Géométrie des surfaces algébriques et points entiers

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Géométrie des surfaces algébriques et points entiers

Pascal Autissier

To cite this version:

Pascal Autissier. Géométrie des surfaces algébriques et points entiers. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, Société mathématique de France, 2009, 42 (2), pp.221-239. �hal-00078974�

ccsd-00078974, version 1 - 8 Jun 2006

G´eom´etrie des surfaces alg´ebriques et points entiers

Pascal Autissier 8 juin 2006

Abstract : Let X be a projective normal surface over a number fieldK. Let H be the sum of four properly intersecting ample effective divisors on X. We show that any set ofS-integral points inX−H is not Zariski dense.

2000 Mathematics Subject Classification :11G35, 14G05, 14G25.

1 Introduction

On s’int´eresse ici aux solutions `a coordonn´ees quasi-enti`eres de syst`emes d’´equations polynomiales `a coefficients dans un corps de nombres, dans l’esprit de la conjecture de Lang et Vojta (cfconjecture 4.2 de [6] p. 223).

Plus pr´ecis´ement, soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K. On montre le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 1.1 :SoitXune surface normale projective surK. SoientD₁;D₂;D₃;D₄ quatre diviseurs effectifs amples surX qui se coupent proprement. Posons Y =X−D₁∪ D₂∪D₃∪D₄. SoitE ⊂Y(K)un ensembleS-entier surY. Alors En’est pas Zariski-dense dans Y.

Cet ´enonc´e ´etait connu de Vojta pour X lisse v´erifiant ρ ≤ g+ 1, o`u ρ d´esigne le nombre de Picard de X<sub>K</sub> etg = h<sup>1</sup>(X;O<sub>X</sub>) (cfcorollaire 0.3 de [12]). En fait, Vojta a besoin de ρ+ 3−g diviseurs au lieu de 4. L’int´erˆet de notre r´esultat r´eside donc dans l’uniformit´e en le nombre de diviseurs `a consid´erer.

Remarquons que le th´eor`eme 1.1 s’inscrit bien dans le cadre de la conjecture de Lang et Vojta, puisque siX est lisse sur K de diviseur canoniqueK_X, alorsK_X +D₁+D₂+ D₃+D₄ est ample sur X (cfexemple 1.5.35 de [7] p. 87).

La d´emonstration repose sur une l´eg`ere extension d’un th´eor`eme de Corvaja et Zan- nier [1] (cfth´eor`eme 3.2), qui donne des conditions g´eom´etriques de non-Zariski-densit´e des pointsS-entiers, et sur un bon choix de multiplicit´es associ´ees aux diviseurs Di (cf proposition 2.3).

On utilise en particulier le th´eor`eme du sous-espace de Schmidt (cf[9]§VI) et Schlick- ewei (cf[8]).

Je remercie Antoine Chambert-Loir pour l’inspiration qu’il m’a procur´ee.

2 G´ eom´ etrie

Soit K un corps de caract´eristique nulle.

Conventions : On appelle vari´et´e sur K tout sch´ema int`egre, quasi-projectif et g´eom´etriquement irr´eductible surK. Une surface surK est une vari´et´e sur K de dimen- sion 2. Le mot “diviseur” sous-entend “diviseur de Cartier”.

SoitX une vari´et´e projective surK de dimensiond≥1. LorsqueL₁;· · ·;L_d sont des diviseurs surX, on d´esigne par

L₁· · ·L_d

leur nombre d’intersection.

SoientLun diviseur ample surX etE un diviseur effectif non nul surX. La formule de Hirzebruch-Riemann-Roch donne l’estimation h⁰(X;nL) =

L^d

d! n^d+O(n^d−1). Ceci motive la d´efinition suivante :

Pour tout entier n≥ 1, posons d’abord S_n =X

k≥1

h⁰(X;nL−kE) ; remarquons que cette somme est finie puisqueh⁰(X;nL−kE) = 0 sik >

L^d n/

L^d−1E . D´efinition : On poseν(L;E) = lim inf

n→+∞

S_n

h⁰(X;nL)n = lim inf

n→+∞

d!S_n L^d

n^d+1.

Exemple : Si X est une courbe, alors on peut ais´ement expliciter cette constante ; on trouveν(L;E) =

L 2

E.

