Démonstration constructive de l'existence de polynômes de Bernstein-Sato pour plusieurs fonctions analytiques

HAL Id: hal-00000497

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00000497

Preprint submitted on 11 Jul 2003

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

de Bernstein-Sato pour plusieurs fonctions analytiques

Rouchdi Bahloul

To cite this version:

Rouchdi Bahloul. Démonstration constructive de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato pour

plusieurs fonctions analytiques. 2003. �hal-00000497�

ccsd-00000497 (version 1) : 11 Jul 2003

polynˆ omes de Bernstein-Sato pour plusieurs fonctions analytiques

Rouchdi BAHLOUL

Abstract

In 1987, C. Sabbah proved the existence of Bernstein-Sato polynomials associated with several analytic functions. The purpose of this article is to give a more elementary and constructive proof of the result of C. Sabbah based on the notion of the analytic Gr¨obner fan of a D-module.

Introduction et ´ enonc´ e des r´ esultats principaux

Fixons n

1 et p

1 deux entiers et v ∈

. Soient x = (x

, . . . , x

) et s = (s

, . . . , s

) deux syst`emes de variables. On se donne f

, . . . , f

∈

{x} =

{x

, . . . , x

}. Notons D

l’anneau des op´erateurs diff´erentiels `a coefficients dans

{x}. Pour b(s) ∈

, . . . , s

], consid´erons l’identit´e suivante :

(?) b(s)f

∈ D

[s]f

,

o` u f

= f

· · · f

. Un polynˆ ome b(s) v´erifiant une telle identit´e est appel´e polynˆome de Bernstein-Sato (associ´e `a f = (f

, . . . , f

)). L’ensemble de ces polynˆ omes forment un id´eal appel´e id´eal de Bernstein-Sato (associ´e `a f ) et qu’on note B

(f ).

Rappelons que c’est I.N. Bernstein [Ber72] qui, dans le cas p = 1 et o` u f est polynomiale, a montr´e que l’id´eal B

(f ) est non nul (dans ce cas, il faut, dans (?), remplacer D

par l’alg`ebre de Weyl A

(C), i.e. l’alg`ebre des op´erateurs diff´erentiels `a coefficients polynomiaux). Dans le cas o` u f est analytique et toujours pour p = 1, la non nullit´e de B

(f ) revient `a J.E. Bj¨ork [Bj¨o73] avec des m´ethodes similaires `a celles employ´ees dans [Ber72]. Dans ce mˆeme cas, citons M. Kashiwara [Kas76]

qui publia une autre preuve et d´emontra en plus que le g´en´erateur unitaire de l’id´eal de Bernstein- Sato est `a racines rationnelles. Pour p

2, la preuve dans le cas polynomial est une g´en´eralisation facile de celle de I.N. Bernstein, que l’on peut trouver dans [Lic88]. Dans le cas analytique avec p

2, la non nullit´e de B

(f ) a ´et´e d´emontr´ee par C. Sabbah ([Sab87a] et [Sab87b]). Citons la contribution de A. Gyoja [Gyo93] qui a repris la preuve de C. Sabbah en montrant de plus que B

(f ) contient un ´el´ement rationnel non nul.

L’objet du pr´esent article est une mise au point de la preuve donn´ee par C. Sabbah. Plus pr´ecis´ement, on peut d´ecomposer la preuve de C. Sabbah en deux grandes ´etapes : la premi`ere utilise des arguments similaires `a ceux employ´es par M. Kashiwara dans le cas p = 1, la deuxi`eme consiste essentiellement en un r´esultat de finitude qui permet par la suite de se ramener au r´esultat de la premi`ere ´etape. La seconde ´etape de la preuve de C. Sabbah s’appuie sur un ´eventail dit adapt´e ([Sab87a] prop. 2.2.1 et th. A.1.1) dont l’existence m´eriterait une mise au point technique suppl´ementaire (voir le commentaire qui suit le th. S1). Aussi, nous proposons dans cet article un

2000 Mathematics Subject Classification 16S32, 13P10, 16W50, 16W70

Keywords: V-filtration, ´eventail de Gr¨obner analytique, polynˆome de Bernstein-Sato

´enonc´e et une d´emonstation plus ´el´ementaires et plus constructifs de la seconde ´etape, qui ´evitent la notion d´elicate d’´eventail adapt´e.

Afin de motiver les r´esultats du pr´esent article, nous rappelons, sans entrer dans tous les d´etails, la preuve de C. Sabbah. Dans ce rappel, nous mettrons en ´evidence le r´esultat de C. Sabbah pour lequel nous allons donner un ´enonc´e et une preuve plus constructifs. Signalons que la plupart des notions ou notations introduites ci-dessous qui nous seront utiles dans la suite seront d´etaill´ees dans les sections suivantes.

On note D

l’anneau des op´erateurs diff´erentiels `a coefficients dans

{x, t} =

{x

, . . . , x

, t

, . . . , t

}. En suivant la m´ethode de B. Malgrange [Mal75], on fait agir D

sur

{x}[

p

, s]f

. On note I l’id´eal (`a gauche

) annulateur de f

dans D

et M le quotient M = D

/I.

