Structure connective des relations multiples

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Preprint submitted on 10 May 2015

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Stéphane Dugowson

To cite this version:

Stéphane Dugowson. Structure connective des relations multiples. 2015. �hal-01150262�

St´ ephane Dugowson

10 mai 2015

R´esum´e.L’objet de cet article est d’abord de d´efinir la structure connective sur un ensembleIde toute relation multiple portant sur une famille d’ensembles index´ee parI, une telle relation ´etant vue comme exprimant une compatibilit´e entre les ´etats de diff´erents syst`emes, de sorte qu’une compatibilit´e totale ex- prime en fait une absence d’interaction. Nous d´emontrons alors un <sup>≪</sup>th´eor`eme de Brunn^≫ pour les relations multiples, `a savoir le fait que toute structure connective est celle d’une telle relation.

Mots cl´es.Connectivit´e. Espaces connectifs. Relations. Alg`ebre relationnelle.

Borrom´een. Brunn.

Abstract. The prime purpose of this paper is to define the connectivity struc- ture, on a set I, of any multiple relation defined on a family of sets indexed by I, such a relation expressing compatibility between the states of different sys- tems (thus a full compatibility indicates absence of any connection). We then demonstrate a ”Brunn’s theorem” for those multiple relations, that is the fact that every connectivity structure is the connectivity structure of such a relation.

Keywords. Connectivity. Connectivity spaces. Relations. Relational algebra.

Borromean. Brunn.

MSC2010.08A02, 54A05.

Les relations multiples consid´er´ees ici sont d’arit´e quelconque variable, g´en´e- ralement infinie, puisque les ensembles entre les ´el´ements desquels elles portent sont index´es par un sous-ensemble d’un ensembleIquelconque¹ fix´e. Intuitive- ment, les ensembles ainsi index´es repr´esentent autant de syst`emes en interaction mutuelle, leurs ´el´ements repr´esentent les ´etats de ces syst`emes, et une rela- tion multiple exprime la compatibilit´e de certains de ces ´etats, donc certaines contraintes mutuelles entre les syst`emes consid´er´es. Afin de d´efinir la struc- ture connective sur I d’une telle relation, nous commen¸cons par pr´eciser dans la premi`ere partie, consacr´ee `a un certain mono¨ıde commutatif et idempotent constitu´e de ces relations multiples, certaines notations, d´efinitions et r´esultats relatifs `a de telles relations. Cette partie n’a aucune pr´etention `a l’originalit´e, on en trouve sans doute la substance dans les cours d’alg`ebre relationnelle —

∗Laboratoire LISMMA-QUARTZ, Institut Sup´erieur de M´ecanique de Paris. Email : ste- phane.dugowson@supmeca.fr

1. Malgr´e cela, on ne fera pas a priori l’hypoth`ese de l’axiome du choix. Du reste, pour tous les exemples auxquels nous avons song´e en pratique, les ensembles de la famille consid´er´ee ont des ´el´ements rep´erables qui peuvent ˆetre choisis directement, de sorte que le produit de ces ensembles est assur´ement non vide.

1

mˆeme si l’on s’y limite g´en´eralement aux arit´es finies — et pour la plupart les r´esultats donn´es sont intuitivement ´evidents et presque toujours tr`es faciles `a d´emontrer. La deuxi`eme partie, plus originale, o`u le r´esultat le plus int´eressant est sans doute que l’union de parties dites d´etachables n’est pas n´ecessairement elle-mˆeme d´etachable, pr´epare `a la troisi`eme, o`u se trouve d´efinie la structure connective d’une relation multiple. On d´emontre finalement un <sup>≪</sup>th´eor`eme de Brunn^≫pour les relations multiples, `a savoir le fait que toute structure connec- tive est celle d’une relation multiple.

Dans tout l’article,I d´esigne un ensemble, et E = (E_i)^i∈I une famille d’en- sembles non vides index´ee par I. On notera ∣E∣ l’ensemble ∪^i∈IE_i. Pour tout ensembleA, on d´esigne parPA l’ensemble des parties deA.

1 Le mono¨ıde commutatif (R

, ⋈, 1)

1.1 Graphes triviaux et familles

D´efinition 1. Pour toute partieJ deI, on appellegraphe total ougraphe trivial surJ et on noteZJ le produit cart´esien

ZJ= ∏

j∈J

Ej.

Les ´el´ement de ZJ seront appel´es des J-familles. Cette d´enomination est sans ambigu¨ıt´e car lesZJ sont deux `a deux disjoints. L’ensemble de toutes les familles dans E sera not´eZ :

Z = ⋃

J∈P(I)

ZJ.

Pourx∈ Z, nous noterons Jx le domaine de x, c’est-`a-dire l’unique partie Jx deI telle quex∈ZJx.

Remarque 1. Toute J-famille x∈ ZJ s’identifie `a une application x∶ J → ∣E∣

v´erifiant la condition suivante :

∀j∈J, xj∈Ej,

o`uxj=x(j)d´esigne l’image dej par cette application.

Remarque 2 (Cas o`uJ = ∅). Le graphe total sur∅ ⊂Iest r´eduit `a un singleton, dont par convention l’unique ´el´ement sera not´e●:

Z∅= {●}.

Il y donc une unique∅-famille, `a savoir●.

1.2 Relations multiples

D´efinition 2. Unerelation multiple R dansE est un couple(J, G)constitu´e

— d’une partieJ⊂I appel´eedomaine deR,

— d’une partieG⊂Z_J appel´ee legraphe deR.

Dans la suite, les relations multiples dansE seront ´egalement appel´ees plus simplement desE-relations, ou plus simplement encore des relations.

