Propriétés asymptotiques de l'estimateur des moindres carrés d'un processus autorégressif gaussien par une méthode de moyennisation logarithmique

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Propriétés asymptotiques de l’estimateur des moindres carrés d’un processus autorégressif gaussien par une

méthode de moyennisation logarithmique

Hamdi Fathallah

To cite this version:

Hamdi Fathallah. Propriétés asymptotiques de l’estimateur des moindres carrés d’un processus au-

torégressif gaussien par une méthode de moyennisation logarithmique. 2010. �hal-00452999v2�

Propri´ et´ es asymptotiques de l’estimateur des

moindres carr´ es d’un processus autor´ egressif gaussien par une m´ ethode de moyennisation logarithmique

Hamdi Fathallah ^∗ 6 f´ evrier 2010

R´ esum´ e

On consid` ere un mod` ele autor´ egressif gaussien ` a temps continu non n´ ecessairement stable. On

´

etablit, pour l’estimateur des moindres carr´ es ˆ θ, un th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure (TLCPS), une loi forte quadratique associ´ ee au TLCPS (LFQ) et un th´ eor` eme de la limite cen- trale logarithmique (TLCL). Dans le cas stable, on propose d’utiliser l’estimateur des moindres carr´ es pond´ er´ e ˜ θ de θ pour am´ eliorer les vitesses de convergences logarithmique dans les th´ eor` emes obtenus.

Dans le cas instable, on ´ etablit pour l’estimateur des moindres carr´ es ˆ θ, les mˆ eme type des propri´ et´ es asymptotiques avec une vitesse de convergence arithm´ etique.

Mots Cl´ es : Martingales quasi-continues, th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure, loi forte qua- dratique, l’estimateur des moindres carr´ es, l’estimateur des moindres carr´ es pond´ er´ e moyennis´ e.

Classification Math´ ematique. 60G46, 60G51, 60F05.

1 Introduction

Soit W = (W t , t ≥ 0) un mouvement brownien r´ eel standard. On d´ efinit le processus X = (X ¹ , . . . , X ^p ) ^∗ avec X 0 = 0 par

dX t = B θ X t dt + b dW t , t ≥ 0, (1)

o` u b ^∗ = (0, . . . , 0, σ) ∈ R ^p et

B _θ =























0 1 0 · · · 0 0

0 0 1 . . . 0 0

0 0 0 . . . 0 0

.. . .. . .. . . . . . . . .. . 0 0 0 · · · 0 1 θ 1 θ 2 θ 3 · · · θ _p−1 θ p





















 .

Ce mod` ele a ´ et´ e ´ etudi´ e par exemple dans [5, 6, 7, 12]. Le processus X = (X t , t ≥ 0) d´ efini par (1) est un processus gaussien dont la p-i` eme composante X ^p est un processus autor´ egressif d’ordre p (AR(p)) v´ erifiant l’´ equation diff´ erentielle stochastique suivante :

dX _t ^p = θ ^∗ X t dt + σdW t , t ≥ 0, (2)

o` u θ = (θ <sub>1</sub> , . . . , θ <sub>p</sub> ) ∈ R <sup>p</sup> . Notons que le processus X = (X <sub>t</sub> , t ≥ 0) n’est autre que le processus d’Ornstein- Uhlenbeck multidimensionnel et estimer la matrice drift B <sub>θ</sub> revient ` a estimer le param` etre θ du mod` ele AR(p) donn´ e par (2), vu que

B _θ = e _p θ + T,

∗

Laboratoire LMV, Universit´ e de Versailles Saint-Quentin-En-Yvelines, 45 Avenue des Etats-Unis Bˆ atiment Fermat

78035 Versailles (France). Tel :+33139253629 ; Fax :+33139254645, E-mail address :hfathallah@math.uvsq.fr

o` u e p est le p-i` eme vecteur de la base canonique de R ^p et T une matrice triangulaire donn´ ee par

T =























0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 0 .. . .. . .. . . . . . . . .. . 0 0 0 · · · 0 1 0 0 0 · · · 0 0





















 .

Le polynˆ ome caract´ eristique de la matrice drift B θ est donn´ e par

P (z) = z ^p − θ p z ^p−1 − θ _p−1 z ^p−2 − · · · − θ 2 z − · · · − θ 1 .

D´ esignons par m (resp. M) la plus petite (resp. la plus grande) partie r´ eelle des racines du polynˆ ome P . Le processus X d´ efini par (2) est dit stable ou r´ egulier (resp. instable ou explosif) si M est strictement n´ egative (resp. m est strictement positive).