Pour chaque j = 1, . . . , p, notons V

(D

) la V -filtration de Kashiwara-Malgrange associ´ee `a la variable t

et notons V = (V

, . . . , V

) la (multi)filtration de D

index´ee par

: pour w ∈

,

V

(D

) =

p

\

j=1

{V

}

(D

).

Elle induit une filtration V (M ) sur M o` u pour tout w ∈

, V

(M ) est l’image de V

(D

) par la projection D

→ M = D

/I .

Pour j = 1, . . . , p, identifions la filtration V

avec la forme lin´eaire sur

donn´ee par V

(α, µ, β, ν) = ν

− µ

(o` u α, β ∈

, µ, ν ∈

et α, µ, β, ν correspondent respectivement `a x, t, ∂

, ∂

). Notons U

=

j=1R_>0

V

. On identifie U

`a (R

)

. Chaque L de U

∩

(i.e. L `a coefficients entiers) donne lieu `a une filtration naturelle V

de D

et de M index´ee par

donn´ee par :

V

(M ) =

{w∈Z^p;L(w)6k}

V

(M ), o` u L(w) = l

w

+ · · · + l

w

si L = (l

, . . . , l

) ∈

.

Voici maintenant les deux ´etapes de la preuve donn´ee par C. Sabbah.

Etape 1 Th´ eor` eme. ([Sab87a] th. 3.1.1, voir aussi [Gyo93] 2.9 et 2.10) Pour tout L ∈ U

∩

, il existe un polynˆ ome b ∈

d’une variable tel que pour tout k ∈

b

L(−∂

t

, . . . , −∂

t

) − k

V

(M ) ⊂ V

(M ).

La preuve de ce r´esultat utilise des arguments analogues `a ceux employ´es par M. Kashiwara [Kas76] dans le cas p = 1.

Notons b

le polynˆ ome unitaire de plus bas degr´e satisfaisant l’identit´e pr´ec´edente. La contribution de A. Gyoja [Gyo93] consiste dans le fait que b

est `a racines dans

.

Etape 2 Nous allons introduire deux nouvelles filtrations sur M .

i) Soit σ un cˆ one convexe rationnel dans

. On note L(σ) l’ensemble des ´el´ements primitifs du 1-squelette de σ (i.e. L ∈ L(σ) si et seulement si la droite engendr´ee par L est dans le 1-squelette de σ et les coefficients de L sont des entiers sans facteurs communs). Pour tout w ∈

, on note :

σ

V

(M ) =

{w⁰∈Zp|∀L∈L(σ)L(w⁰)6L(w)}

V

(M ).

1Dans tout le texte, id´eal signifie id´eal `a gauche

(Voir la figure 1 o` u p = 2 et σ est engendr´e par L

et L

: m ∈

V

(M ) ⇐⇒ m est repr´esent´e par un op´erateur P ∈ D

dont le diagramme de Newton est dans le quadrillage.)

L

2

1

1 2

V L

w V

Figure 1.

V

(M )

Pour tout w ∈

, nous avons facilement les inclusions suivantes :

σ

V

(M ) ⊆

L∈σ

V

(M ) ⊆

L∈L(σ)

V

(M),

la premi`ere ´etant triviale et la seconde venant du fait que L(σ) est inclus dans l’adh´erence de σ.

Th´ eor` eme S1. ([Sab87a] th. A.1.1 et prop. 2.2.1) Il existe un ´eventail Σ (dit ´eventail adapt´e `a V (M )) constitu´e de cˆ ones poly´edraux rationnels convexes tel que pour tout cˆ one σ ∈ Σ et pour tout w ∈

, on ait :

σ

V

(M ) =

L∈L(σ)

V

(M).

C’est ce th´eor`eme S1 dont nous allons donner un ´enonc´e et une preuve plus ´el´ementaires.

Disons un mot de la preuve. Dans l’appendice de [Sab87a] en collaboration avec F.J. Castro Jim´enez, C. Sabbah d´emontre l’existence d’un ´eventail Σ dit adapt´e `a la filtration V (M) apr`es quoi il montre dans la proposition 2.2.1 que pour tout cˆone d’un tel ´eventail, on a l’´egalit´e pr´ec´edente. La preuve de l’existence d’un tel ´eventail m´eriterait une mise au point.

En effet, elle s’appuie sur une division `a param`etre qui conduirait `a l’apparition de s´eries formelles dans les variables ∂

de d´erivation.

ii) Soit V (M ) la filtration index´ee par

d´efinie par : V

(M ) =

L∈UV

V

(M ).

Comme cons´equence du th´eor`eme S1, nous avons : Corollaire S2.

(a) Pour tout w ∈

,

V

(M ) =

L∈L(Σ)

V

(M ),

o` u L(Σ) d´esigne l’ensemble des ´el´ements primitifs du 1-squelette de Σ.

(b) Il existe κ ∈

tel que pour tout w ∈

, on ait

V

(M ) ⊂ V

(M) ⊂ V

(M ).

