≡ - (mod m).

Alors qu’il est naturel, au vu de ce que nous savons du comportement stochastique des nombres premiers, de conjecturer que les nombres s

(p) sont bien r´ epartis dans les diverses classes de congruence modulo m, nous ne savons toujours pas si chacun des ensembles correspondants de nombres premiers est infini.

Fouvry et Mauduit [7], [8], ont r´ ecemment obtenu des avanc´ ees significatives vers la conjecture

(2 · 17)

px sq(p)≡#(modm)

1 ∼ x

m log x

(m, q − 1) = 1, x → ∞ .

Dans [7], ils d´ eduisent du th´ eor` eme de Chen, ´ enonc´ e sous la forme qu’il existe au moins α

x/(log x)

nombres premiers p x tels que 2p+1 ait au plus deux facteurs premiers, que l’on a, pour a = 0 ou 1,

p1p2x s₂(p₁p₂)≡a(mod 2)

1 α

x 2(log x)

.

L’argument utilis´ e ne s’´ etendant pas au cas (m, q) = (2, 2), ils montrent notamment dans [8], ` a l’aide de m´ ethodes de crible, que l’on a, sous la condition (m, q − 1) = 1,

(2 · 18)

nx s_q(n)≡a(modm) n=p1 oun=p1p2

1 x

log x .

L’ind´ etermination n = p

ou n = p

p

est li´ ee ` a ce que l’on appelle tradition- nellement le ph´ enom` ene de parit´ e du crible.

A d´ ` efaut d’´ etablir la conjecture de Gelfond (2 · 17), nous sommes ` a pr´ esent en mesure de lever cette ind´ etermination.

Dans l’´ enonc´ e suivant, la lettre p, avec ou sans indice, d´ esigne un nombre premier.

5. Selberg [19] et Bombieri [3] ont remarqu´e que les m´ethodes de crible dans leurs formes d’origine ne sont pas suffisantes pour distinguer les entiers qui ont un nombre pair de facteurs premiers des entiers qui en ont un nombre impair.

Nous notons E

(x) l’ensemble des entiers n x ayant exactement k facteurs pre- miers, compt´ es avec multiplicit´ e. Une estimation classique, due ` a Landau, stipule que l’on a, pour k 1 fix´ e et x tendant vers l’infini,

(2 · 19) |E

(x) | ∼ x(log

x)

(k − 1)! log x .

Th´ eor` eme 2.6. Soient a ∈ Z , et k 2, q 2, m, des entiers tels que (m, q − 1) = 1. L’assertion suivante est v´ erifi´ ee lorsque x → ∞ . Pour tous les entiers n de E

(x) sauf au plus o

|E

(x) |

d’entre eux, il existe un nombre premier p m(log

x) log

x tel que s

(np) ≡ a (mod m). De plus,

(2 · 20)

n∈Ek(x) s_q(n)≡a(modm)

1

x(log

x)

(log

x) log x |E

(x) | (log

x) log

x .

La suite des entiers ayant un

grand

facteur premier constitue un autre exemple pour lequel nos techniques permettent d’´ etablir la variante ad hoc de la conjecture de Gelfond.

Th´ eor` eme 2.7. Soient a ∈ Z , et m 1, q 2, des entiers tels que (m, q − 1) = 1.

L’assertion suivante est v´ erifi´ ee lorsque x → ∞ . Pour tous les nombres premiers p x sauf au plus o(x/ log x) d’entre eux, il existe un entier h { mq/(q − 1) } log

x tel que s

(hp) ≡ a (mod m).

L’´ enonc´ e suivant, qui ´ etend un r´ esultat de [7], concerne les entiers dont le --i` eme facteur premier appartient ` a un intervalle donn´ e. Nous notons

P

(n) > P

(n) > · · · > P

(n)

la suite d´ ecroissante des facteurs premiers distincts d’un entier g´ en´ erique n.