Une relationR´etant donn´ee, nous d´esignerons parfois parJRson domaine, et par GR son graphe. Les relations de domaine J pourront ˆetre appel´ees des J-relations. Dans le cas o`ucard(J) =2, on parlera de relations binaires.

LesJR-familles appartenant `a GR seront dites compatibles pour la relation R, ou encoreR-compatibles. Par abus d’´ecriture, on ´ecrira souventx∈Rau lieu dex∈GR pour exprimer qu’une famillex∈ZJR estR-compatible.

L’ensemble des relations multiples dansEsera not´eR^E ou plus simplement, puiqu’ici nous consid´erons queE est fix´e,R. L’ensemble des relations multiples de domaineJ⊂I sera not´eRJ, de sorte que

R = ⋃

J⊂IRJ.

Pour tout J ⊂ I, les J-relations sont ordonn´ees par l’inclusion de leurs graphes. ´Etant donn´ees deux J-relations R et S, nous ´ecrirons R ⊂J S, ou simplement R⊂S, pour exprimer le fait queG_R⊂G_S.

1.2.1 Relations nulles et relations triviales

LaJ-relation minimale, not´ee 0J, est celle de graphe vide : 0J= (J,∅),

tandis que laJ-relation maximale, not´ee 1J, est celle de graphe total 1J= (J, Z_J).

Les relations de la forme 0J seront ditesnulles, celles de la forme 1J seront ditestriviales (outotales).

Si l’ensemble J est fini, ou si l’on admet l’axiome du choix, alors Z_J ≠ ∅, de sorte que 0J ≠ 1J. Ceci est vrai, bien que ce ne soit pas tr`es intuitif, en particulier pour J = ∅, auquel cas le graphe de 0∅ est vide tandis que celui de 1∅est Z∅= {●}.

Dans la suite, on notera ´egalement 1 cette derni`ere relation ^≪sur aucun ensemble^≫:

1=1∅= (∅,{●}). On posera ´egalement

1=1I, et

0=0I.

1.3 Restrictions

Dans cette section, on consid`ere deux partiesJetKdeItelles queJ ⊂K⊂I.

1.3.1 Restrictions de familles

D´efinition 3. On appellerestriction (de K) `a J, l’applicationρ(K,J)∶ZK→ZJ

d´efinie pour toutx∈ZK par

ρ(K,J)(x) =x○ (J↪K),

o`u xest vu comme application x∶ K→ ∣E∣ et o`u (J ↪ K)d´esigne l’injection canonique deJ dansK. Autrement dit,

ρ_(K,J)((x_k)^k∈K) = (x_k)^k∈J.

L’image(xk)^k∈J d’un ´el´ement(xk)^k∈K deZK parρ_(K,J) est larestriction `a J de(xk)^k∈K. Bien entendu, pourK=J, on a

ρ(J,J)=idZJ.

Exemple 1. La restriction `a J= ∅d’uneK-famille quelconquexest●. D´efinition 4. SoitJ,K etLtrois parties deI telles que

L⊂J∩K.

Soitx∈Z_J ety∈Z_K. On dit quexety co¨ıncident surLsi ρ_(J,L)(x) =ρ_(K,L)(y).

1.3.2 Restriction des relations

Supposant toujoursJ⊂K⊂I, la notion de restriction, d´efinie sur les familles (xk)^k∈K, s’´etend ´evidemment aux relations elles-mˆemes :

D´efinition 5. L’applicationRK→RJqui `a toute relation multipleR= (K, G) avecG⊂Z_K associe la relation(J, H)avec

H =ρ_(K,J)(G) = {ρ_(K,J)(x), x∈G} ⊂Z_J

sera encore not´eeρ_(K,J)et encore appel´eerestriction (deK) `aJ. On a ainsi ρ_(K,J)(K, G) = (J, ρ_(K,J)(G)) ∈ RJ.

Exemple 2. Dans le cas o`uJ = ∅, la restriction `aJ de laK-relation vide 0K)est 0∅, tandis que la restriction `a J d’une relation non vide quelconque est1=1∅. 1.3.3 Composition des restrictions

Qu’elles portent sur les familles ou sur les relations, les restrictions se com- posent ´evidemment selon

ρ_(K,L)○ρ_(J,K)=ρ_(J,L), o`u l’on a suppos´eI⊃J⊃K⊃L.

1.3.4 Notation

Plutˆot que de noter(ρ(K,L)○ρ(J,K))(x) la restriction successive d’une J- famillex`a Kpuis `a L, il serait plus commode de l’´ecrire

xρ_(J,K)ρ_(K,L).

Nous n’adopterons pas ici cette remise `a l’endroit des notations de composition, mais les notations usuelles pour la restriction, qui n’explicitent pas le domaine de d´epart mais uniquement le domaine d’arriv´ee de la restriction, seront tr`es utiles, et nous poserons ainsi pour touteJ-famillexet toute partieK⊂J :

ρ_(J,K)(x) =x_∣K. De mˆeme pour les restrictions de relations :

ρ_(J,K)(R) =R_∣K.

Avec ces notations, la composition des restrictions s’´ecrit simplement x_∣K∣L=x_L.

1.4 Sommes de familles

1.4.1 Familles compatibles entre elles

D´efinition 6. Pour tout couple de familles(x, y) ∈ Z², on dit quexety sont compatibles entre elles, et on notex◇y, sixety co¨ıncident sur l’intersection de leurs domaines, autrement dit si

x_∣Jx∩Jy=y_∣Jx∩Jy.

La relation◇ est ´evidemment r´eflexive et sym´etrique surZ. 1.4.2 Somme de deux familles compatibles

D´efinition 7. On d´efinit ainsi une op´eration binaire partielle surZ: pour tout couple de familles(x, y) ∈ Z² tel quex◇y, on notex+y la famille de domaine

Jx+y=Jx∪Jy, et telle que

∀j∈J_x,(x+y)j=x_j et ∀j∈J_y,(x+y)j=y_j.