Faisons quelques commentaires sur la preuve de ce r´esultat. L’assertion (a) de S2 d´ecoule trivialement de S1, en effet :

V

(M ) =

σ∈Σ

¡ \

L∈σ

V

(M )

=

σ∈Σ

¡ \

L∈L(σ)

V

(M )

par S1

=

L∈L(Σ)

V

(M ).

En ce qui concerne, l’assertion (b), C. Sabbah d´emontre que si un ´eventail Σ satisfait l’´enonc´e du th´eor`eme S1 alors la filtration V (M) est une bonne V (D

) filtration ce qui, par un lemme usuel de comparaison entre bonnes filtrations fournit les inclusions voulues (il faut noter que la premi`ere inclusion de (b) est trivialement vraie et que c’est la deuxi`eme qui nous int´eresse).

Finissons le rappel de la preuve. Notons δ la classe de 1 dans le quotient M = D

/I . Posons b(s) =

L∈L(Σ)

³ Y

−L(v+κ)<k60

b

¡

L(s) − k

Par les assertions (a) et (b) de S2, on constate que :

b(−∂

t)δ ∈ V

(M ) ⊂ V

(M ), ce qui signifie que b(s) ∈ B

(f ).

Nous allons maintenant ´enoncer les r´esultats principaux du pr´esent article.

On se donne un id´eal I de D

(anneau des op´erateurs diff´erentiels `a coefficients analytiques faisant intervenir m variables). Dans [A-C-G01], A. Assi, F. Castro Jim´enez et M. Granger ont introduit l’ensemble U des formes lin´eaires L pour lesquelles la filtration de D

naturellement associ´ee est compatible avec la structure non commutative de D

(cf. paragraphe 1.2). Ils ont

´etudi´e le comportement du gradu´e gr

(I ) lorque L varie dans U . Consid´erons la relation sur U telle que L et L

sont en relation si les gradu´es gr

(h(I )) et gr

(h(I )) sont isomorphes (h(I ) d´esigne l’homog´en´eis´e de I dont nous rappelons la d´efinition plus loin). Cette relation est une relation d’´equivalence donnant sur U une partition constitu´ee de cˆ ones poly´edraux rationnels convexes.

L’eventail ainsi constitu´e est appel´e ´eventail de Gr¨obner (analytique) associ´e `a h(I) et not´e E(h(I)).

Maintenenant, posons m = n +p et reprenons les notations pr´ec´edentes. Comme nous le verrons, on peut naturellement inclure U

dans U . On note alors E

= E

(h(I)) l’´eventail obtenu comme restriction de E (h(I)) `a U

. Voici les r´esultats qu’on se propose de montrer ici.

Th´ eor` eme 1 . Pour tout cˆ one σ de E

,

σ

V

(M) =

L∈L(σ)

V

(M ).

L’analogue du corollaire S2 en d´ecoule pour (a) et (b) en rempla¸cant le 1-squelette de Σ par

celui de E

. En effet, la preuve du corollaire S2 fonctionne pour n’importe quel ´eventail d`es que ce

dernier satisfait le th´eor`eme S1.

Th´ eor` eme 2 . Pour p = 2, il existe κ ∈

calculable `a partir de bases de Gr¨obner associ´ees `a chaque cˆ one de l’´eventail E

(ce calcul sera d´etaill´e `a la section 3) tel que pour tout w ∈

,

V

(M ) ⊂ V

(M ).

Pour p

3, une g´en´eralisation de ce r´esultat semble se heurter `a des difficult´es techniques difficiles `a r´esoudre.

En r´esum´e, voici l’apport du pr´esent article :

– Un ´enonc´e et une preuve constructifs du th´eor`eme cl´e S1 ce qui fournit une approche plus

´el´ementaire et plus constructive de l’´etape 2 de la preuve de C. Sabbah et qui permet d’´eviter la notion d’´eventail adapt´e.

– Pour p = 2, une preuve enti`erement constructive de l’´etape 2 dans la preuve de C. Sabbah.

Je signale que cet article constitue une partie de ma th`ese [Bah03] dans laquelle on pourra trouver une autre preuve de l’assertion (a) de S2 sans passer par le th´eor`eme 1.

D´ecrivons le contenu de cet article.

Dans une premi`ere section, nous faisons un certain nombre de rappels concernant le th´eor`eme de division dans D

hzi tel qu’il est ´enonc´e dans [A-C-G01], les notions de base standard et d’´eventail de Gr¨obner. La section 2 est consacr´ee `a la d´emonstration du th´eor`eme 1. Dans la troisi`eme section, nous d´emontrons le th´eor`eme 2.

1. Rappels et r´ esultats pr´ eparatoires

Dans les paragraphes qui suivent, nous rappelons, sans donner les d´emonstrations un certain nombre de notions et de r´esultats qui nous seront utiles dans les sections 2 et 3.

1.1 Homog´ en´ eisation

Comme dans [C-N97], nous introduisons l’anneau D

hzi. C’est avec cet anneau que les auteurs de [A-C-G01] ont introduit l’´eventail de Gr¨obner analytique.