Soit ˆ θ l’estimateur des moindres carr´ es de θ d´ efini par θ ˆ _t =

Z t 0

X _s X _s ^∗ ds ⁻¹ Z t

0

X _s dX _s ^p . (3)

Cet estimateur a fait l’objet de plusieurs ´ etudes donnant sa consistance forte et sa normalit´ e asymptotique (voir par exemple [5], [8], [11], [12]). Dans [12], Le Breton et Musiela, en utilisant une loi forte des grands nombres pour les martingles locales continues multidimensionnelles, ont montr´ e que cet estimateur converge presque-sˆ urement. Plus pr´ ecis´ ement, on a

1. Dans le cas stable,

k θ ˆ t − θk = O

r log t t

p.s. (4)

2. Dans le cas instable,

k θ ˆ t − θk = O √

t e ^−mt

p.s. (5)

Dans [5], Darwich a ´ etabli une loi du logarithme it´ er´ e (LLI) pour des martingales locales cadlag mul- tidimensionnelles et a pr´ ecis´ e l’ordre de la convergence de ce mˆ eme estimateur dans le cas stable, ` a savoir

lim sup

t→∞

k θ ˆ t − θk √

√ t

log log t < +∞ p.s. (6)

Les th´ eor` emes limites par moyennisation logarithmique pour les martingales ` a temps continu dont il est question ici ont fait l’objet de quelques publications. On cite en particulier les travaux de Chaˆ abane [2]

pour des martingales continues, Chaˆ abane et Kebaier [4] dans le cas des martingales quasi-continues ` a gauche, ` a croissance r´ eguli` ere et plus r´ ecemment Fathallah et Kebaier [9] dans le cas des martingales quasi- continues ` a gauche, ` a croissance explosive et mixte (r´ eguli` ere et explosive). Dans ce travail, on applique ces r´ esultats au processus autor´ egressif gaussien dans les deux cas stable et instable. Dans le premier cas, afin d’am´ eliorer les vitesses de convergence associ´ ees au th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure (TLCPS),

`

a la loi forte quadratique associ´ ee au TLCPS (LFQ) et au th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique (TLCL) v´ erifi´ es par l’estimateur des moindres carr´ es ˆ θ <sub>t</sub> de θ, on utilise comme dans [3] et [4] la m´ ethode de pond´ eration. Dans le cas instable, les mˆ emes propri´ et´ es asymptotiques sont ´ etablies pour l’estimateur des moindres carr´ es ˆ θ de θ et les vitesses de convergence associ´ ees ` a ces propri´ et´ es sont arithm´ etiques. Ces r´ esultats restent toujours li´ es aux propri´ et´ es classiques associ´ ees aux martingales telles que la loi forte des grands nombre (LFGN), le th´ eor` eme de la limite centrale (TLC) ou encore la loi du logarithme it´ er´ e (LLI).

L’exploitation des th´ eor` emes limites par moyennisation logarithmique, en particulier le th´ eor` eme de la

limite centrale presque-sˆ ure, la loi forte quadratique ou le th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique

pour les martingales ` a temps continu, a permis de d´ egager d’autres propri´ et´ es de l’estimateur des moindres

carr´ es ˆ θ t de θ. Dans [3], l’´ etude du mod` ele de r´ egression unidimensionnel dans le cas stable a permis entre autres de d´ egager une r´ egion de confiance asymptotique du couple (θ, σ <sup>2</sup> ). En effet, pour un mouvement brownien standard r´ eel B = (B t , t ≥ 0), on consid` ere le processus d’Ornstein-Uhlenbeck X = (X t , t ≥ 0) d´ efini par l’´ equation diff´ erentielle stochastique suivante :

dX t = θX t dt + σdB t , t ≥ 0, (7)

o` u σ > 0 et θ < 0 sont des param` etres inconnus et l’´ etat initial X ₀ ´ etant choisi ind´ ependamment de B. L’estimateur des moindres carr´ es ˆ θ _t de θ et l’estimateur b σ _t de σ donn´ e par b σ _t ² := −2b θ _t I _t avec I t = 1

t Z t

0

X _s ² ds v´ erifient des propri´ et´ es asymptotiques de type : – Un th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure

(TLCPS) 1

log t Z t

1

ds s δ _{ ^√ _{s(b θ}

s

−θ)} = ⇒ N (0, 2|θ|) p.s.,

o` u ” = ⇒ ” d´ esigne la convergence en loi ou la convergence ´ etroite des mesures.