Autrement dit,x+y est caract´eris´ee par son domaineJx∪Jy et par le fait que (x+y)^∣Jx=x et (x+y)^∣Jy =y.

On v´erifie imm´ediatement la proposition suivante.

Proposition 1 (El´ement neutre, idempotence et commutativit´e). L’op´eration + v´erifie les trois propri´et´es suivantes :

— pour toutx∈ Z,x+ ● =x,

— pour toutx∈ Z,x+x=x,

— si xety sont deux familles compatibles, alors x+y=y+x.

1.4.3 Somme de restrictions

Proposition 2. Pour toutx∈ Z et tout couple (K, L)de parties deJx on a x_∣K+x_∣L=x_∣K∪L.

En particulier, si K∪L=J_x, on ax=x_∣K+x_∣L.

Preuve. On axK◇xLpuisquex∣K∣K∩L=x∣K∩L=x∣L∣K∩L. Etx∣K+x∣Lco¨ıncide trivialement avecxsurK∪L, d’o`u l’´egalit´e annonc´ee.

◻

1.4.4 Restriction de somme

Proposition 3. Soient x et y deux familles compatibles dans E, et soit L ⊂ J_x∪J_y. On a

(x+y)∣L=x_∣Jx∩L+y_∣Jy∩L.

Preuve. On applique la proposition pr´ec´edente au recouvrement de L par J_x∩Let J_y∩L, d’o`u

(x+y)^∣L= ((x+y)^∣L)^∣Jx∩L+ ((x+y)^∣L)^∣Jy∩L.

Mais ((x+y)∣L)∣Jx∩L = (x+y)∣Jx∩L = ((x+y)∣Jx)∣Jx∩L = x_∣Jx∩L. De mˆeme, ((x+y)∣L)∣Jy∩L=y_∣Jy∩L. D’o`u le r´esultat.

◻

1.4.5 Familles finies de familles

Proposition 4. Soientx,yetztrois familles dansE. Si ces familles sont deux

`

a deux compatibles : x◇y,y◇z, etz◇x, alors(x+y) ◇z.

Preuve. En effet, (x+y)∣(Jx∪Jy)∩Jz = x_∣Jx∩Jz +y_∣Jy∩Jz = z_∣Jx∩Jz +z_∣Jy∩Jz = z_{∣(Jx∪Jy)∩Jz}.

◻ Proposition 5 (Associativit´e). L’op´eration binaire partielle + est associative surZ au sens o`u pour tout triplet (x, y, z) ∈ Z³,

x◇y◇z◇x⇒(x+y) +z=x+ (y+z).

Preuve. L’existence des sommes consid´er´ees est assur´ee par la proposition pr´ec´edente, et leur ´egalit´e se v´erifie imm´ediatement.

◻ Du fait de l’associativit´e et de la commutativit´e de l’op´eration+, nous pour- rons parler de la somme ∑λ∈Λxλ d’une famille finie² quelconque (xλ)^λ∈Λ de familles deux `a deux compatibles dans E. En particulier, la proposition 2 se g´en´eralise facilement :

2. Et la notion s’´etend sans difficult´e `a une famille quelconque de familles deux `a deux compatibles.

Proposition 6. Pour toutx∈ Z et tout recouvrement fini(Jλ)^λ∈Λ deJx, on a x= ∑

λ∈Λ

x_∣Jλ.

1.5 Produit de relations

Pour d´esigner le produit des relations consid´er´e ici, nous reprenons la nota- tion ⋈, usuelle en alg`ebre relationnelle pour d´esigner la jointure de deux rela- tions.

1.5.1 D´efinition du mono¨ıde commutatif(R^E,⋈,1)

D´efinition 8(Produit de deux relations multiples). Etant donn´ees´ R= (J_R, G_R) etS= (JS, GS)deux relations multiples dansE, on d´efinit leur produitT =R⋈S de la fa¸con suivante :

— le domaineJT deT est l’unionJT =JR∪JS,

— le grapheGT ⊂ZJT deT est d´efini par

G_T = {x∈Z_JT, ρ_(JT,JR)(x) ∈G_R etρ_(JT,JS)(x) ∈G_S}. Autrement dit,

(JR, GR) ⋈ (JS, GS) = (JR∪JS, ρ⁻¹_(JT,JR)(GR) ∩ρ⁻¹_(JT,JS)(GS)). Proposition 7. Le graphe du produit R⋈S de deux relations R et S dans E est donn´e par

GR⋈S= {r+s, r∈R, s∈S, r◇s}.

Preuve. Pourretscomme ci-dessus, on aρ(J_R∪J_S,JR)(r+s) = (r+s)^∣JR=r∈ GR, et de mˆemeρ(J_R∪J_S,JS)(r+s) = (r+s)^∣JS =s∈GS. R´eciproquement, pour toute(JR∪JS)-famillextelle quer=ρ(J_T,JR)(x) ∈GR ets=ρ(J_T,JS)(x) ∈GS, on a clairementr◇s etx=r+s.

◻ Proposition 8. L’op´eration ⋈ainsi d´efinie sur l’ensembleRdes relations mul- tiples dans E est associative, commutative, idempotente et admet pour ´el´ement neutre la ^≪relation pleine sur aucun ensemble^≫ 1=1∅.

Preuve. L’associativit´e et la commutativit´e de⋈d´ecoule de celles de l’union, de l’intersection et de la composition des op´erations de restriction. Pour toute relationR, l’´egalit´e

R⋈R=R est imm´ediate. Enfin, on a

(J, G)⋈1= (J, G)⋈(∅,{●}) = (J∪∅, ρ⁻_(J,J)¹ (G)∩ρ⁻_(J,∅¹ ({●})) = (J, G∩ZJ) = (J, G).