Dans ce paragraphe et jusqu’`a 1.3.2, x = (x

, . . . , x

) et D

d´esigne l’anneau des op´erateurs diff´erentiels `a coefficients dans

{x}. On d´efinit l’anneau D

hzi comme la

{x}-alg`ebre engendr´ee par ∂

, . . . , ∂

, z o` u les seules relations de commutation non triviales sont :

[∂

, c(x)] = ∂c(x)

∂x

z pour i = 1, . . . , n et c(x) ∈

Dans l’anneau D

, on note deg(P ) le degr´e total en les ∂

d’un ´el´ement P . Consid´erons la filtration associ´ee. Elle s’´etend naturellement `a D

hzi en consid´erant le degr´e total en les ∂

et z. Cette filtration fait de D

hzi une alg`ebre gradu´ee :

D

hzi =

d∈N

D

hzi

avec D

hzi

=

k+|β|=d

C

{x}∂

z

,

o` u β ∈

, ∂

= ∂

· · · ∂

et |β| = β

+ · · · + β

.

On dit qu’un op´erateur P ∈ D

hzi est homog`ene (de degr´e d) si P ∈ D

hzi

. Pour P ∈ D

, on d´efinit son homog´en´eis´e h(P ) ∈ D

hzi comme suit.

On ´ecrit P =

β

c

(x)∂

et on pose h(P ) =

β

c

(x)∂

z

o` u d = deg(P ), ainsi h(P ) est homog`ene de degr´e deg(P ).

De plus pour un id´eal I de D

, on d´efinit h(I ) comme l’id´eal (`a gauche) de D

hzi engendr´e par

l’ensemble des h(P ) avec P parcourant I .

1.2 Filtrations, divisions et bases standards

Nous rappelons les notions usuelles de filtrations sur D

et D

hzi, le th´eor`eme de division dans D

hzi de [A-C-G01]. Nous rappelons aussi les notions de bases standards et bases standards r´eduites minimales.

Soit U l’ensemble des formes lin´eaires L :

→

L(α, β) =

1

e

α

+

1

f

β

avec pour tout i = 1, . . . , n, e

0 et e

+ f

0. On ´etend U `a

en posant L(α, β, k) = L(α, β).

Pour P ∈ D

hzi (resp. P ∈ D

), on ´ecrit P =

α,β,k

a

x

∂

z

(avec a

= 0 pour k > 0 si P ∈ D

). On d´efinit le diagramme de Newton de P, not´e N (P ) ⊂

(resp. ⊂

), comme l’ensemble des (α, β, k) ∈

pour lesquels a

6= 0.

Etant donn´e L ∈ U et P ∈ D

hzi (ou P ∈ D

), on d´efinit l’ordre de P par rapport `a L comme ord

(P) = max L(N (P )). Cette ordre induit une filtration F

sur D

hzi ou D

index´ee par L(

) donn´ee par :

F

(D

hzi) = {P ∈ D

hzi; ord

(P )

k}

ainsi qu’un gradu´e associ´e gr

(D

hzi) =

k∈L(N2m+1)

F

(D

hzi)/F

(D

hzi).

Pour P ∈ D

hzi, on note σ

(P) ∈ gr

(D

hzi) le symbole principal de P , i.e. la classe de P dans quotient F

(D

hzi)/F

(D

hzi) avec k = ord

(P ). Si J est un id´eal de D

hzi, on a une filtration F

(J) induite qui conduit `a un id´eal gradu´e de gr

(D

hzi) qu’on note gr

(J) et qui est engendr´e par l’ensemble des σ

(P ) pour P ∈ J .

Pour une forme L ∈ U, on d´efinit deux ordres : <

sur

et <

sur

: (α, β) <

(α

, β

) ⇐⇒







L(α, β) < L(α

, β

) ou

´egalit´e et |β| < |β

|

ou

´egalit´es et (α, β) >

(α

, β

)

, o` u <

est un bon ordre compatible avec l’addition fix´e pour toute la suite.

(α, β, k) <

(α

, β

, k

) ⇐⇒

(

k + |β| < k

+ |β

| ou

´egalit´e et (α, β) <

(α

, β

)

. Pour P ∈ D

hzi, on d´efinit l’exposant privil´egi´e exp

L

(P) = max

L

(N (P )) et le monˆ ome privil´egi´e mp

L

(P ) = (x, ∂

, z)

. De mˆeme pour P ∈ D

et <

`a la place de <

. Notons que exp

(P Q) = exp

(P ) + exp

(Q) d`es que ≺ est compatible avec l’addition ce qui est le cas pour

<

et <

. Rappelons le th´eor`eme de division dans D

hzi de [A-C-G01].

Soit L ∈ U . Soient Q

, . . . , Q

une famille d’´el´ements de D

hzi. Notons (∆

, . . . , ∆

, ∆) la ¯ partition de

d´efinie `a partir des exp

L

(Q

) : – ∆

= exp

L

(Q

) +

– ∆

= (exp

L

(Q

) +

)

(

i=1

∆

) pour j = 2, . . . , r – ∆ = ¯

(

j=1

∆

)

Th´ eor` eme 1.1 . ([A-C-G01] Theorem 7) Pour tout P ∈ D

hzi il existe un unique (q

, . . . , q

, R) ∈ (D

hzi)

tel que :

i) P = q

Q

+ · · · + q

Q

+ R

ii) pour tout j = 1, . . . , r, si q

6= 0 alors N (q

) + exp

L

(Q

) ⊂ ∆

iii) si R 6= 0 alors N (R) ⊂ ∆ ¯

On appelle R le reste de la division de P par les Q

relativement `a <

.