– Une loi forte quadratique

(LFQ) 1

log t Z t

1

(b θ _s − θ) ² ds −→ 2|θ| p.s., (t −→ ∞).

– Ind´ ependance asymptotique pour le couple (θ, σ ² )

√ t(b θ _t − θ) , t(σ ² − σ b ² _t )

= ⇒ N (0, 2|θ|) ⊗ ( σ ²

2|θ| X ² (1) ∗ ν ), o` u ν est la loi de la variable al´ eatoire − X ₀ ² .

Dans [9], ces mˆ emes th´ eor` emes limites ont ´ et´ e appliqu´ es au mod` ele Ornstein-Uhlenbeck bivari´ e. Plus pr´ ecis´ ement, pour Γ = (Γ t = (B t , W t ), t ≥ 0) un mouvement brownien plan nul en z´ ero, on consid` ere le mod` ele d’Ornstein-Uhlenbeck bivari´ e suivant :







dX t = θ 1 X t dt + θ 2 Y t dt + dB t , X 0 = x, dY t = θ 3 Y t dt + dW t , Y 0 = y,

(8)

o` u θ = (θ 1 , θ 2 , θ 3 ) ∈ R <sup>3</sup> avec 0 < θ 3 < θ 1 . Ces th´ eor` emes limites ont permis de montrer que l’es- timateur du maximum de vraisemblance ˆ θ de θ v´ erifie les propri´ et´ es asymptotiques suivantes : pour V t = Diag(e ^tθ

, e ^tθ

, e ^tθ

) et

I t =

















e ^−2tθ

Z t

0

X _s ² ds e ^−t(θ

^+θ

⁾ Z t

0

X _s Y _s ds 0 e ^−t(θ

^+θ

⁾

Z t 0

X s Y s ds e ^−2tθ

Z t

0

Y _s ² ds 0

0 0 e ^−2tθ

Z t 0

Y _s ² ds















 ,

– Un th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure

(T LCP S) t ⁻¹

Z t 0

δ _{I

s

V

( ˆ θ

−θ)} ds = ⇒ N (0, I ∞ ) p.s., o` u I _∞ est la limite presque-sˆ ure de I t .

– Une loi forte quadratique

(LF Q) t ⁻¹

Z t 0

I _s V _s (b θ _s − θ)(b θ _s − θ) ^∗ V _s ^∗ I _s ^∗ ds −→ I _∞ p.s., (t −→ ∞).

Pour ˜ D _s = I _s V _s (b θ _s − θ)(b θ _s − θ) ^∗ V _s ^∗ I _s ^∗ − I _s et U une matrice telle que V _t ⁻¹ dV t

dt −→ U, (t −→ ∞), avec U + U ^∗ inversible, on a

– Un th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique

(T LCL) t ^−1/2 Z t

0

(U D ˜ s + ˜ D s U ) ds = ⇒ ν _∞ ,

o` u conditionnellement ` a I _∞ , ν _∞ est une gaussienne matricielle centr´ ee, ind´ ependante de la v.a.

I _∞ .

2 Enonc´ ´ es des principaux r´ esultats

Dans la suite, on note k · k la norme euclidienne sur R ^p . Pour une matrice r´ eelle carr´ ee A, A ^∗ et trA d´ esignent respectivement la matrice transpos´ ee et la trace de la matrice A. I p d´ enote la matrice identit´ e p×p. La norme de la matrice A est d´ efinie par : kAk = p

tr(AA ^∗ ) et on d´ esigne par λ

(A) (resp. λ

(A)) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de la matrice A. On note Vect(A) le vecteur obtenu en empilant les vecteurs colonnes de la matrice A et on note [Vect(A)Vect(A) ^∗ ] ^⊥ la matrice ` a blocs dont le bloc d’indice 1 ≤ i, j ≤ d est A <sub>j</sub> A <sup>∗</sup> <sub>i</sub> o` u A ₁ , . . . , A _d sont les vecteurs colonnes de A. Le symbole ⊗ d´ esigne le produit tensoriel de mesures ou de matrices.

