1.1 Lois de conservation

Equations aux d´ ´ eriv´ ees partielles Chapitre 6 : M´ethode des Volumes finis

Lucie Le Briquer

Sommaire

1 Introduction 1

1.1 Lois de conservation . . . 1

1.2 Le syst`eme des ´equations d’Euler en m´ecanique des fluides . . . 2

2 La m´ethode des volumes finis 3 2.1 Deux exemples en 2D . . . 3

2.2 Maillage 1D et flux . . . 4

2.3 Strat´egie volumes finis. . . 5

2.4 Conditions aux limites pour l’´equation d’advection . . . 8

1 Introduction

Part du ppe suivant : les mod`eles (´equations) de la physique s’´enoncent essentiellement `a partir de lois de conservation.

– Se conservent : masse, quantit´e de mouvement, ´energie totale, charge ´electrique, ...

– Ne se conservent pas : temp´erature, pression, vitesse

– “¸ca se n´egocie” : lois de comportementρ=R(p, T) thermodynamique

1.1 Lois de conservation

Soit Ω⊂Rⁿ

S: Ω×]t1, t2[−→R^m F : Ω×]t1, t2[−→R^m×(n+1)

Divx,tF =S (1)

n

X

j=1

∂F_i^j

∂x_j(x, t) +∂F_i⁰

∂t (x, t) =Si(x, t) i= 1, ..., m

Exemple.

Le dromadaire

∂u

∂t +c∂u

∂x = 0, c∈R (2)

m= 1







F₁⁰=u F₁¹=cu S1= 0 puisque (1) devient :

∂

∂x(cu) + ∂

∂t(u) = 0 sicn’´etait pas constant, 0−→ _∂x^∂cu

1.2 Le syst` eme des ´ equations d’Euler en m´ ecanique des fluides

Conservation de la masse :

∂ρ

∂t + div(ρu) = 0 Quantit´e de mouvement :

∂ρu

∂t + div(ρu⊗u) +∇p=ρg Energie totale :´

∂ρE

∂t + div(ρHu) =ρgu div(v) =

n

X

i=1

∂vi

∂xi

o`u :







E =e+¹₂|u|²

H =E+^p_ρ =h+¹₂|u|² h=e+^p_ρ

Remarque.

Pourf et gdiscontinues, le produit :

f(x)∂g(x)

∂x_i n’a pas de sens connu `a ce jour.

Ici,m=n+ 2 :















F₁⁰ F₁¹ . F₁ⁿ F₂⁰ F₁¹ . F₂ⁿ

. . . .

F_n+1⁰ F_n+1¹ . F_n+1ⁿ F⁰ F¹ . Fⁿ















=













ρ ρu₁ . ρu_n ρu1 ρu1u2 . ρu1un

. . . .

ρu_n ρu₁u_n . ρu_nu_n ρE gu H . ρu H













S=











 0 ρg₁

. ρgn

ρug













F, S fonctions deV = (ρ, ρu, ρE) si on a la loi d’´etat.

On s’est bien ramen´es `a une EDP pourV.

2 La m´ ethode des volumes finis

Syst`eme d’edp de lois de conservation.

–

G

x, ϕ, ∂ϕ

∂x1

, . . . , ∂ϕ

∂xn

= 0 (3)

(3) est un probl`eme ouvert. On appelle variable ind´ependantexet variable d´ependanteϕ.

Un changement de variables d´ependantes est alors ϕ= Φ(ψ) (on obtient une ´equation sur ψ).

–

divx,tF =S (4)

−→th´eorie math´ematique (existence/unicit´e des solutions) plus accessible, quand on a (1) essayer de se ramener `a (2) si possible

Remarque fondamentale. (1) est invariant par changement de variables d´ependantes, con- trairement `a (2)

Exemples.

∂u

∂t +∂(cu)

∂x = 0, c constante Euler : ∂ρ

∂t + div(ρu) = 0

2.1 Deux exemples en 2D

x∈R. Sous la forme (3) :

∂u

∂t +c∂u

∂x = 0, cconstante (5)

∂u

∂t −ν∂²u

∂x² =s, ν >0 constante (6)

On passe les deux exemples sous forme (4) :

∂u

∂t +∂(cu)

∂x = ∂c

∂xu= 0 (7)

F = u

cu

, S = ∂c

∂xu

∂u

∂t + ∂

∂x

−ν∂u

∂x

=−∂ν

∂x

∂u

∂x (8)

F = u

−ν∂u

∂x

!

, S=c−∂ν

∂x

∂u

∂x

Remarque.

On est bien dans le cadre car ici l’EDP est d’ordre 2 donc l’inconnue est (u,^∂u_∂x,^∂u_∂t) et pas seulementu. S fait donc apparaˆıtre uniquement l’inconnue et pas sa d´eriv´ee.

(4) ⇔ ∀K, Z

K

Sdx= Z

∂K

F.ndσ D´efinition 1(strat´egie volumes finis)

Remarque.