◻ De la d´efinition du produit R⋈S, on d´eduit imm´ediatement que la res- triction au domaine de R d’une famille R⋈S-compatible est n´ecessairement R-compatible :

Proposition 9. Pour toutes relationsR etS dansE, on a (R⋈S)∣JR⊂R.

1.5.2 Exemples

Produit par 1=1I : prolongement `a I.

D´efinition 9. Pour toutJ ⊂I et toutR∈ RJ, on appelleprolongement `aIet l’on noteR laI-relation d´efinie par

R=R⋈1.

Remarque 3. La notationRest compatible avec celles de1et de 1, puisque 1=1⋈1.

Proposition 10. Pour toutJ⊂I et toutR∈ R^J, on a R= (I, ρ⁻_(I,J)¹ (GR)) =R⋈1¬J, o`u¬J =I∖J.

Preuve. Le domaine deR estI=J∪I=J∪ ¬J, et son graphe est G_R=ρ⁻_(I,J)¹ (GR) ∩ρ⁻_(I,I)¹ (ZI) =ρ⁻_(I,J)¹ (GR).

D’un autre cot´e, ρ⁻¹_(I,¬J)(Z¬J) = ZI, de sorte que ρ⁻¹_(I,J)(GR) = ρ⁻¹_(I,J)(GR) ∩ ρ⁻¹_(I,¬J)(Z¬J)d’o`u finalement

G_R=GR⋈1¬J.

◻ Produit par 0=0I. Pour toute relation R∈ R, il est imm´ediat que

R⋈0=0.

Produit par0∅. Pour toute relationR∈ R, il est imm´ediat queR⋈0∅est la relation vide de mˆeme domaine queR:

R⋈0∅= (J_R,∅) =0JR.

Composition de deux relations binaires. Supposons queIcontienne une partieJ ayant trois ´el´ements distincts not´es 1, 2 et 3,

J= {1,2,3} ⊂I,

et soientf ∶E1→E2 etg∶E2→E3 deux relations binaires (par exemple deux applications), de domaines respectifsJf= {1,2}etJg= {2,3}. Leur produit est alors d´efini par

f⋈g=g⋈f= ({1,2,3},{(x, y, z) ∈E1⋈E2⋈E3, y=f(x)etz=g(y)}), de sorte que

g○f=ρ_({1,2,3},{1,3})(f⋈g).

Remarque 4. La non-commutativit´e de la composition des applications (ou des relations binaires) n’est bien entendu pas contredite par la commutativit´e du produit des relations, pour lequel l’information desEi en jeu est contenue dans la donn´ee du domaine.

1.6 Relations incompatibles

D´efinition 10. Deux relations dansE sont dites incompatibles si leur produit est nul.

La proposition suivante est imm´ediate.

Proposition 11. Deux relations R et S sont incompatibles si et seulement si pour toutx∈Ret tout y∈S, on a xet y incompatibles.

Exemple 3. Toute relation nulle est incompatible avec toute autre relation.

1.7 Restriction d’un produit

Proposition 12. Soient R et S deux relations dans E, et L une partie de J_R∪J_S. On a

(R⋈S)∣L⊂R_∣L∩JR⋈S_∣L∩JS.

Preuve. Les deux relations sont comparables, puisqu’elles sont de mˆeme do- maineL. Soit maintenantx= (r+s)^∣L∈ (R⋈S)^∣L, avecr∈R,s∈S etr◇s. On a

x=x_∣L∩JR+x_∣L∩JS. Mais

x∣L∩J_R= ((r+s)^∣L)^∣L∩JR= (r+s)^∣L∩JR= ((r+s)^∣JR)^∣L∩JR=r∣L∩J_R, d’o`ux∣L∩J_R∈R∣L∩J_R. De mˆeme,x∣L∩J_S ∈S∣L∩J_S. On en d´eduit quex∈R∣L∩J_R⋈ S∣L∩J_S.

◻ Remarque5.La r´eciproque est fausse en g´en´eral. Par exemple, pourI= {1,2,3,4}, Ei=Npour touti∈I,JR= {1,2,3},JS= {1,2,4},L= {1,3,4},R d´efini par

(r1, r2, r3) ∈R⇔r2=0 et S d´efini par

(s1, s2, s4) ∈S⇔s2≠0, on aR etS incompatibles de sorte que

(R⋈S)∣L=0L, mais par ailleurs

R∣L∩JR⋈S∣L∩JS =1L∩JR⋈1L∩JS=1L.

Proposition 13. Soient R et S deux relations dans E, et L une partie de I v´erifiant

J_R∩J_S⊂L⊂J_R∪J_S. Alors

(R⋈S)∣L=R_∣L∩JR⋈S_∣L∩JS.

En particulier, si JR∩JS = ∅, l’´egalit´e ci-dessus est satisfaite pour tout L ⊂ JR∪JS.