2.1 R´ esultats relatifs au cas stable

Consid´ erons ˜ θ _t l’estimateur des moindres carr´ es pond´ er´ e de θ, d´ efini par θ ˜ _t = P _t ⁻¹

Z t 0

ω _s X _s dX _s , (9)

correspondant au poids (ω s ) donn´ e par ω _s = (1 + s) ⁻

exp

2

1 − α (1 + s) ^1−α

, avec 1

2 < α < γ < 1, (10) o` u

P _t = Z t

0

ω _s X _s X _s ^∗ ds et on note ¯ θ t son moyennis´ e donn´ e par

θ ¯ _t = 1 t

Z t 0

θ ˜ _s ds. (11)

Posons

u _t = Z t

0

ω _s ds, v _t = Z t 0

ω ² _s ds

, a _t = v _t ⁻¹ dv _t dt et introduisons le processus I 1 = (I t,1 , t ≥ 0) d´ efini par

I t,1 := 1 t

Z t 0

X s X s ∗ ds,

dont le comportement asymptotique est donn´ e par (voir Le Breton [12])

I _t,1 −→ I _∞,1 p.s., (t −→ ∞), (12)

o` u I ∞,1 est une matrice sym´ etrique d´ efinie positive donn´ ee par I _∞,1 = σ ²

Z +∞

0

e ^B

^s e d e d ∗ e ^B

^s ds, (13) o` u e d est le d-i` eme vecteur de la base canonique de R ^d .

Dans la suite, on suppose que le processus autor´ egressif gaussien stable X v´ erifie l’hypoth` ese suivante :

(H 1 ) kI t,1 − I _∞,1 k = o(t ^−(1−α

⁾ ) p.s., (t −→ ∞), pour 1/2 ≤ α ⁰ < α < 1.

Th´ eor` eme 2.1.1 Soit X = (X t , t ≥ 0) le processus autor´ egressif gaussien stable ` a temps continu d´ efini par l’´ equation (2). Si on suppose que l’hypoth` ese (H 1 ) est v´ erifi´ ee, alors l’estimateur des moindres carr´ es pond´ er´ e θ ˜ t de θ donn´ e par la relation (9) ainsi que son moyennis´ e θ ¯ t convergent au sens presque-sˆ ur. De fa¸ con plus pr´ ecise, on a les propri´ et´ es suivantes :

1. Consistance forte et normalit´ e asymptotique de θ ˜ t

k θ ˜ t − θk = O

r log t t ^α

p.s. et t ^α/2 (˜ θ t − θ) = ⇒ σI _∞,1 ^−1/2 G, o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de I _∞,1 .

2. Consistance forte et normalit´ e asymptotique de θ ¯ _t Si 1/2 ≤ α ⁰ < 3α/2 − 1/2 et α < 3/4, alors on a

k θ ¯ _t − θk = O

r log log t t

p.s. et t ^1/2 (¯ θ _t − θ) = ⇒ σI _∞,1 ^−1/2 G, o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de I _∞,1 .

Th´ eor` eme 2.1.2 On se place dans le cadre du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on a les r´ esultats suivants : 1. Th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure

(TLCPS) 1 − α t ^1−α

Z t 1

ds

s ^α δ _{s

( ˜ θ

−θ)} = ⇒ µ _∞ p.s.,

o` u µ ∞ est la loi de la variable al´ eatoire σI <sub>∞,1</sub> <sup>−1/2</sup> G o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,1 .

2. La loi forte quadratique (LFQ) 1 − α

t ^1−α Z t

0

(˜ θ s − θ ¯ t )(˜ θ s − θ ¯ t ) ^∗ ds −→ σ ² I _∞,1 ⁻¹ p.s., (t −→ ∞).

3. Th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique

(TLCL)

t ^1−α 1 − α

^1/2 1 − α

t ^1−α Z t

0

(˜ θ s − θ ¯ t )(˜ θ s − θ ¯ t ) ^∗ ds − σ ² I _∞,1 ⁻¹

= ⇒ ν ∞ ,

o` u conditionnellement ` a I ∞,1 , ν ∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee ind´ ependante de I ∞,1

et de covariance

C = σ ⁻¹² I _∞,1 ⁻²

2I _∞,1 ⊗ I _∞,1 + 2[(Vect(I _∞,1 ))(Vect(I _∞,1 )) ^∗ ] ^⊥ I _∞,1 ⁻² .

2.2 R´ esultats relatifs au cas instable

On introduit le processus I 2 = (I t,2 , t ≥ 0) d´ efini par I t,2 := e ^−B

^t

Z t 0

X s X s ∗ ds e ^−B

^t . Son comportement asymptotique est donn´ e par (voir Le Breton [10])

I t,2 −→ I ∞,2 p.s., (t −→ ∞), (14)

o` u I _∞,2 est la matrice sym´ etrique d´ efinie positive donn´ ee par I ∞,2 := σ ⁴

Z +∞

0

e ^−B

^s ZZ ^∗ e ^−B

^s ds (15) et Z d´ esigne le vecteur al´ eatoire gaussien centr´ e donn´ e par

Z = Z +∞

0

e ^−B

^s dW s .