Corollaire 1.2 . – exp

L

(P ) = max

L

{exp

L

(q

Q

), j = 1, . . . , r; exp

(R)}

– ord

(P) = max{ord

(q

Q

), j = 1, . . . , r; ord

(R)}

Soit J un id´eal de D

hzi et Q

, . . . , Q

∈ J . On dit que Q

, . . . , Q

forment une <

-base standard de J si pour tout P dans J , le reste de la division de P par Q

, . . . , Q

est nul. Consid´erons l’ensemble des exposants de J, Exp

L

(J ) = {exp

L

(P), P ∈ J

0}. Etant donn´es Q

, . . . , Q

∈ J, les deux assertions suivantes sont ´equivalentes (grˆace aux th´eor`eme de division) :

– Les Q

forment une <

-base standard de J – Exp

L

(J ) =

j=1

(exp

L

(Q

) +

)

L’existence d’une base standard est assur´ee par le lemme de Dickson qui dit que si une partie E de

(q ∈

0) v´erifie E +

= E (ce qui est le cas de Exp

L

(J )) alors il existe F ⊂ E fini tel que E = ∪

(e +

).

Il est facile de voir qu’une base standard n’est pas unique, c’est pour cela qu’il existe une notion de base standard r´eduite minimale :

D´ efinition. Soit Q

, . . . , Q

une <

-base standard de J ⊂ D

hzi et soit e

= exp

L

(Q

) pour j = 1, . . . , r.

– On dit qu’elle est minimale si pour toute partie finie F de

on a l’implication suivante : Exp

L

(J ) =

e∈F

(e +

) ⇒ {e

, . . . , e

} ⊆ F.

– On dit qu’elle est r´eduite si les Q

sont unitaires (i.e. le coefficient du monˆone privil´egi´e est 1) et si pour tout j :

(N (Q

)

e

) ⊂ (N

Exp

(J)).

Il existe une unique <

-base standard r´eduite minimale d’un id´eal J ⊂ D

hzi.

Notons que si l’id´eal J est homog`ene alors la base standard r´eduite minimale est constitu´ee d’´el´ements homog`enes. Nous terminons ce paragraphe par un lemme qui illustre l’int´erˆet des bases standards r´eduites minimales. Nous l’appliquerons dans la section suivante.

Lemme 1.3. Soient <

et <

deux ordres sur

qui permettent de faire des divisions dans D

hzi (par exemple <

=<

i

avec L

et L

deux formes). Soit {Q

, . . . , Q

} la base standard r´eduite minimale d’un id´eal J ⊂ D

hzi par rapport `a l’ordre <

. Supposons que pour tout j, exp

(Q

) et exp

(Q

) soient ´egaux. Alors {Q

, . . . , Q

} est aussi la base standard r´eduite minimale de J par rapport `a <

.

Nous omettons la preuve. Disons simplement que ce qui importe lors d’une division, c’est l’ensemble des exp

(Q

) et pas l’ordre <. Ainsi, diviser par les Q

par rapport `a <

ou <

donnera les mˆemes quotients et le mˆeme reste.

1.3 Eventail de Gr¨ obner

Dans ce paragraphe, nous rappelons le r´esultat principal de [A-C-G01] d´ecrivant l’´eventail de

Gr¨obner d’un id´eal. Nous introduisons aussi le V -´eventail de Gr¨obner E

(h(I)), ce sera l’objet

principal des sections 2 et 3.

1.3.1 On se donne un id´eal I de D

et on consid`ere h(I) ⊂ D

hzi son homog´en´eis´e. Pour L et L

dans U , on d´efinit la relation :

L ∼ L

⇐⇒ gr

(D

hzi) ' gr

(D

hzi) et gr

(h(I )) ' gr

(h(I)).

Cette relation est une relation d’´equivalence sur U .

Th´ eor` eme 1.4 . [A-C-G01] La partition sur U donn´ee par la relation d’´equivalence pr´ec´edente est constitu´ee de cˆ ones poly´edraux rationnels convexes. Cette partition qu’on note E(h(I)) est appel´ee

´eventail de Gr¨obner (analytique) de h(I).

De plus pour chaque cˆ one σ ∈ E (h(I)), il existe Q

, . . . , Q

∈ h(I ) homog`enes tels que : – pour tout L, L

∈ σ, σ

(Q

) = σ

(Q

) et exp

L

(Q

) = exp

L0

(Q

) pour tout j.

– pour tout L ∈ σ, l’ensemble {Q

, . . . , Q

} est la base standard r´eduite minimale de h(I ) par rapport `a <

.

Remarquons que la deuxi`eme condition nous montre que sur un cˆ one σ, l’ensemble Exp

(h(I )) des exposants de h(I ) par rapport `a <

est constant lorsque L parcourt σ.