On aura besoin dans la suite de minorerν(L;E). Commen¸cons par une variante des

“in´egalit´es de Morse holomorphes” (cf[2] §12) :

Lemme 2.1 : Soit X une surface projective sur K. Soient L et M des diviseurs amples surX. Posonsα=

LM /

M²

. Soientnet kdes entiers v´erifiant1≤k≤αn.

On a alors la minoration

h⁰(X;nL−kM)≥ L²n²

2 − LM

nk+ M²k²

2 −O(n) , o`u leO ne d´epend que de(K;X;L;M).

D´emonstration : On choisit un entier b ≥ 1 tel que bM soit tr`es ample. D’apr`es le th´eor`eme de Bertini, il existes∈Γ(X;bM)−{0}tel queC= div(s) soit g´eom´etriquement irr´eductible surK.

Soit iun entier tel que 0≤i≤αn. On a la suite exacte de O_X-modules suivante : 0→ O_X(nL−(i+b)M)→ O_X(nL−iM)→ O_X(nL−iM)_|C →0 .

On en d´eduit une suite exacte en cohomologie qui donne l’in´egalit´e h⁰(X;nL−(i+b)M)≥h⁰(X;nL−iM)−h⁰(C; (nL−iM)_|C) . En utilisant la majoration h⁰(C;L^′_|C) ≤

L^′C

+ 1 valable pour tout diviseur L^′ tel que

L^′C

≥0 (cfproposition 3 (3) de [4] p. 192), on obtient h⁰(X;nL−(i+b)M)≥h⁰(X;nL−iM)−

LM bn+

M²

bi−1 .

Maintenant, ´ecrivonsksous la formek=bq+ravecq ≥0 et 0≤r < b. En sommant l’in´egalit´e pr´ec´edente, on trouve

h⁰(X;nL−kM) ≥ h⁰(X;nL−rM)−

q−1

X

j=0

h LM

bn−

M²

b(bj+r) + 1i

=

L²n² 2 −

LM nk+

M²k²

2 −O(n) (l’asymptotiqueh⁰(X;nL−rM) =

L²

n²/2+O(n) est fournie par Hirzebruch-Riemann- Roch). D’o`u le r´esultat.

Remarque : La d´emonstration donne en fait une minoration de h⁰(nL−kM)− h¹(nL−kM).

Corollaire 2.2 : Soit X une surface projective sur K. Soient L un diviseur ample sur X et E un diviseur effectif ample sur X. On a alors

ν(L;E)≥ L² 4

LE+

L²2 E² 24

LE3 . D´emonstration : On pose α =

LE /

E²

et β = L²

/ LE

. Remarquons que β≤α par le th´eor`eme de l’indice de Hodge.

Grˆace au lemme 2.1, on a les estimations suivantes : S_n=X

k≥1

h⁰(X;nL−kE) ≥

[βn/2]

X

k=1

L²n²

2 − LE

nk+ E²k²

2

−O(n²)

=

L²β 4 −

LEβ² 8 +

E²β³ 48

n³−O(n²) . D’o`u la minoration ν(L;E) ≥ β

4 + β² 24α.

Montrons maintenant le r´esultat principal de cette section :

Proposition 2.3 : Soit X une surface projective sur K. Soient D1;· · ·;Dr des di- viseurs effectifs amples sur X. Il existe alors des entiers m₁;· · ·;m_r tels qu’en posant L=

r

X

i=1

m_iD_i, on ait m_i ≥1 et ν(L;D_i)> r

4m_i pour tout i∈ {1;· · ·;r}.

D´emonstration : On pose ∆ = {(t₁;· · ·;t_r) ∈ R^r₊ | t₁ +· · ·+t_r = 1}. Pour tout t = (t₁;· · ·;t_r) ∈ ∆, on d´esigne par L_t le R-diviseur L_t =

r

X

j=1

t_jD_j et on pose φ(t) = X^r

i=1

1 L_tD_i

−1

.

On notef : ∆→∆ l’application continue d´efinie parf(t) = φ(t)

L_tD₁;· · ·; φ(t) L_tD_r

pour toutt∈∆. D’apr`es le th´eor`eme de Brouwer,f admet un point fixex= (x₁;· · ·;x_r).

On a alorsφ(x) = L_xD_i

x_i pour tout i∈ {1;· · ·;r}, doncφ(x)r= L²_x

. On en d´eduit l’in´egalit´e

L²_x L_xD_i+

L²_x2 D²_i 6

L_xD_i3 > x_ir pour tout i∈ {1;· · ·;r}.