Dans la suite, on suppose que le processus autor´ egressif gaussien instable X v´ erifie l’hypoth` ese suivante : (H 2 ) kI t,2 − I _∞,2 k = o(t ^−β ) p.s., (t −→ ∞), pour β > 1/2.

Th´ eor` eme 2.2.1 Soit X = (X t , t ≥ 0) le processus autor´ egressif gaussien instable ` a temps continu d´ efini par l’´ equation (2). Si on suppose que le processus autor´ egressif gaussien X v´ erifie l’hypoth` ese (H 2 ), alors on obtient les r´ esultats suivants :

1. Normalit´ e asymptotique de θ ˆ t

e ^B

^t (ˆ θ t − θ) = ⇒ σI _∞,2 ^−1/2 G,

o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de I <sub>∞,2</sub> . 2. Th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure

(TLCPS) 1 t

Z t 0

ds δ {e

( ˆ θ

−θ)} = ⇒ µ _∞ p.s.,

o` u µ <sub>∞</sub> est la loi de la variable al´ eatoire σI <sub>∞,2</sub> <sup>−1/2</sup> G o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,2 .

De plus, si l’hypoth` ese (H 2 ) est v´ erifi´ ee avec β > 1, alors on obtient 3. La loi forte quadratique

(LFQ) 1 t

Z t 0

e ^B

^s (ˆ θ _s − θ)(ˆ θ _s − θ) ^∗ e ^B

^s ds −→ σ ² I _∞,2 ⁻¹ p.s., (t −→ ∞).

Si l’hypoth` ese (H <sub>2</sub> ) est v´ erifi´ ee avec β > 3/2, alors on obtient 4. Th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique

(TLCL) 2t ^−1/2 tr 1

t Z t

0

e ^B

^s (ˆ θ s − θ)(ˆ θ s − θ) ^∗ e ^B

^s ds − σ ² I _∞,2 ⁻¹

= ⇒ ν _∞ p.s.,

o` u conditionnellement ` a I ∞,2 , ν ∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee ind´ ependante de I ∞,2

et de covariance C = σ ⁻¹² tr

(2tr(B _θ )) ⁻¹ I _∞,2 ⁻²

2I _∞,2 ⊗ I _∞,2 + 2[(Vect(I _∞,2 ))(Vect(I _∞,2 )) ^∗ ] ^⊥ I _∞,2 ⁻² .

3 Preuves des r´ esultats

3.1 Preuves des r´ esultats relatifs au cas stable

Dans la suite, on introduit la martingale vectorielle continue ˜ M d´ efinie par M ˜ t = σ

Z t 0

ω s X s dW s , (16)

dont sa variation quadratique pr´ evisible est donn´ ee par h M ˜ i t = σ ²

Z t 0

ω _s ² X _s X _s ^∗ ds. (17)

D’apr` es (2) et (9), on obtient la relation-cl suivante :

M ˜ t = P t (˜ θ t − θ), (18)

o` u

P t = Z t

0

ω s X s X _s ^∗ ds.

Le lemme suivant donne des propri´ et´ es asymptotiques v´ erifi´ ees par le poids (ω _t ) introduit dans (10).

Lemme 3.1 Le poids (ω t ), d´ efini dans (10), satisfait les propri´ et´ es suivantes : P ₁ ) t ^α ω _t

u t

= 2 + O(t ^−(1−α) ), (t −→ ∞).

P ₂ ) t ^α ω _t ²

v _t ² = 4 + O(t ^−(1−α) ), (t −→ ∞).

P 3 ) t ^−α/2 u t

v _t = 1 + O(t ^−(1−α) ), (t −→ ∞).

P 4 ) t ^α/2 a ^1/2 _t = √

2 + O(t ^−(1−α) ), (t −→ ∞).

La preuve de ce lemme est donn´ ee dans [3].

Dans le lemme suivant, on donne le comportement asymptotique de la variation quadratique pr´ evisible de la martingale ˜ M ainsi que celui du processus P.

Lemme 3.2 Sous l’hypoth` ese (H 1 ), on obtient i) h M ˜ i t

v _t ² − σ ² I ∞,1 = o(t ^−(α−α

⁾ ) p.s., (t −→ ∞).

ii) P _t u t

− I _∞,1 = o(t ^−(α−α

⁾ ) p.s., (t −→ ∞).