On va restreindre la recherche dans (4) `au=u(x) stationnaire,s=s(x) ; on cherche doncu(x) tel que−ν^∂_∂x^2u₂(x) =s(x).

Jusque l`a on a utilis´e lesdiff´erences finies pour (3) et les´el´ements finis P1 pour (4) : “−∆u=f” On va maintenant appliquer les VF `a (4) :

∂

∂x

−ν∂u

∂x

=s

2.2 Maillage 1D et flux

Ω =]a, b[, avec−∞< a < x < b <+∞

x_j+1/2

| x_j−1/2

| a=x_1/2

|

b=x_N+1/2

|

Kj=

x_j−1/2, x_j+1/2

∆xj=x_j+1/2−x_j−1/2 Ω =

N

[

j=1

Kj h= max

1≤j≤N∆xj(−→0)

Remarque.

En 1D, la seule diff´erence avec les EF au niveau du maillage est que la num´eration utilise des demi-entiers, car tous les maillages 1D sont conformes.

∂u

∂t + ∂

∂x(cu) = 0 (9)

u(x, t0) =u0(x) (10)

(des conditions enaetb) (11)

Pour l’instant, on ignore (13), on peut par exemple consid´erer que Ω =T¹ le tore i.e. a=b On subdivise le temps : t0< t1< . . . < tn< . . . diff´erences finies `a pas variable en temps. On pose ∆tn =tn+1−tn.

Z x_j+1/2 x_j−1/2

∂u

∂t + ∂

∂x(cu)

dx= 0 = ∂

∂t

Z x_j+1/2 x_j−1/2

u(x, t)dx+cu(x_j+1/2, t)−cu(x_j−1/2, t) = 0 En int´egrant entretn ettn+1 et en divisant tout par ∆xj :

¯

uj(tn+1) = ¯uj(tn)−∆tn

f¯_j+1/2ⁿ −f¯_j−1/2ⁿ

∆x_j (12)

o`u :

¯

uj(tn) = 1

∆x_j

Z x_j+1/2 xj−1/2

u(x, tn)dt f¯_j+1/2ⁿ = 1

∆t_n Z t_n+1

tn

(cu)(x_j+1/2, t)dt

Remarque.

L’´equation (12) estexacte et ressemble fortement `a un sch´ema diff´erences finies.

2.3 Strat´ egie volumes finis.

Approcher ¯uⁿ_j parv_jⁿ v´erifiant :

(S1) v_jⁿ⁺¹=v_jⁿ−∆tn

f_j+1/2ⁿ −f_j−1/2ⁿ

∆xj

sch´ema VF

o`uf<sub>j+1/2</sub><sup>n</sup> est une fonction de (v<sub>l</sub><sup>n</sup>)<sub>1≤l≤N</sub> et (v<sup>j+1</sup><sub>l</sub> )<sub>1≤l≤N</sub>. NotonsV<sup>n</sup>= (v<sub>l</sub><sup>n</sup>)<sub>1≤l≤N</sub>. On se ram`ene

`

aH(Vⁿ⁺¹, Vⁿ) = 0.

Remarque.

Le choix naturel pourv_j⁰serait :

1

∆xj

Z x_j+1/2 x_j−1/2

u0(x)dt mais ce n’est pas forc´ement le meilleur choix.

Intuitivement, pour une EDP lin´eaire, on s’attend `a avoirH lin´eaire. En pratique non −→on se cantonnera ici `a un sch´ema d’ordre 1 pour avoirH lin´eaire.

Un sch´ema volumes finis est explicite sif_j+1/2ⁿ ne sont fonction que des (vⁿ_l)_1≤l≤N et de j et n; il est implicite sinon.

D´efinition 2(sch´ema explicite)

Exemple.

Sch´ema VF `a 3 points :

(S2) f_j+1/2ⁿ =F(∆tn,(∆xl)_1≤l≤N, vⁿ_j, v_j+1ⁿ ) avecF :R^∗+×(R^∗+)^N×R×R−→R

Sous l’hypoth`ese :

(C) F(k,∆, v, v) = 0

Le sch´ema (S1)−(S2) est consistant avec l’´equation ^∂u_∂t+_∂x^∂ (cu) = 0, lorsque ∆xj =h ∀j= 1, . . . , N. Et en g´en´eral il n’est pas consistant sans cette derni`ere hypoth`ese.

Th´eor`eme 1

Remarque.

VF, un monde de paradoxes :

1. ´Equation lin´eaire (hyperbolique), sch´ema “pr´ecis” est forc´ement non lin´eaire (th´eor`eme de Godounov)

2. SVF “vrai” i.e. ∆x_j non constant n’est pas consistant en g´en´eral

Rappel. Thm de LF (DF) : si le sch´ema est consistant alors convergence⇔stabilit´e

Donc il nous faut une th´eorie au del`a de LR pour les VF, on peut avoir non consistance et convergence.

Preuve.