Preuve. D’apr`es la proposition 12, il suffit de prouver l’inclusion du second membre dans le premier. Soit doncr<sup>′</sup>+s<sup>′</sup>∈R<sub>∣JR∩L</sub>⋈S<sub>∣JS∩L</sub>, avecr<sup>′</sup>∈R<sub>∣JR∩L</sub> et s<sup>′</sup>∈S<sub>∣JS∩L</sub>qui co¨ıncident surJR∩JS. Puisquer<sup>′</sup>∈R<sub>∣JR∩L</sub>, il exister∈Rtel que r<sub>∣JR∩L</sub>=r<sup>′</sup>, et de mˆeme il existes∈Stel ques<sub>∣JS∩L</sub>=s<sup>′</sup>. L’inclusionJR∩JS⊂L entraˆıne alors d’une partJR∩JS⊂JR∩Ld’o`ur∣J_R∩J_S= (r∣J_R∩L)^∣JR∩J_S =r_∣J^′

R∩JS, et d’autre partJR∩JS ⊂JS∩Ld’o`us_∣JR∩JS =s^′_∣J

R∩JS. Commer_∣J^′

R∩JS=s^′_∣J

R∩JS, on en d´eduit que ret sco¨ıncident surJR∩JS, d’o`u l’existence der+s∈R⋈S, qui v´erifie(r+s)<sup>∣L</sup>=r<sup>′</sup>+s<sup>′</sup>, d’o`u finalementr^′+s^′∈ (R⋈S)^∣L.

◻

1.8 Produit de restrictions

Proposition 14. Pour toute relation multipleR∈ R, et pour tout recouvrement JR = K∪L du domaine de R par un couple (L, K) de parties de I, on a l’inclusion

R⊂R_∣L⋈R_∣K.

Preuve. D’apr`es les propositions 2 et 7, on a pour toutx∈R:x=x∣L+x∣K∈ R∣L⋈R∣K.

◻

2 Scissions

2.1 Parties propres et bipartitions

Rappelons qu’une partie propre d’un ensembleJ est une partie K⊂J telle

que ∅ ⊊K⊊J.

Dans cette section et la suivante, nous ferons souvent appel `a des partitions de l’ensemble I, ou d’un sous-ensemblesJ deI, constitu´ees de deux partiesK et L. Nous appellerons de telles partitions des bipartitions. Rappelons qu’une partition est un recouvrement constitu´e de parties propres (donc nonnon vides) et deux `a deux disjointes. Ainsi, une bipartition de J est un couple (K, L)de parties deJ telles que

K≠ ∅ ≠L et K∪L=J et K∩L= ∅.

Remarquons que l’existence d’une bipartition de J implique queJ a au moins deux ´el´ements.

2.2 Somme de deux familles de domaines disjoints

SoientJ etKdeux parties disjointes deI:J∩K= ∅. Pour pour tout couple (x, y) ∈ZJ×ZK, on a x∣J∩K = ● =y∣J∩K, donc x◇y, de sorte quex+y∈ZJ∪K

est bien d´efini.

2.3 Unicit´ e des factorisations disjointes

Proposition 15. Soient R ≠ 0JR et S ≠ 0JS deux relations non nulles et de domaines disjoints :JR∩JS= ∅. Alors

R= (R⋈S)^∣JR et S= (R⋈S)^∣JS. Preuve. D’apr`es la proposition 13, on a

(R⋈S)∣JR=R⋈S_∣∅,

maisS≠0JS ⇒S∣∅=1∅=1, d’o`u(R⋈S)^∣JR=R. Et de mˆeme a-t-on(R⋈S)^∣JS = S.

◻ Corollaire 16. Deux relations non nulles de domaines disjoints sont n´ecessairement compatibles.

Remarque 6. La proposition 15 cesse d’ˆetre v´erifi´ee si l’on ne suppose pasJ∩K=

∅ ou siR ouS est nulle. Par exemple,R⋈0=0etR⋈0∅=0J ne d´eterminent pas R. De mˆeme, on construit facilement un exemple de relations non nulles incompatibles de domaines respectifsJ etK avecJ∩K≠ ∅, pour lesquelles la proposition n’est ´evidemment pas v´erifi´ee.

Corollaire 17. SoitT une relation non nulle, et soit(K, L)une bipartition de JT. Alors,si elle existe, une factorisation de T de la forme

T=R⋈S

avec J_R=K etJ_S =L est n´ecessairement unique,R etS ´etant donn´es par R=T∣K et S=T∣L.

2.4 Relations scindables

D´efinition 11. Une relationT sera ditescindable selon une bipartition (K, L) deJ_T si elle admet une factorisation de la formeT=R⋈Savec(R, S) ∈ RK⋈RL. En pratique, les crit`eres suivants sont extrˆemement utiles pour v´erifier si une relation est ou non scindable selon une bipartition(K, L).

Proposition 18. Etant donn´ees´ T une relation dansEet(K, L)une bipartition de JT,T est scindable selon (K, L)si et seulement si

T=T_∣K⋈T_∣L.

Preuve. Si l’´egalit´e a lieu,Test scindable sur(K, L)par d´efinition. R´eciproquement, siT est non nulle et scindable selon(K, L), l’´egalit´e r´esulte imm´ediatement du corolaire 17, tandis que siT est nulle cette ´egalit´e est trivialement satisfaite.

◻ Proposition 19. Une relation multiple T est scindable selon une bipartition (K, L)de J_T si et seulement si on a

∀x∈T_∣K,∀y∈T_∣L, x+y∈T.

Preuve. D’apr`es les propositions 14 et 18,T est scindable selon(K, L)si et seulement si on a l’inclusionT<sub>∣K</sub>⋈T<sub>∣L</sub>⊂T, et la proposition 7 ach`eve la preuve.

◻ D´efinition 12. Une relation T est dite scindable s’il existe une bipartition (K, L)deJT telle queT soit scindable selon(K, L).

Remarque 7. Puisque l’existence d’une bipartition de JT implique que JT a au moins deux ´el´ements, aucune relation de domaine vide ou singleton n’est scindable.

2.5 Parties scindables pour une relation R

D´efinition 13. Etant donn´ee´ R∈ R une relation multiple surE, une partieJ deJR est dite scindable pourRsi la relationR∣J est scindable.