Preuve du lemme 3.2 i) D’apr` es la relation (17), on a

h M ˜ i t = σ ² Z t

0

ω ² _s d(sI _s,1 ) = σ ² Z t

0

ω ² _s I _s,1 ds + σ ² Z t

0

sω ² _s dI _s,1

= σ ² v _t ² I _∞,1 + σ ² Z t

0

ω ² _s (I s,1 − I _∞,1 )ds + σ ² Z t

0

sω _s ² dI s,1 . Grˆ ace ` a une int´ egration par parties, on obtient l’´ egalit´ e suivante :

h M ˜ i t = σ ² v ² _t I _∞,1 + σ ² Z t

0

ω _s ² (I s,1 − I _∞,1 )ds + σ ² tω _t ² (I t,1 − I _∞,1 ) − σ ² Z t

0

(I s,1 − I _∞,1 )d(sω ² _s ).

Par suite, il vient

h M ˜ i t

v ² _t − σ ² I _∞,1

≤ σ ² sup

s≤t

kI s,1 − I _∞,1 k

1 + 2t w ² _t v ² _t

. Compte tenu de la propri´ et´ e (P ₂ ) du lemme 3.1, on obtient

h M ˜ i t

v _t ² − σ ² I ∞,1

= σ ² sup

s≤t

kI s,1 − I ∞,1 k

1 + O(t ^(1−α) )

.

La premi` ere assertion du lemme 3.2 d´ ecoule alors de l’hypoth` ese (H 1 ) et du fait que 1−α−β < −(α−α ⁰ ).

ii) D’apr` es l’expression de P t , on a P t =

Z t 0

w s d(sI s,1 ) = Z t

0

w s I s,1 ds + Z t

0

sw s dI s,1 . Une int´ egration par parties donne

P t − u t I _∞,1 = tw t (I t,1 − I _∞,1 ) + Z t

0

w s (I s,1 − I _∞,1 )ds − Z t

0

(I s,1 − I _∞,1 )d(sw s ), ce qui implique

P _t u t

− I _∞,1

≤ sup

s≤t

kI s,1 − I _∞,1 k

1 + 2t w _t u t

. En utilisant la propri´ et´ e (P 1 ) du lemme 3.1, il vient

P t

u t

− I _∞,1

= sup

s≤t

kI s,1 − I _∞,1 k

1 + O(t ^(1−α) )

.

De mˆ eme, la seconde assertion du lemme d´ ecoule de l’hypoth` ese (H 1 ), ce qui ach` eve la preuve du lemme 3.2.

Lemme 3.3 La martingale vectorielle continue M ˜ d´ efinie par la relation (16) v´ erifie les propri´ et´ es asymp- totiques suivantes :

1. Th´ eor` eme de la limite centrale

(TLC) M ˜ t

v t

= ⇒ σI _∞,1 ^1/2 G,

o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de I <sub>∞,1</sub> . 2. Th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure

(TLCPS) 1 − α t ^1−α

Z t 1

ds

s ^α δ _{ M ˜

/v

} = ⇒ µ _∞ p.s.,

o` u µ <sub>∞</sub> est la loi de la variable al´ eatoire σI <sub>∞,1</sub> <sup>1/2</sup> G o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de I _∞,1 .

3. La loi forte quadratique (LFQ) 1 − α

t ^1−α Z t

0

s ^−α M ˜ _s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

ds −→ σ ² I _∞,1 p.s., (t −→ ∞).

4. Th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique

(TLCL)

t ^1−α 1 − α

−1/2 Z t 1

s ^−α M ˜ s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

− σ ² I _∞,1

ds = ⇒ ν _∞ ,

o` u conditionnellement ` a I ∞,1 , ν ∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee ind´ ependante de I ∞,1

et de covariance

C = σ ⁴ {2I ∞,1 ⊗ I _∞,1 + 2[(Vect(I _∞,1 ))(Vect(I _∞,1 )) ^∗ ] ^⊥ }.

Preuve du lemme 3.3

1. Vu la premi` ere assertion du lemme pr´ ec´ edent, on a h M ˜ i t

v _t ² −→ σ ² I ∞,1 p.s., (t −→ ∞).

En appliquant le TLC ` a la martingale continue ˜ M , on obtient la premi` ere assertion du lemme, ` a savoir

M ˜ t

v _t = ⇒ σI _∞,1 ^1/2 G, o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de I _∞,1 .