Th´ eor` eme 2.8. Soient a ∈ Z , et - 1, m 1, q 2, des entiers tels que (m, q − 1) = 1. Soient α, β deux nombres r´ eels v´ erifiant 0 α < β 1/-. Il existe une constante δ = δ(-, m, q, α, β) > 0 telle que l’on ait, pour x assez grand, (2 · 21) |{ n x : s

(n) ≡ a (mod m), n

< P

(n) < n

}| δx.

Fouvry et Mauduit ont montr´ e (2 · 21) pour q = m = 2 — cf. [7], corollaire 0.

Leur astucieux argument est en fait valable pour m = 2 et q pair. Pour m = 2 et q impair, le probl` eme est facile puisque s

(n) ≡ n (mod 2). La preuve donn´ ee dans [7] repose sur la q-additivit´ e de la fonction s

et sur un r´ esultat de Balog et Ruzsa [2] relatif aux ensembles stables de densit´ e inf´ erieure strictement positive.

Cet argument est inop´ erant dans le cas m 3.

Notre derni` ere application du Th´ eor` eme 2.5 est de caract` ere g´ en´ eral, dans le sens

o` u elle se rapporte ` a un ensemble d’entiers arbitraire uniquement soumis ` a une

contrainte de taille. Notre motivation consiste ici ` a montrer comment l’on peut

tirer parti de la qualit´ e du terme d’erreur de (2 · 16) pour ´ etablir que des suites

rares satisfont ` a la conjecture de Gelfond.

Th´ eor` eme 2.9. Soient a ∈ Z , et m 1 et q 2 des entiers tels que (m, q − 1) = 1.

Soit c

∈ ]0, 1[. Il existe deux constantes strictement positives c

et c

ne d´ ependant que de c

, m et q, telles que pour tout x assez grand et pour tout ensemble A ⊂ N ∩ [1, x] v´ erifiant

(2 · 22) |A| x exp

− c

(log x)

/ log

x ,

il existe au moins c

|A| ´ el´ ements n de A tels que s

(nd) ≡ a (mod m) pour au moins un entier d ∈

1, c

log x/ |A|

.

Remarque. Il d´ ecoule imm´ ediatement de (2 · 22) que log

x/ |A|

(log x)

/ log

x.

2 · 3. Applications aux progressions arithm´ etiques

Le Th´ eor` eme 2.1 peut ` a l’´ evidence ˆ etre qualitativement interpr´ et´ e comme l’assertion que, sous certaines conditions techniques, des conditions du type s

(h

n) ≡ a

(mod m

) (1 j r) sont asymptotiquement ind´ ependantes.

Nous nous proposons ici de donner, ` a l’aide de (2 · 5), une version quantitative de cette formulation.

Etant donn´ ´ es h = (h

, . . . , h

), m = (m

, . . . , m

), a = (a

, . . . , a

) dans N

, et d 1, b ∈ Z , nous posons

(2 · 23)

A (x; h, a, m) :=

n x : s

(h

n) ≡ a

(mod m

) (1 j r) , A(x; h, a, m) := A (x; h, a, m) ,

A(x; h, a, m; b, d) := |A (x; h, a, m) ∩ (b + d Z ) |

=

nx, n≡b(modd) s_q(h_jn)≡a_j(modm_j) (1jr)

1.

Comme s

(h

n) ≡ h

n (mod (q − 1)) pour tous n, j, il est clair que tout entier n compt´ e dans A(x; h, a, m) v´ erifie ´ egalement

h

n ≡ a

(mod m

) (1 j r),

o` u l’on a pos´ e m

:= (m

, q − 1). Il s’ensuit qu’une condition n´ ecessaire pour que A(x; h, a, m; b, d) soit non nul pour x assez grand est la solubilit´ e du syst` eme (2 · 24) h

n ≡ a

(mod m

) (1 j r)

n ≡ b (mod d).

Lorsqu’il en est ainsi, les solutions de (2 · 24) sont p´ eriodiques modulo ∆, avec

(2 · 25) ∆ :=

d, m

(h

, m

) , . . . , m

(h

, m

)

.