1.3.2 A partir de maintenant, on travaillera dans D

et D

hzi (i.e. m = n + p). Pour j = 1, . . . , p, on notera V

∈ U la forme lin´eaire donn´ee par : V

(α, µ, β, ν) = ν

− µ

o` u α, β ∈

et µ, ν ∈

. Cette forme lin´eaire donne lieu `a une filtration qu’on note aussi V

et qui n’est rien d’autre que la V -filtration de Kashiwara-Malgrange associ´ee `a la variable t

(rappelons que dans D

, les variables sont x = (x

, . . . , x

) et t = (t

, . . . , t

)). On note alors V la multifiltration V = (V

, . . . , V

).

Nous noterons U

⊂ U le sous-ensemble des formes lin´eaires L s’´ecrivant : L = l

V

+ · · · + l

V

,

avec (l

, . . . , l

) ∈ (

)

, aussi nous identifierons U

et (

)

.

A partir de maintenant, pour L ∈ U

, on notera V

la filtration associ´ee `a L (conform´ement aux notations de [Sab87a]). Notons que pour L ∈ U

, gr

(D

hzi) est isomorphe `a un sous-anneau de D

hzi, ainsi nous consid´ererons que tous les calculs se feront dans D

hzi. Maintenant, consid´erons la restriction de E (h(I)) `a U

. Ceci donne lieu au V -´eventail de Gr¨obner de h(I) que l’on note E

(h(I )). Comme cons´equence, on obtient un analogue du th´eor`eme 1.4 :

Corollaire 1.5. Pour chaque cˆ one σ de E

(h(I )), il existe Q

, . . . , Q

∈ h(I ) homog`enes tels que : – pour toute L, L

∈ σ, σ

(Q

) = σ

(Q

) et exp

L

(Q

) = exp

L0

(Q

) pour tout j.

– pour tout L ∈ σ, l’ensemble {Q

, . . . , Q

} est la base standard r´eduite minimale de h(I ) par rapport `a <

.

On voit que pour chaque cˆ one σ, il existe des Q

qui, pour tout L de σ, forment la base standard r´eduite minimale de h(I) par rapport `a <

. S’il n’y pas de confusion possible, on l’appelle la base standard de h(I) associ´ ee ` a σ.

Terminons ce paragraphe par quelques remarques et notations. Un cˆ one σ de E

(h(I )) n’est pas n´ecessairement ouvert (il peut ˆetre ”semi-ouvert”). Voici comment on d´efinit L(σ) :

on consid`ere d’abord l’adh´erence ¯ σ de σ. Il existe L

, . . . , L

∈ U

qu’on suppose primitifs (avec q

1 pouvant ˆetre plus grand que p) tels que :

¯

σ = {L = r

L

+ · · · r

L

; r

0}.

Supposons q minimal alors L(σ) est l’ensemble {L

, . . . , L

}. L’ensemble L(E

(h(I ))) n’est alors rien d’autre que la r´eunion des L(σ) avec σ ∈ E

(h(I )) (remarquons qu’il est constitu´e d’´el´ements entiers car tout cˆ one σ est rationnel).

On d´efinit l’int´erieur de σ comme l’ensemble des combinaisons `a coefficients strictement positifs des L

. On note iL

, . . . , L

h le cˆ one ouvert engendr´e par les L

. D’autre part si L

et L

sont dans U

, on note iL

, L

i = {r

L

+ r

L

; r

> 0, r

0} le cˆ one semi-ouvert contenant L

mais non L

.

Dans la suite, on ´ecrira E

`a la place de E

(h(I)).

2. D´ emonstration du th´ eor` eme 1

Soit σ un cˆone de E

. Nous avons vu dans le corollaire 1.5 qu’il existe une famille Q

, . . . , Q

de h(I ) qui est la base standard r´eduite minimale de h(I ) par rapport `a <

et ce pour tout L dans σ. Maintenant, que se passe-t-il pour une forme lin´eaire L appartenant `a l’adh´erence de σ mais qui n’est pas dans σ (ce qui peut arriver pour un ´el´ement de L(σ)) ? Bien entendu les Q

ne forment pas n´ecessairement une base standard de h(I ) pour l’ordre <

. Par contre il est possible, et c’est le but du r´esultat suivant, de construire un ordre que nous noterons

(car il d´epend de L et de σ) pour lequel les Q

forment la base standard r´eduite minimale de h(I). Voici comment on d´efinit l’ordre en question.

D’abord on fixe une forme lin´eaire L

dans l’int´erieur de σ et pour (α, µ, β, ν, k) et (α

, µ

, β

, ν

, k

) dans

on pose :

(α, µ, β, ν, k)

(α

, µ

, β

, ν

, k) ⇐⇒







k + |β| + |ν| < k

+ |β

| + |ν

| ou

= et L(α, µ, β, ν) < L(α

, µ

, β

, ν

)

ou

= et = et (α, µ, β, ν ) <

(α

, µ

, β

, ν

)

.

Proposition 2.1. Soit L ∈ U

appartenant `a l’adh´erence de σ ∈ E

et soit Q

, . . . , Q

la base standard de h(I ) associ´ee au cˆ one σ. Alors pour tout j = 1, . . . , r et pour tout L

dans iL, L

i :

exp

L0

(Q

) = exp

L

(Q

).