2. En appliquant le th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure (voir th´ eor` eme 1 dans [1]) pour le couple ( ˜ M , v) o` u ˜ M est la martingale continue ` a croissance r´ eguli` ere donn´ ee par (16) et normalis´ ee par v t =

Z t 0

ω _s ² ds ^1/2

, on obtient

(log v ² _t ) ⁻¹ Z t

1

δ _{ M ˜

/v

} d(log v _s ² ) = ⇒ µ ∞ p.s., o` u µ _∞ est la loi de la variable al´ eatoire σI _∞,1 ^1/2 G.

Par ailleurs, la propri´ et´ e (P ₂ ) du lemme 3.1 implique log v _t ² ∼ 4

1 − α t ^1−α (t −→ ∞). (19) Combin´ e avec la convergence pr´ ec´ edente, on d´ eduit

1 − α t ^1−α

Z t 1

δ _{ M ˜

/v

}

ds

s ^α = ⇒ µ _∞ p.s.

3. La LFQ1 (voir th´ eor` eme 3 dans [1]) appliqu´ ee ` a la martingale continue ˜ M , normalis´ ee par le processus v t =

Z t 0

ω ² _s ds ^1/2

, donne

(log v ² _t ) ⁻¹ Z t

1

M ˜ s

v _s M ˜ _s ^∗

v _s d(log v _s ² ) −→ σ ² I _∞,1 p.s., (t −→ ∞). (20) La troisi` eme assertion du lemme d´ ecoule de l’´ equivalence (19).

4. D’apr` es le corollaire 2.2 dans [4] appliqu´ e au couple ( ˜ M , v), on a (log v _t ² ) ^−1/2

Z t 1

M ˜ _s v s

M ˜ _s ^∗ v s

− h M ˜ i s

v ² _s

d(log v _s ² ) = ⇒ ν ∞ ,

o` u conditionnellement ` a I ∞,1 , ν ∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee ind´ ependante de I ∞,1

et de covariance

C = σ ⁴ {2I ∞,1 ⊗ I _∞,1 + 2[(Vect(I _∞,1 ))(Vect(I _∞,1 )) ^∗ ] ^⊥ }.

En tenant compte de l’´ equivalence (19), ` a savoir log v _t ² ∼ 4

1 − α t ^1−α (t −→ ∞), on obtient

t ^1−α 1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α M ˜ _s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

− h M ˜ i s

v _s ²

!

ds = ⇒ ν ∞ . (21)

Par ailleurs, on a

t ^1−α 1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α M ˜ s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

− h M ˜ i s

v _s ²

!

ds

= t ^1−α

1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α M ˜ _s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

− σ ² I _∞,1

! ds

− t ^1−α

1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α h M ˜ i _s

v _s ² − σ ² I _∞,1

!

ds. (22)

Vu la premi` ere assertion du lemme 3.2, ` a savoir h M ˜ i _t

v _t ² − σ ² I _∞,1 = o(t ^−(α−α

⁾ ) p.s., (t −→ ∞), on obtient

t ^1−α 1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α h M ˜ i _s

v ² _s − σ ² I _∞,1

!

ds = o

t ^α

^−3α/2+1/2

p.s., (t −→ ∞).

Comme par hypoth` ese on a α ⁰ < (3α − 1)/2, alors t ^1−α

1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α h M ˜ i s

v _s ² − σ ² I ∞,1

!

ds = o (1) p.s., (t −→ ∞). (23) La derni` ere assertion du lemme 3.3 est ´ etablie en combinant (21), (22) et (23).

Le lemme 3.3 est ainsi ´ etabli.

Preuve du th´ eor` eme 2.1.1

1. D’apr` es Le Breton et Musiela (voir lemme 3.3 dans [12]), on a λ

(h M ˜ i t ) −→ +∞ p.s., (t −→ ∞).

Le comportement asymptotique du processus h M ˜ i ⁻¹ M ˜ est donn´ e par Darwich (voir th´ eor` eme 1 dans [5]). En effet, on a

lim sup

t→∞

v _t

[h M ˜ i ⁻¹ _t M ˜ _t ] _i

p 2 log log v _t ² < +∞ p.s., i = 1, . . . , d. (24) On en d´ eduit

v t

[h M ˜ i ⁻¹ _t M ˜ t ] i

=

[h M ˜ i ⁻¹ _t v t P t (˜ θ t − θ)] i

=

[h M ˜ i ⁻¹ _t v _t ² u t

v _t P t

u _t (˜ θ t − θ)] i

, pour i = 1, . . . , d. (25) En utilisant la propri´ et´ e (P 4 ) du lemme 3.1 et le lemme (3.2), on d´ eduit pour i = 1, . . . , d,

v _t

[h M ˜ i ⁻¹ _t M ˜ _t ] _i

∼ σ ⁻² t

[˜ θ _t − θ] _i

(t −→ ∞). (26)

Vu l’´ equivalence (19) et en combinant les relations (24) et (26), on obtient lim sup

t→∞

s σ ⁻⁴ t ^α 2 log ^4t _1−α

[˜ θ _t − θ] _i

< +∞ p.s., i = 1, . . . , d.