Ainsi, une hypoth` ese d’´ equir´ epartition conduit ` a supputer que, pour chaque indice j de [1, r], la condition s

(h

n) ≡ a

(mod m

) est r´ ealis´ ee modulo ∆ avec probabilit´ e m

/m

. Si ces conditions sont statistiquement ind´ ependantes, on s’attend donc

`

a ce que A(x; h, a, m; b, d) soit nul ou bien approch´ e par

1jr

(m

/m

)(x/∆).

C’est effectivement ce qui r´ esulte d’une application r´ ep´ et´ ee du Th´ eor` eme 2.1 avec ϑ = k/d, α

= k

/m

, pour 0 k < d, 0 k

< m

(1 j r). Nous en d´ eduisons imm´ ediatement le r´ esultat suivant, qui g´ en´ eralise et pr´ ecise celui de Solinas [21].

Corollaire 2.10. Soient r ∈ N

, m ∈ N

, h ∈ N

. On suppose que h

< h

< · · · < h

, et q h

pour 1 j r. Pour tous a ∈ Z

, b ∈ Z , d 1 tels que le syst` eme de congruences (2 · 24) soit soluble, on a :

(2 · 26) A(x; h, a, m; b, d) = x

∆

m

m

+ O

x

,

o` u ∆ est d´ efini par (2 · 25), c

et K sont d´ efinis en (2 · 6), et m := [m

, . . . , m

]. La constante implicite d´ epend au plus de r et q.

Une version de (2 · 26) valable pour les intervalles courts pourrait ´ egalement ˆ etre obtenue par la mˆ eme m´ ethode.

En combinant le Th´ eor` eme 2.1 et l’in´ egalit´ e du grand crible, nous obtenons un th´ eor` eme statistique de type Bombieri-Vinogradov.

Th´ eor` eme 2.11. Soient A > 0, q, r ∈ N

, a ∈ Z

, m ∈ N

tels que (m

· · · m

, q − 1) = 1.

Il existe une constante x

= x

(A, a, m) telle que, sous les conditions x > x

(r), h ∈ N

, q h

(1 j r), h

= h

(1 i < j r), max

1jr

h

log x (log

x)

, on ait uniform´ ement

(2 · 27)

dD (q,d)=1

max

b(modd)

A(x; h, a, m; b, d) − x m

· · · m

d

x

(log x)

, o` u l’on a pos´ e D := √

x/(log x)

.

Dans cet ´ enonc´ e, dont nous aurions pu donner ´ egalement une forme relative aux intervalles courts, nous n’avons choisi l’hypoth` ese (m

· · · m

, q − 1) = 1 que pour les raisons de lisibilit´ e. Il est toutefois possible de s’en affranchir et d’obtenir, par la mˆ eme technique, une version en moyenne de (2 · 26).

Dans le cas r = 1, Fouvry et Mauduit [7], [8], ont montr´ e que (2 · 27) est satisfaite

pour D = x

avec une valeur convenable de γ

>

. Lorsque q = 2, on peut choisir

γ

= 0, 55 : voir le corollaire 1 de [7]. Il est ´ etabli dans [8] (cf. le th´ eor` eme principal

et le paragraphe VI de cet article) que γ

tend vers 1 quand q tend vers l’infini : on

a 1 − γ

(log

q)/ log q. Les valeurs de γ

trouv´ ees sont par ailleurs suffisamment

grandes pour fournir (2 · 18) par le biais de m´ ethodes de crible.

2 · 4. Valeurs moyennes ` a coefficients multiplicatifs

En utilisant l’estimation (1 · 3) de Gelfond et le principe d’inclusion-exclusion, Newman et Slater [16] ont montr´ e que, pour toute suite d’entiers A = { a

}

telle que

j=1

1/a

< ∞ , on a

(2 · 28)

nx s₂(n)≡0 (mod 2)

χ(n) ∼

nx

χ(n) (x → ∞ )

o` u l’on a pos´ e

χ(n) := 1 si n ≡ 0 (m od a

) (j 1), 0 dans le cas contraire.