∆x_j =h_j =x_j+1/2−x_j−1/2 x_j =x_j+1/2+x_j−1/2 2 E_jⁿ= vⁿ⁺¹_j −v_jⁿ

∆t_n +F_j(vⁿ_j, v_j+1ⁿ )−F_j−1(vⁿ_j−1, v_jⁿ)

∆x_j = 0

On remplacev_jⁿ←−ϕ(x_j, t_n) avecϕr´eguli`ere enx, t

On d´efinit alors la consistance pour un sch´ema VF de la forme ci-dessus comme :

∀ϕsuffisamment r´eguli`ere, E_jⁿ− ∂ϕ

∂t +∂(cϕ)

∂x

(xj, tn)−−−−−−−→

∆tn,h−→0 0 D´efinition 2(consistance)

On note :

Gⁿ_j = vⁿ⁺¹_j −v_jⁿ

∆tn

−∂ϕ

∂t(xj, tn) =O(∆tn) H_jⁿ= F(v_jⁿ, v_jⁿ⁺¹)−F(vⁿ_j, v_jⁿ)

− F(v_j+1ⁿ , vⁿ_j)−F(v_jⁿ, vⁿ_j)

∆xj

− ∂

∂x(cϕ)(x_j, t_n) Par Taylor :

F(v_jⁿ, vⁿ_j+1)−F(vⁿ_j, v_jⁿ) = ∂F

∂w(vⁿ_j, v_jⁿ)×(v_j+1ⁿ −v_jⁿ) +O((vⁿ_j+1−vⁿ_j)²) F(vⁿ_j−1, v_jⁿ)−F(vⁿ_j, v_jⁿ) = ∂F

∂v(vⁿ_j, v_jⁿ)×(v_j−1ⁿ −v_jⁿ) +O((vⁿ_j−1−vⁿ_j)²) v_j+1ⁿ =vⁿ_j + (xj+1−xj)∂ϕ

∂x(xj, tn) +O((xj+1−xj)²) vⁿ_j =vⁿ_j−1+ (xj−x_j−1)∂ϕ

∂x(xj, tn) +O((xj−x_j−1)²) Orxj+1−xj = (∆xj+ ∆xj+1)/2⇒xj+1−xj≤h. Donc :

H_jⁿ= ∂ϕ

∂x n

j

∆x_j+ ∆x_j+1 2∆xj

×∂F

∂w(v_jⁿ, vⁿ_j) +∆x_j−1+ ∆x_j 2∆xj

×∂F

∂v(vⁿ_j, v_jⁿ)

−c∂ϕ

∂x(x_j, t_n)+O(h) Or avec (C) on a :

F(v, v) =cv ⇒ (C⁰)∂F

∂v(v, v) +∂F

∂w(v, v) =c Si ∆x_j =h∀j, on doncH_jⁿ=O(h).

Remarque.

Diff´erence entre DF et VF ici :







DF : v_jⁿ−→u(x_j+1/2, t_n) on approche des valeurs VF : v_jⁿ−→u¯j(tn) = 1

∆xj

Rx_j+1/2

x_j−1/2 u(x, tn)dx on approche des moyennes

¯

uj(tn)'u

x_j+1/2+x_j−1/2

2 , tn

?

Oui pour u r´eguli`ere mais les VF sont utilis´ees pour des EDP dont les solutions ne sont pas r´eguli`eres.

Contre-exemple du th´eor`eme. si on retire ∆xj=h,∀j On pose :

( ∆x_j =h sihpair

∆x_j =^h₂ sihimpair et :

F(v, w) =

( cv sic≥0 cw sic≤0

On prendc >0⇒F(v, w) =cv⇒F(v, v) =cv. On a :

∂F

∂v =c ∂F

∂w = 0 Donc :

H_jⁿ=









 3 4c∂ϕ

∂x −c∂ϕ

∂x =−1 4c∂ϕ

∂x pourj impair 3

2c∂ϕ

∂x −c∂ϕ

∂x =−1 2c∂ϕ

∂x pourj pair H_jⁿ90

2.4 Conditions aux limites pour l’´ equation d’advection

∂u

∂t +c∂u

∂x = 0, a < x < b, t > t0 (13) u(x, t₀) =u₀(x), a < x < b (14)

dire quelque chose enaet b (15)

Pourquoi a-t-on besoin de (15) ? Prenonsc >0 :

•a •

b

1 c

T t

x u0(x)

On veut d´eterminer udans le rectangle ; avecu₀ ce n’est possible que dans la zone rouge. Pour les points `a gauche de la droite ; la caract´eristique tombe sur la droitex=a−→il faut connaˆıtre u(a, t) =f(t). De la mˆeme fa¸con pourc <0, il faut connaˆıtreu(b, t) =g(t).



















u0, f, g

∂u

∂t +c∂u

∂x = 0 u(x, t0) =u0(x) u(a, t) =f(t) u(b, t) =g(t) n’a pas de solutions pour presque tous lesu₀, f, g.

Corollaire 2

Exercice.

CNS pour qu’il y ait une solution (par exempleg(t) =u0(b−c(t−t0)))