Comme cons´ equence de cette proposition, nous obtenons que les Q

forment la base stan- dard r´ eduite minimale de h(I) pour l’ordre

. En effet, il suffit pour cela d’appliquer le lemme 1.3.

D´emonstration.

En utilisant le corollaire 1.5, on obtient exp

L

(Q

) = exp

L

(σ

(Q

))

= exp

Lσ

(σ

(Q

)) par d´efinition de

et <

= exp

Lσ

(σ

(σ

(Q

)))

= exp

Lσ

(σ

(Q

)) car σ

(Q

) est constant ∀L

∈iL, L

i, voir la figure 2 ci-apr`es.

= exp

(Q

)

= exp

(Q

).

L₁

1

2 2

V L = L

L L’

exp

L

( Q_j) V

Figure 2. Diagramme de Newton d’un Q

associ´e `a σ =iL

, L

i

Rappelons que I est un id´eal de D

, M = D

/I et δ est la classe de 1 dans M. Soit σ un cˆ one de E

. Notons L

, . . . , L

les ´el´ements de L(σ).

Lemme 2.2. Soit i

∈ {1, . . . , q}, m ∈ V

i0

(M) avec λ

∈

et P ∈ D

tel que P δ = m et ord

(P) > λ

alors il existe P

∈ D

tel que :

– P − P

∈ I c’est-`a-dire P

δ = m – ord

(P

) < ord

(P )

– ord

(P

)

ord

(P) pour i ∈ {1, . . . , q}

{i

}.

En d’autres termes, il est possible de faire baisser l’ordre par rapport `a l’un des L

sans augmenter l’ordre par rapport aux autres L

. Avec ce lemme, nous sommes en mesure de donner une

D´emonstration du th´eor`eme 1.

Soit m ∈

L∈L(σ)

V

(M) alors pour i = 1, . . . , q, il existe P

∈ D

tel que P

δ = m et ord

(P

)

L

(v). On pose ˜ P

= P

. En appliquant un nombre fini de fois le lemme avec i

= 2 (la premi`ere fois avec P = ˜ P

et λ

= ord

( ˜ P

)), on construit ˜ P

tel que P ˜

δ = m et ord

( ˜ P

)

L

(v) pour i = 1, 2. On recommence le processus avec i

= 3 et P = ˜ P

, etc. Apr`es un nombre fini d’´etapes on obtient ˜ P

∈ D

tel que ˜ P

δ = m et pour tout i = 1, . . . , q, ord

( ˜ P

)

L

(v). Ceci montre bien que m ∈

V

(M).

Pour finir cette section, il ne reste plus qu’`a d´emontrer le lemme pr´ec´edent :

D´emonstration de 2.2.

Pour simplifier les notations, nous ferons la d´emonstration avec i

= 1, λ = λ

et

=

i

. Notons Q

, . . . , Q

la base standard de h(I ) associ´ee au cˆ one σ.

Par hypoth`ese, il existe P

∈ D

avec P

δ = m et ord

(P

)

λ. Il existe l

, l, l

∈

tels que z

h(P − P

) = z

h(P ) − z

h(P

). On pose alors H = z

h(P ), H

= z

h(P

) et H

= H − H

et comme P − P

∈ I , on a H

∈ h(I ).

Consid´erons la division de H

par les Q

relativement `a l’ordre

: H

=

r

X

j=1

q

Q

avec N (q

) + exp

1

(Q

) ⊂ ∆

pour tout j

o` u les ∆

⊂

forment la partition de Exp

1

(h(I )) associ´ee aux exposants privil´egi´es des Q

(voir le th´eor`eme de division 1.1 rappel´e `a la section 1).

Comme pour tout i, j, les exposants exp

1

(Q

) et exp

(Q

) sont ´egaux, la division pr´ec´edente est aussi une division relativement aux ordres

, . . . ,

. Par cons´equent, pour tout i = 1, . . . , q et j = 1, . . . , r :

ord

(H

)

ord

(q

Q

).

Notons J l’ensemble des j ∈ {1, . . . , r} pour lesquels ord

(H

) = ord

(q

Q

), nous avons alors : σ

(H

) = σ

(H) =

j∈J

σ

(q

)σ

(Q

).

On consid`ere et on note W =

j∈J

σ

(q

)Q

. C’est un ´el´ement de h(I).

Posons H

= H − W . Nous allons montrer les deux assertions suivantes.

i) ord

(H

) < ord

(H),

ii) ord

(H

)

ord

(H) pour i = 2, . . . , q.

i) On a clairement σ

(H) = σ

(W ). Par cons´equent,

H

= (H − σ

(H)) − (W − σ

(W )).

On voit alors facilement que les deux termes entre parenth`eses ont un L

-ordre strictement inf´erieur `a celui de H.

ii) Fixons i entre 2 et q.