La th´ eorie des ensembles de multiples (voir par exemple [10], th´ eor` eme 0.1 et corol- laire 0.13) nous apprend que le membre de droite de (2 · 28) est asymptotiquement

´

equivalent ` a c( A )x pour une constante convenable c( A ) > 0. Il s’ensuit que

(2 · 29)

nx s₂(n)≡0 (mod 2)

χ(n) = c( A )x + o(x) (x → ∞ ).

Lorsque les a

sont deux ` a deux premiers entre eux, la fonction χ est multiplica- tive. Dans le cas particulier des entiers sans facteur carr´ e, qui correspond au choix A = { p

: p premier } (j 1), Newman et Slater montrent que l’on peut rempla- cer le terme d’erreur de (2 · 29) par O

x

√ log x

— on a alors, bien entendu, c( A ) = 3/π

. Ce dernier r´ esultat peut donc ˆ etre interpr´ et´ e comme une estimation de valeur moyenne pour une fonction du type

n → e αs

(n)

f (n) avec α ∈ Q et f multiplicative : ici q = 2, α =

, f = χ.

Dans le mˆ eme esprit, et comme illustration du champ d’application de (1 · 4) avec r = 2 et ϑ = 0, Coquet [4] a montr´ e, que, si u ou v est irrationnel, la suite de terme g´ en´ eral us

(n) + vω(n) est ´ equir´ epartie modulo 1. Compte tenu du crit` ere de Weyl, cela revient ` a montrer que, pour tout entier ν = 0, on a

nx

e

νus

(n) + νvω(n)

= o(x) (x → ∞ ).

Il s’agit donc d’une estimation de mˆ eme type que la pr´ ec´ edente, avec α = νu et f (n) = e

νvω(n) .

En incorporant, dans la m´ ethode de convolution de Daboussi [5], une estimation

issue du Th´ eor` eme 2.1 et essentielle dans la preuve du Th´ eor` eme 2.11, nous

obtenons un r´ esultat g´ en´ eral de cette nature. Nous d´ esignons par M la classe des

fonctions arithm´ etiques multiplicatives complexes ` a valeurs dans le disque unit´ e.

Th´ eor` eme 2.12. Soient c ∈ ]0, 1[, q ∈ N

, r ∈ N

, et α ∈ R

Z /(q − 1)

. On pose

R

(α) := 1 si α ∈ Q

, 4r + 1 si α ∈ / Q

. Sous les conditions

(2 · 30) x > r, h ∈ N

, 0 < h

< · · · < h

< (log x)

, q h

, f ∈ M , on a uniform´ ement

(2 · 31)

nx

e

α · s

(hn)

f (n) x

log

x .

3. Un r´ esultat d’espacement et d’autres estimations pr´ eliminaires

Ainsi que nous l’avons signal´ e plus haut, notre preuve du Th´ eor` eme 2.1 repose sur le Th´ eor` eme 2.3. Pour ´ etablir cette derni` ere assertion, nous avons recours ` a cinq r´ esultats auxiliaires. Le premier est un r´ esultat de crible. Nous notons P

(n) le plus petit facteur premier d’un entier n avec la convention P

(1) = ∞ et nous posons

(3 · 1) Φ(x, y) := |{ n x : P

(n) > y }| .

Lemme 3.1. Il existe une constante absolue z

telle que l’on ait uniform´ ement pour x 0, z > z

, 2 y z

,

Φ(x + z, y) − Φ(x, y) z 4 log y .

D´ emonstration. D´ esignons par w la fonction de Buchstab et par ! celle de Dickman.