D’apr`es la proposition 18, J ⊂ JR est scindable pour R s’il existe deux parties non vides compl´ementairesKet LdansJ — ce qui suppose queJ soit de cardinal≥2 — telles que

R_∣J=R_∣K⋈R_∣L. (1)

2.6 Parties d´ etachables d’une relation R

Dans cette section, une relationR∈ R^E est donn´ee et, pour toutJ⊂JR, on

pose ¬J =JR∖J.

D´efinition 14. Une partieJ ⊂JR est dited´etachable deRsi l’on a R=R∣¬J⋈1J.

Dans le cas o`uJ est une partie propre non vide deJ_R, autrement dit lorsque

∅ ⊊J ⊊J_R, le couple(J,¬J)est une bipartition deJ_R, et la d´efinition pr´ec´edente revient `a dire queR est scindable selon cette bipartition, avec en outre

R_∣J=1J.

Bien entendu, cette derni`ere condition n’est pas suffisante pour faire deJ une partie d´etachable de R.

Exemple 4. PourI= {1,2},J = {1}et f une application quelconqueE1→E2

de grapheG, la relationR= (I, G)v´erifie n´ecessairementR∣J=1J. En outre,J est d´etachable de Rsi et seulement sif est constante.

Lemme 20. J est une partie de JR d´etachable de R si et seulement si on a pour toutx∈Z_JR

ρ_(JR,¬J)(x) ∈ρ_(JR,¬J)(R)⇒x∈R.

Preuve. Par d´efinition du produitρ_(JR,¬J)(R) ⋈1J, on aJ d´etachable deR si et seulement si

GR=ρ⁻¹_(JR,¬J)(ρ(J_R,¬J)(GR)) ∩ρ⁻¹_(JR,J)(ZJ) =ρ⁻¹_(JR,¬J)(ρ(J_R,¬J)(GR)). Puisque l’inclusionG_R⊂ρ⁻¹_(J

R,¬J)(ρ_(JR,¬J)(G_R))est toujours trivialement satis- faite,J est donc d´etachable deRsi et seulement si on a l’inclusion r´eciproque

ρ⁻¹_(JR,¬J)(ρ(J_R,¬J)(GR)) ⊂GR,

autrement dit si pour tout x ∈ Z_JR tel que ρ_(JR,¬J)(x) ∈ ρ_(JR,¬J)(G_R), on a x∈G_R.

◻ Proposition 21. Si J est d´etachable de R, alors pour toute J_R-famille R- compatible y et pour toute J-famille x, on a

ρ(J_R,¬J)(y) +x∈R.

Preuve. Posonsz=ρ_(JR,¬J)(y)+x. On aρ_(JR,¬J)(z) =ρ_(JR,¬J)(y) ∈ρ_(JR,¬J)(R), doncz∈R.

◻ Proposition 22. SiJ etK sont deux parties de J_R d´etachables de la relation R∈ R^E, alors J∪K est ´egalement une partie d´etachable deR.

Preuve. PosonsC = ¬(J∪K) = ¬J∩ ¬K. Soit x∈ ZJR quelconque tel que ρ_(JR,C)(x) ∈ρ_(JR,C)(R). D’apr`es le lemme 20, il suffit de prouver que x∈ R.

PosonsxC=ρ(J_R,C)(x). Puisque par hypoth`esexC∈ρ(J<sub>R</sub>,C)(R), il existey∈R tel que xC =ρ(J<sub>R</sub>,C)(y). Puisque J est d´etachable, on d´eduit de ρ(J<sub>R</sub>,¬J)(y) ∈ ρ(J<sub>R</sub>,¬J)(R) quez = ρ(J<sub>R</sub>,¬J)(y) +ρ(J<sub>R</sub>,J)(x)est ´egalement R-compatible. Par cons´equentρ(JR,¬K)(z) ∈ρ(JR,¬K)(R), etK ´etant d´etachable on en d´eduit que w= ρ(JR,¬K)(z) +ρ(JR,K)(x)est lui aussi R-compatible. Or, par construction mˆeme, wet xco¨ıncident sur K, surJ∩ ¬K et surC, de sorte quew=x, d’o`u x∈R.

◻ Remarque 8. L’union d’une famille finie de parties deJ_R d´etachables de Rest donc encore d´etachable deR. Par contre, ceci n’est pas vrai en g´en´eral pour une famille quelconque. Consid´erons par exemple le cas o`uI=N,E_i=Npour tout i∈I, etR= (I, G)avecGl’ensemble des suitesx∈N^N comportant une infinit´e de z´eros : x∈ G⇔Card({n∈ N, x_n =0}) = ℵ⁰. Alors {n}est d´etachable de R pour toutn∈N, mais I=N lui-mˆeme n’est pas d´etachable deRpuisque R n’est pas la relation triviale.

2.6.1 Partie externe et socle d’une relation

D´efinition 15. On appelle partie externe Ex(R) d’une relation R l’union des parties de I qui sont d´etachables de R. On appelle socle de R l’ensemble Soc(R) =J_R∖Ex(R).

Exemple 5. Toute relation triviale 1J a un socle vide.

D´efinition 16. Une relation sera dite

— mouvante si sa partie externe est non d´etachable,

— ancr´ee si elle n’est pas mouvante,

— fluide si elle n’est pas triviale mais que son socle est vide,

— solide si sa partie externe est vide.

Une relation fluide est n´ecessairement mouvante, tandis qu’une relation so- lide est n´ecessairement ancr´ee. Une relation ancr´ee est d´etermin´ee par sa res- triction `a son socle, tandis qu’il ne suffit pas de connaˆıtre une relation mou- vante sur son socle pour la connaˆıtre enti`erement. Les relations finies, sans ˆetre n´ecessairement solides, sont toujours ancr´ees.