En utilisant 1.5, pour tout j, on a : exp

Li

(σ

(Q

)) = exp

Li

(Q

). (1)

D’autre part, par construction des q

, pour tout j on a : N (q

) + exp

(Q

) ⊂ ∆

, ce qui entraine ceci pour tout j :

N (σ

(q

)) + exp

(σ

(Q

)) ⊂ ∆

. (2) Maintenant, nous avons σ

(W ) =

j∈J

σ

(q

)σ

(Q

). Par la relation (2), on peut dire que cette ´ecriture est le r´esultat de la division de σ

(W ) par {σ

(Q

), j ∈ J } relativement `a

¢_Li

, par cons´equent :

exp

(σ

(W )) = max

j∈J

{exp

(σ

(q

)σ

(Q

))}. (3) De la mˆeme mani`ere, on peut montrer que

exp

Li

(W ) = max

j∈J

{exp

Li

(σ

(q

)Q

)}. (4)

Par cons´equent, grˆ ace `a (3), (4) et (1), on obtient l’´egalit´e exp

Li

(σ

(W )) = exp

Li

(W ), ce qui donne en particulier ord

(W ) = ord

(σ

(W )). D’o` u les ´egalit´es et in´egalit´es suivantes :

ord

(W ) = ord

(σ

(W ))

= ord

(σ

(H)) car σ

(W ) = σ

(H)

ord

(H).

Par cons´equent, ord

(H

)

ord

(H). Les deux assertions sont d´emontr´ees.

Maintenant, effectuons la sp´ecialisation z = 1 (qui est un morphisme d’alg`ebres D

hzi → D

)

et posons P

= H

= P −W

. On a W ∈ h(I) donc W

∈ I et P

δ = m. Apr`es sp´ecialisation,

les assertions 1 et 2 deviennent : ord

(P

)

ord

(P ) pour tout i = 1, . . . , q avec in´egalit´e stricte pour i = 1. Le lemme est d´emontr´e.

3. D´ emonstration du th´ eor` eme 2

Dans cette section, nous allons d´emontrer le th´eor`eme 2. Nous allons dans un premier temps ´enoncer plus pr´ecis´ement l’assertion en question, puis nous en ´ecrirons la preuve. Nous verrons qu’elle consiste essentiellement en une analyse raffin´ee du lemme pr´ec´edent 2.2, en effet nous ferons ce qu’on pourrait appeler un “contrˆole de la mont´ee de l’ordre” par rapport ` a la forme V

.

Rappelons que dans ce paragraphe, p ´egale 2.

Notation.

– Soient L

, L

deux formes non nulles de U

. Ecrivons L

= a

V

+ b

V

avec a

, b

0. On dit que L

est inf´erieure (resp. strictement inf´erieure) `a L

si b

/a

b

/a

(resp. b

/a

< b

/a

).

On abr`egera cette notion en notant L

L

(resp. L

< L

). Par convention b/0 = +∞, toute forme L est inf´erieure `a V

.

– Soient L

6= L

dans U

et H ∈ D

hzi. On dit que H est L

-homog`ene si H = σ

(H). On dit que H est (L

, L

)-homog`ene si H = σ

(σ

(H)).

– Soit L une forme dans U

. Nous noterons

l’ordre sur

donn´e par : (α, µ, β, ν, k)

(α

, µ

, β

, ν

, k) ⇐⇒







k + |β + ν| < k

+ |β

+ ν

| ou

= et L(α, µ, β, ν ) < L(α

, µ

, β

, ν

)

ou

= et = et (α, µ, β, ν ) <

(α

, µ

, β

, ν

)

.

Nous remarquons qu’en adoptant les notations du paragraphe pr´ec´edent et en posant σ = iV

, Lh (avec L 6= V

) alors on a :

=

. Si par contre L = V

alors

=<

.

Soit σ un cˆ one de E

de dimension 2 (maximale) et {L

, L

} = L(σ) avec L

< L

. Notons Q

, . . . , Q

la base standard de h(I ) associ´ee `a σ. On d´efinit κ

∈

par :

κ

= max{ord

(Q

) − ord

(σ

(Q

)), j = 1, . . . , r}.

Avec les notations pr´ec´edentes, nous avons (voir la figure 3) : ord

(σ

(Q

)) = ord

(exp

2

(Q

)).

Maintenant on d´efinit κ

∈

comme le maximum des κ

pour les cˆones σ ∈ E

de dimension 2. Voici une reformulation plus pr´ecise du th´eor`eme 2 :

Th´ eor` eme 2 bis. Pour tout w ∈

:

V

(M ) ⊂ V

(M ).

3.1 Contrˆ ole de la mont´ ee de l’ordre par rapport V

Soit σ ∈ E

un cˆ one de dimension maximale et soient L

< L

ses g´en´erateurs primitifs. Soit m ∈ V

(M ) avec w dans

, en particulier m ∈ (V

(D

)δ) ∩ (V

(D

)δ). Supposons donn´e P ∈ D

tel que P δ = m et ord

(P )

L

(w) et tel que ord

(P ) > L

(w). Alors nous avons montr´e dans le lemme 2.2 comment construire, en un nombre fini d’´etapes, un ´el´ement P

tel que ord

(P

)

ord

(P ) (i.e. l’ordre par rapport `a L

n’a pas augment´e) et ord

(P

)

L

(w) (i.e.

l’ordre par rapport `a L

a baiss´e le plus possible). Nous pouvons nous demander ce qui se passe