On approchexpar un y∈Q^∗r₊ ∩∆ de la formey=m₁

m;· · ·;m_r m

de telle sorte que l’in´egalit´e pr´ec´edente soit encore valable avecy au lieu dex, et on conclut en appliquant le corollaire 2.2.

Terminons cette section par une d´efinition :

D´efinition : Soit X une surface normale projective sur K. Soient D1;· · ·;Dr des diviseurs effectifs non nuls sur X. On dit que D₁;· · ·;D_r se coupent proprement lorsque : toute intersection de deux quelconques d’entre eux est finie, et toute intersec- tion de trois quelconques d’entre eux est vide.

3 Arithm´ etique

SoientKun corps de nombres etSun ensemble fini de places deK. Pour toutv∈S, on d´esigne parK_v le compl´et´e deK en la place v. On note O_K;S l’anneau des S-entiers de K,i.e.l’ensemble des x∈K tels que|x|_v ≤1 pour toute place finiev /∈S.

D´efinition : Soit Y une vari´et´e surK. Un ensembleE ⊂Y(K) est ditS-entiersur Y lorsqu’il existe un OK;S-sch´ema int`egre et quasi-projectif Y de fibre g´en´erique Y tel queE ⊂ Y(O_K;S).

On va utiliser la version suivante du th´eor`eme du sous-espace de Schmidt et Schlick- ewei :

Proposition 3.1 :SoientX une vari´et´e projective sur K etL un faisceau inversible tr`es ample sur X. Soit h<sub>L</sub> une hauteur de Weil relativement `a L. Pour chaque v ∈ S, on munitL_v d’une m´etriquek k_v et on choisit une base (s_1v;· · ·;s_qv) deΓ(X;L). Soient c∈Ret ε >0. Alors l’ensemble des points P ∈X(K) v´erifiant

−X

v∈S q

X

k=1

lnks_kv(P)kv ≥(q+ε)hL(P)−c (∗)

n’est pas Zariski-dense dans X.

D´emonstration : En posant V = Γ(X;L), on a un plongement X ֒→ P(V). On ap- plique alors la reformulation de Vojta (cfth´eor`eme 2.2.4 de [11] p. 19) du th´eor`eme du sous-espace : il existe une r´eunion finie H de K-hyperplans de P(V) ≃ P^q−1_K telle que tout pointP ∈X(K) v´erifiant (∗) est dans H∩X.

On montre ci-dessous une l´eg`ere extension d’un r´esultat de Corvaja et Zannier (cf th´eor`eme principal de [1] p. 707-708) ; on s’inspire de leur m´ethode, tout en adoptant un point de vue plus g´eom´etrique :

Th´eor`eme 3.2 : Soit X une surface normale projective sur K. Soient D₁;· · ·;D_r des diviseurs effectifs non nuls surX qui se coupent proprement. Posons Y =X−D₁∪

· · · ∪D_r. Soientm₁;· · ·;m_r des entiers≥1. On suppose que le diviseurL=

r

X

i=1

m_iD_i est ample sur X et que ν(L;D_i)> m_i pour tout i∈ {1;· · ·;r}. Soit E ⊂Y(K) un ensemble S-entier surY. Alors E n’est pas Zariski-dense dans Y.

D´emonstration : On fixe un r´eel ε > 0 tel que ν(L;D_i) > (1 +ε)m_i pour tout i∈ {1;· · ·;r}, puis un entierb≥1 tel que bL soit tr`es ample et que

X

k≥1

h⁰(X;bL−kD_i)≥(1 +ε)h⁰(X;bL)m_ib pour tout i∈ {1;· · ·;r}.

On note q = h⁰(X;bL) et on choisit une hauteur de Weil h_bL relativement `a bL. Pour tout diviseur effectifEsurX, on d´esigne par 1E la section globale deOX(E) qu’il d´efinit.

Raisonnons par l’absurde en supposant E Zariski-dense. Il existe alors une suite (Pn)n≥0d’´el´ements deE qui est g´en´erique,i.e.telle que pour tout ferm´eZ 6=X, l’ensem- ble{n∈N|P_n∈Z}est fini.