Exemple 6. L’exemple de la remarque 8 est celui d’une relation fluide.

3 Structure connective d’une relation R ∈ R

Rappelons³ qu’un espace connectif (X,K) est la donn´ee d’un ensemble de pointsX, appel´e support de l’espace, et d’un ensembleKde parties deX, appel´e structure connective de l’espace, tel que

∀I ∈ P(K),(⋂

K∈I

K≠ ∅⇒ ⋃

K∈I

K∈ K).

Notons que la propri´et´e ci-dessus entraˆıne en particulier que ∅ ∈ K. L’espace connectif(X,K) est dit int`egre si les singletons {x}, o`u x∈X, appartiennent tous `aK. Pour tout ensemble de partiesC⊂ PX, on note

[C] la structure connective engendr´ee parC.

Pour d´emontrer le th´eor`eme 25, nous aurons besoin du lemme suivant.

Lemme 23. Etant donn´e´ (X,K) un espace connectif int`egre, et A ⊂ X une partie non connexede X, il existe n´ecessairement une bipartition(L, M)de A telle que pour toute partie connexe K∈Kincluse dans Aon a

∣ ou bien K⊂L, ou bien K⊂M.

Preuve. A´etant suppos´e non connexe est n´ecessairement non vide. Soitx∈A.

Prenons pourLla composante connexe⁴dexdans l’espace connectif induit par (X,K) sur A, c’est-`a-dire dans l’espace (A,K∩PA). Autrement dit, L est le plus grand connexe inclus dans A et contenantx. Puisque Aest non connexe, on a n´ecessairement ∅ ⊊L⊊A, de sorte que (L, M) forme une bipartition de A, o`u M =A∖L. Soit maintenantK une partie connexe incluse dans A. On a soit K∩L= ∅, et dans ce casK⊂M, soitK∩L≠ ∅et dans ce casK∪Lest un connexe contenantxet contenu dans A, de sorte queK∪L⊂L, autrement ditK⊂L.

◻

3. Voir [2] et [3].

4. Voir [2].

3.1 D´ efinition

Proposition 24. Etant donn´ee´ Rune relation dans E, l’ensembleK^R des par- ties deJR non scindables pourR constitue une structure connective int`egre sur JR.

Preuve. La partie vide et les singletons font n´ecessairement partie de KR, puisqu’une partie scindable pourR, admettant une bipartition, a n´ecessairement au moins deux ´el´ements. Soit maintenant C ⊂KR un ensemble de parties non scindables pourR tel que

⋂

C∈C

C≠ ∅.

Montrons par l’absurde que U = ⋃C∈CC est ´egalement non scindable. Si U

´etait scindable pour R, il admettrait une bipartition(L, M)telle queR_∣U soit scindable selon(L, M), de sorte que l’on aurait d’apr`es la proposition 18

R_∣U=R_∣L⋈R_∣M. Soitx∈ ⋂

C∈C

C. On a soitx∈L, soitx∈M. Supposons pour fixer les id´ees que x ∈ L. Puisque M ≠ ∅, il existe C ∈ C tel que M ∩C ≠ ∅. Mais on a aussi L∩C ≠ ∅, puisque x∈ L∩C. Donc (L∩C, M∩C)est une bipartition de C.

Mais d’apr`es la proposition 13, on aurait

R∣C=R∣L∩C⋈R∣M∩C,

de sorte que Cserait scindable pourR, ce qui est absurde.

◻ D´efinition 17. On appelle structure connective d’une relation multiple R∈R la structure connectiveKR d´efinie dans la proposition pr´ec´edente.

3.2 Exemple

On pourrait penser que, pour tout couple de relations multiples(R, S)∈R², la structure connective deR⋈Sdevrait ˆetre incluse dans la structure connective engendr´ee par les connexes deRet ceux deS. En g´en´eral, cela est faux, de sorte

que K^R⋈S ⊄[K^R∪K^S].

Donnons-en un contre exemple simple dans le cas o`u I={1,2,3}et, pour tout i∈I,Ei={0,1}. On d´efinit la relationRde la fa¸con suivante

(x1, x2, x3)∈R⇔∃i∈I, x_i=0, et la relationS par

(x1, x2, x3)∈S⇔∃i∈I, xi=1.

On v´erifie facilement queK^R=K^S=B³, la structure borrom´eenne⁵surI, tandis queK^R⋈S est la structure connective grossi`ere queI.

5. Voir [2].

3.3 Th´ eor` eme de Brunn

En r´ef´erence au r´esultat annonc´e par Brunn⁶[1] en 1892 `a propos de la struc- ture des entrelacs, j’appelle<sup>≪</sup>th´eor`eme de Brunn^≫ relatif `a une classe d’objets

`

a chacun desquels se trouve associ´ee une structure connective l’´enonc´e affirmant que toute structure connective — ou du moins toute structure connective d’un certain type, par exemple toute structure connective int`egre finie — est celle d’au moins un objet de cette classe.

Th´eor`eme 25. Pour tout ensemble I, il existe un choix des ensembles E<sub>i</sub> tel que pour toute structure connective int`egre KsurI il existe une relation R∈R telle que K^R=K.

Preuve. Consid´erons la construction suivante. On prend le mˆeme ensemble Eipour tous lesi∈I, `a savoirEi={0,1}<sup>P(I)</sup>, ensemble des applications de l’en- semble des parties deIdans{0,1}. Soit maintenantKune structure connective int`egre surI. Consid´erons la relation multipleR dansE, de domaineI, d´efinie de la fa¸con suivante : une famille(fi∶P(I)Ð→{0,1})^i∈I estR-compatible si et seulement si

∀K∈K∖{∅},∃i∈K, fi(K)=1.

et v´erifions que la structure connective de Rest pr´ecis´ementK.