La minoration d’Iwaniec [13] dans le crible de Rosser fournit imm´ ediatement, pour D := y

, s 1,

Φ(x + z, y) − Φ(x, y) > (z − 1)

py

(1 − 1/p)

f (s) − B/(log D)

− D

o` u f (s) := e

{ w(s) − !(s − 1)/s } , γ d´ esigne la constante d’Euler, et B est une constante absolue. On a en particulier

f (3) =

e

log 2,

d’o` u

(log 2)f (3) ≈ 0, 2852. Il existe donc c ∈ ]

, 1[ tel que

(log 2)f (3c) >

. En utilisant la minoration

(3 · 2) (log y)

py

(1 − 1/p)

log 2 (y 2)

(voir par exemple la d´ emonstration du corollaire III.3.5.1 de [24]), et en choisissant

D = z

y

et z > z

= z

(B, c), on obtient bien le r´ esultat indiqu´ e.

Lemme 3.2. Soient h 1, f 0, τ 0, ξ 0 des nombres entiers. On a (3 · 3) s

h(ξ + f q

)

− s

(hξ) = s

([hξ/q

] + hf) − s

([hξ/q

]) .

D´ emonstration. L’´ enonc´ e co¨ıncide avec le lemme 2 de [21]. Pour la commodit´ e du lecteur, nous rappelons les d´ etails, qui sont tr` es simples.

Soit b := [hξ/q

]. Il existe donc un entier v tel que hξ = v + bq

, 0 v < q

. Il s’ensuit que

s

h(ξ + f q

)

− s

(hξ) = s

v + (hf + b)q

− s

(v + bq

)

= s

(v) + s

(b + hf ) − s

(v) − s

(b)

= s

(b + hf ) − s

(b).

Lemme 3.3. Soit r ∈ N

. Il existe une constante absolue z

et des constantes ε

> 0, δ

> 0, ne d´ ependant que de r, telles que, pour tout r-uplet (ϑ

, . . . , ϑ

) ∈ ( Q Z )

, ϑ

= a

/d

, (a

, d

) = 1, et pour tous x 0, z max(z

, r

, d

, . . . , d

), on ait

(3 · 4)

x < n x + z : m in

1jr

nϑ

> ε

δ

z.

Des valeurs admissibles de ε

et δ

sont ε

:= 1/(100r log 4r) et δ

:= 1/(400 log 4r).

D´ emonstration. Posons R := 100r log(4r) et notons s ∈ [1, r] le nombre des indices j tels que d

R. Quitte ` a r´ eordonner les ϑ

, nous pouvons supposer que ces indices sont les s premiers et que les d´ enominateurs d

, . . . , d

sont strictement inf´ erieurs

` a R.

Pour chaque j de [1, s], la relation nϑ

1/R ´ equivaut ` a l’existence d’un entier u de [0, d

/R] tel que a

n ≡ ± u (mod d

). On a donc

x < n x + z : m in

1js

nϑ

1/R

1js

z d

+ 1 2d

R + 1

6rz R . On v´ erifie par une ´ etude standard que r/R 1/(25 log R). En notant que max(z

, r

) > R

pour z

assez grand, le Lemme 3.1 nous permet donc de d´ eduire de ce qui pr´ ec` ede qu’il existe au moins

z

4 log R − 6z

25 log R = z

100 log R z 400 log 4r

entiers n de ]x, x + z] satisfaisant min

nϑ

> 1/R et P

(n) > R. Or, pour un tel entier n, on a trivialement nϑ

1/d

> 1/R lorsque s < j r. Cela

fournit bien la conclusion annonc´ ee.

Remarques. (i) Nous n’avons pas cherch´ e ici ` a optimiser les valeurs de ε

et δ

. (ii) On peut montrer par la mˆ eme technique l’existence d’une constante ε

telle que

(3 · 5) sup

n∈N

min

1jr

nϑ

> ε

uniform´ ement pour (ϑ

, . . . , ϑ

) ∈ ( R Z )

, avec

(3 · 6) ε

1/(30r log 2r).

Il serait int´ eressant de disposer d’un encadrement plus pr´ ecis pour cette quantit´ e.