Quitte `a extraire, on peut supposer (par compacit´e) que pour tout v ∈ S, la suite (P_nv)_n≥0 converge dansX(K_v) vers uny_v ∈X(K_v).

Soit v ∈ S. On munit chaque faisceau O_X(D_i)_v d’une m´etrique k k_v. Les diviseurs D₁;· · ·;D_r se coupent proprement, donc il existe deux indices j_v < l_v tels quey_v ∈/ D_i pour touti∈ {1;· · ·;r} − {j_v;l_v}.

Le lemme 3.2 de [1] fournit une base B_v = (s_1v;· · ·;s_qv) de Γ(X;bL) adapt´ee aux filtrations

Γ(X;bL−kD_jv)

k≥0 et

Γ(X;bL−kD_lv)

k≥0,i.e.B_v contient une base de Γ(X;bL−kD_i) pour touti∈ {j_v;l_v}et tout k≥0.

Fait : On a la minoration suivante pour tout n≥0 :

−

q

X

k=1

lnks_kv(P_n)k_v ≥ −(q+qε) lnk1_bL(P_n)k_v−O(1) , (1) o`u leO(1) est ind´ependant den.

Prouvons ce fait. Soit s∈Γ(X;bL)− {0}. Pour tout i∈ {1;· · ·;r}, notons µ_i(s) le plus grand entierµ tel que le diviseur div(s)−µD_i soit effectif. Puisque les ferm´es D_jv etD_lv n’ont pas de composante commune, le diviseur div(s)−µ_jv(s)D_jv−µ_lv(s)D_lv est encore effectif. Ceci implique l’in´egalit´e

−lnks(P_n)k_v ≥ −µ_jv(s) lnk1_Djv(P_n)k_v −µ_lv(s) lnk1_Dlv(P_n)k_v−O(1) .

On ´ecrit cette in´egalit´e pour s=s_kv, puis on somme sur k. En observant que pour i∈ {j_v;l_v}, on a

q

X

k=1

µi(s_kv) = X

µ≥0

h

h⁰(X;bL−µDi)−h⁰(X;bL−(µ+ 1)Di)i µ

= X

µ≥1

h⁰(X;bL−µD_i)≥(q+qε)m_ib ,

on trouve alors

−

q

X

k=1

lnks_kv(P_n)k_v ≥ −(q+qε)bh

m_jvlnk1_Djv(P_n)k_v+m_lvlnk1_Dlv(P_n)k_vi

−O(1) .

Le fait ´enonc´e s’en d´eduit en remarquant que lnk1_Di(P_n)k_v = O(1) pour tout i∈ {1;· · ·;r} − {jv;lv}.

Maintenant, l’ensembleE estS-entier sur Y, donc pour toutn≥0, on a h_bL(Pn) =−X

v∈S

lnk1_bL(Pn)kv +O(1) . En utilisant la minoration (1), on obtient (pour tout n≥0)

−X

v∈S q

X

k=1

lnks_kv(P_n)k_v ≥(q+qε)h_bL(P_n)−O(1) .

D’o`u une contradiction avec la proposition 3.1 (i.e.le th´eor`eme du sous-espace).

D´emonstration du th´eor`eme 1.1 : Il suffit d’appliquer la proposition 2.3 (avec r= 4) puis le th´eor`eme 3.2.

R´ ef´ erences

[1] P. Corvaja, U. Zannier :On integral points on surfaces. Annals of Math.160(2004), 705-726.

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[4] W. Fulton :Algebraic curves. W.A. Benjamin, Inc. (1969).

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[6] S. Lang : Number theory III. Encyclopaedia of Math. Sciences 60(1991).

[7] R. Lazarsfeld : Positivity in algebraic geometry I. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 48(2004).

[8] H.P. Schlickewei :Thep-adic Thue-Siegel-Roth-Schmidt theorem. Archiv der Math.

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[9] W.M. Schmidt : Diophantine approximation. Lecture Notes in Math. 785(1980).

[10] J.P. Serre :Lectures on the Mordell-Weil theorem (third edition). Aspects of Math.

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[11] P. Vojta :Diophantine approximations and value distribution theory. Lecture Notes in Math. 1239 (1987).

[12] P. Vojta : Integral points on subvarieties of semiabelian varieties I. Inventiones Math. 126 (1996), 133-181.

Pascal Autissier. I.R.M.A.R., Universit´e de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

pascal.autissier@univ-rennes1.fr