Avant toute chose, commen¸cons par remarquer que pour toute partieA⊂I, la restrictionR_∣AdeR`aAa pour graphe l’ensemble desA-familles(f_i)^i∈Atelles que ∀K∈K∩PA∖{∅},∃i∈K, f_i(K)=1. (2)

En effet, cette condition devant ˆetre satisfaite par touteI-familleR-compatible doit ´egalement, par restriction, ˆetre satisfaite par touteA-familleR_∣A-compatible.

R´eciproquement, si uneA-famille v´erifie la condition en question, il est ais´e de la prolonger en une I-familleR-compatible, puisqu’il suffit pour tout i∈I∖A et toute partieB⊂I de poser fi(B)=1 pour obtenir un tel prolongement.

SiK∈K, alorsRne peut pas ˆetre scindable surK. Raisonnons par l’absurde : supposons queR∣Ksoit scindable selon une bipartition(L, M)deK. Alors la fa- mille

l=(li∶P(I)Ð→{0,1})^i∈L d´efinie pour touti∈Let toute partieA⊂I par { l_i(A)=1 siA≠K,

l_i(K)=0

estR_∣L-compatible, car en la prolongeant surIpar la famille ˜ld´efinie pouri∈L par ˜li =li et pour i∈I∖L par ˜li(A)= 1 pourtoute partie A⊂I (y compris, donc, pourA=K), on obtient ˜l∈Rpuisque la propri´et´e caract´erisant la relation Rest trivialement satisfaite. De mˆeme, la famillem=(mi∶P(I)Ð→{0,1})^i∈M d´efinie pour touti∈M et toute partieA⊂Ipar

{ mi(A)=1 siA≠K, mi(K)=0

6. Mais non enti`erement d´emontr´e par lui, puisqu’il faudra attendre Kanenobu[4] en 1984 pour avoir une telle d´emonstration compl`ete.

estR_∣M-compatible. Par cons´equent,l+mdoit ˆetreR_∣K compatible, ce qui est absurde car il n’existe pas d’indicei∈K tel que(l+m)ⁱ(K)=1.

R´eciproquement, soit K ⊂ I non scindable pour R. Montrons que K ∈ K. Nous allons `a nouveau raisonner par l’absurde. Supposons que K ∉ K. Dans cette hypoth`ese, d’apr`es le lemme 23, il doit exister une bipartition(L, M)de K telle que toute partie connexeC ∈K incluse dansK v´erifie soit C⊂L, soit C ⊂ M. Soit alors f ∈R∣L et g ∈R∣M. La somme f+g est une K-famille qui est n´ecessairementR∣K-compatible, puisque pour tout connexeC⊂K, on a soit C ⊂L, d’o`u l’existence de i∈ C tel que 1=f_i(C)=(f+g)i(C), soit C⊂ M, auquel cas il existei∈Ctel que 1=g_i(C)=(f+g)i(C), de sorte que la relation (2) est satisfaite. Par cons´equent, d’apr`es la proposition 19, la relation R est scindable sur(L, M), ce qui contredit l’hypoth`ese qui avait ´et´e faite.

Finalement, nous avons ´etabli que la structure connective de la relationR ainsi d´efinie est bien la structure donn´eeK, ce qui prouve le th´eor`eme.

◻

R´ ef´ erences

[1] Hermann Brunn. Ueber verkettung. Sitzungsberichte der Bayerische Akad.

Wiss., MathPhys. Klasse, 22 :77–99, 1892.

[2] St´ephane Dugowson. On connectivity spaces. Cahiers de Topo- logie et G´eom´etrie Diff´erentielle Cat´egoriques, LI(4) :282–315, 2010.

http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00446998/fr.

[3] St´ephane Dugowson. Dynamiques connectives (Une introduction aux no- tions connectives : espaces, repr´esentations, feuilletages et dynamiques cat´egoriques). ´Editions Universitaires Europ´eennes, 2012.

[4] Taizo Kanenobu. Satellite links with Brunnian properties. Arch. Math., 44(4) :369–372, 1985.

Table des mati` eres

1 Le mono¨ıde commutatif(R^E,⋈,1) 2

1.1 Graphes triviaux et familles . . . 2

1.2 Relations multiples . . . 2

1.2.1 Relations nulles et relations triviales . . . 3

1.3 Restrictions . . . 3

1.3.1 Restrictions de familles . . . 4

1.3.2 Restriction des relations . . . 4

1.3.3 Composition des restrictions . . . 4

1.3.4 Notation . . . 5

1.4 Sommes de familles . . . 5

1.4.1 Familles compatibles entre elles . . . 5

1.4.2 Somme de deux familles compatibles . . . 5

1.4.3 Somme de restrictions . . . 6

1.4.4 Restriction de somme . . . 6

1.4.5 Familles finies de familles . . . 6

1.5 Produit de relations . . . 7

1.5.1 D´efinition du mono¨ıde commutatif(R^E,⋈,1). . . 7

1.5.2 Exemples . . . 8

1.6 Relations incompatibles . . . 9

1.7 Restriction d’un produit . . . 9

1.8 Produit de restrictions . . . 10

2 Scissions 10 2.1 Parties propres et bipartitions . . . 10

2.2 Somme de deux familles de domaines disjoints . . . 10

2.3 Unicit´e des factorisations disjointes . . . 11

2.4 Relations scindables . . . 11

2.5 Parties scindables pour une relationR . . . 12

2.6 Parties d´etachables d’une relationR . . . 12

2.6.1 Partie externe et socle d’une relation . . . 13

3 Structure connective d’une relationR∈R 14 3.1 D´efinition . . . 15

3.2 Exemple . . . 15

3.3 Th´eor`eme de Brunn . . . 16