Pour y 2, N :=

py

p et en choisissant pour ϑ

tous les rationnels de la forme 1/p (p y) ou a/N (1 a N , (a, N ) = 1), on a r = π(y) + ϕ(N) ∼ e

N/ log y (y → ∞ ), alors que min

nϑ

1/N pour tout entier n. On obtient donc (3 · 7) ε

e

+ o(1)

r log

r (r → ∞ ).

Comme nous utilisons (3 · 6) pour ´ etablir (2 · 15) et le Th´ eor` eme 2.3(i), nous donnons bri` evement les d´ etails de la preuve de cette minoration. Lorsque r = 1, on a sup

nϑ

=

si ϑ

est irrationnel et

sup

n

nϑ

= [b/2] /b

si ϑ

= a/b avec (a, b) = 1 et b 2. Nous pouvons donc supposer dans la suite que r 2.

Soit alors R le plus petit entier tel que

(3 · 8) R

pR

(1 − 1/p) > 3r

et soit s ∈ [1, r] le nombre des indices j tels que ϑ

∈ R ∪

( Z /k). Quitte

`

a r´ eordonner les ϑ

, nous pouvons supposer que ces indices sont les s premiers et que ϑ

, . . . , ϑ

sont rationnels, de d´ enominateurs R.

Pour chaque j de [1, s], la suite { n 1 : nϑ

< 1/R } poss` ede une densit´ e naturelle n’exc´ edant pas 3/R. On a donc

dens

n 1 : min

nϑ

< 1/R

3r/R <

pR

(1 − 1/p).

D’apr` es un r´ esultat ´ el´ ementaire de crible, on en d´ eduit qu’il existe au moins un entier n tel que P

(n) > R et min

nϑ

1/R. Or, pour tout entier naturel n tel que P

(n) > R, on a trivialement

min

s<jr

nϑ

1/R.

On peut montrer, en utilisant la minoration (3 · 2), que

(3 · 9) R < 30r log r.

En effet, comme le membre de gauche de (3 · 8) est une fonction croissante de R, il suffit de montrer qu’il exc` ede 3r pour R = R

:= 30r log r. Or, on d´ eduit de (3 · 2) par une ´ etude standard que

R

log 2

2 log R

= 15(log 2)r log r log(30r log r) > 3r

si r 5. Une v´ erification num´ erique relative aux cas r = 2, 3, 4 permet d’achever la preuve de (3 · 9). Comme 60 log 2 > 4, on en d´ eduit bien le r´ esultat souhait´ e.

Lemme 3.4. Soient 1 h

< · · · < h

=: h, d | (h, q), s := ω

+ t et z

, ε

, δ

les quantit´ es d´ efinies au Lemme 3.3.

(i) On a pour z max(z

, s

, h), x 0,

(3 · 10)

x < ν x + z : m in

1jt h_j ≡0 (modh/d)

νh

d h

> ε

, (ν, q) = 1 δ

z.

(ii) Soient ε > 0, ν ∈ N , tels que (ν, q) = 1 et νh

d/h > ε pour tout indice j tel que h

≡ 0 (m od h/d), et soit τ un entier tel que q

> h/ε. On d´ efinit v par 0 v < h, v ≡ − νq

d (mod h), et l’on pose ξ := (νq

d + v)/h. On a alors

(a)

hξ q

= νd = 1 +

h(ξ − 1) q

, (b)

h

ξ q

− h

(ξ − 1) q

= 1 si h

≡ 0 (m od h/d)

0 si h

≡ 0 (m od h/d) (1 j t).

D´ emonstration. Le point (i) est obtenu en appliquant le Lemme 3.3 ` a l’ensemble d’au plus s nombres rationnels constitu´ e de ceux parmi les h

d/h (1 j t) qui ne sont pas entiers et des 1/p lorsque p d´ ecrit les facteurs premiers de q.

Il reste ` a ´ etablir le point (ii). Pour le choix indiqu´ e de ξ et τ, on a hξ

q

= νd + v

q

, h(ξ − 1)

q

= νd + v − h

q

.

La condition (a) est donc bien r´ ealis´ ee.