Donc

lim sup

t→∞

s t ^α log t

[˜ θ t − θ] i

< +∞ p.s., i = 1, . . . , d,

ce que implique

[˜ θ _t − θ] _i = O

r log t t ^α

, i = 1, . . . , d.

Par cons´ equent, on d´ eduit la premi` ere propri´ et´ e de la consistance forte de l’estimateur ˜ θ t de θ, ` a savoir

k θ ˜ _t − θk = O

r log t t ^α

! p.s.

Par ailleurs, l’hypoth` ese (H 1 ), la propri´ et´ e (P 3 ) du lemme 3.1 et l’assertion ii) du lemme 3.2 im- pliquent

v _s ⁻¹ P s = I _∞,1 s

+ o

s ^α

⁻

p.s., (27)

ce qui donne, combin´ e avec le TLC du lemme 3.3 et la relation (18), la normalit´ e asymptotique de l’estimateur ˜ θ de θ. Ainsi on a ´ etabli la premi` ere partie du th´ eor` eme 2.1.1.

2. Posons ˜ Z s = ˜ M s /v s . D’apr` es les relations (11) et (18), on a

√

t(¯ θ t − θ) = 1

√ t Z t

0

P _s ⁻¹ M ˜ s ds = 1

√ t Z t

0

v s P _s ⁻¹ Z ˜ s ds.

En combinant la propri´ et´ e (P 4 ) du lemme 3.1 et l’assertion ii) du lemme 3.2, on obtient v s P _s ⁻¹ = v s

u s

u s P _s ⁻¹ = s ⁻

+ o(s

⁻¹ )

I _∞,1 ⁻¹ + o(s ^α

^−α ) p.s.,

= I _∞,1 ⁻¹ s ⁻

+ o(s ^α

^−3α/2 ) + o(s ^α/2−1 ) + o(s ^α

^−α/2−1 ) p.s.

Or α < 3/4 et α ⁰ ≥ 1/2, donc α ⁰ − 3α/2 > α/2 − 1 et α ⁰ − 3α/2 > α ⁰ − α/2 − 1 et on en d´ eduit v s P _s ⁻¹ = I _∞,1 ⁻¹ s ⁻

+ o(s ^α

^−3α/2 ) p.s.

Il en r´ esulte que

√ t(¯ θ _t − θ) = I _∞,1 ⁻¹

√ t Z t

0

s ⁻

Z ˜ _s ds + o 1

√ t Z t

0

s ^α

⁻

^α Z ˜ _s ds

p.s. (28)

Par suite, on a

√ tk θ ¯ t − θk ≤ kI ∞,1 k ⁻¹ 1

√ t Z t

0

s ⁻

k Z ˜ s k ds + o 1

√ t Z t

0

s ^α

⁻

^α k Z ˜ s k ds

. (29)

La relation (18) combin´ ee avec la propri´ et´ e (P ₄ ) du lemme 3.1 et l’assertion ii) du lemme 3.2 impliquent

Z ˜ _s ∼ I _∞,1 s

(˜ θ _s − θ) (s −→ ∞). (30) Grˆ ace ` a la premi` ere assertion du th´ eor` eme, ` a savoir

k θ ˜ t − θk = O

r log t t ^α

! p.s.

et ` a l’´ equivalence (30), on obtient

k Z ˜ _t k = O p log t

p.s. (31)

Par ailleurs, on a

a s Z ˜ s ds = −d Z ˜ s + v _s ⁻¹ d M ˜ s , (32)

ce qui implique

Z t 0

a ^1/2 _s Z ˜ _s ds = − Z t

0

a ^−1/2 _s d Z ˜ _s + Z t

0

a ^−1/2 _s v ⁻¹ _s d M ˜ _s . Grˆ ace ` a la propri´ et´ e (P 4 ) du lemme 3.1, on obtient les ´ equivalences suivantes :

Z t 0

a ^1/2 _s Z ˜ s ds ∼ √ 2

Z t 0

s ^−α/2 Z ˜ s ds (t −→ ∞), Z t

0

a ^−1/2 _s d Z ˜ _s ∼ 1

√ 2 Z t

0

s ^α/2 d Z ˜ _s (t −→ ∞) et

Z t 0

a ^−1/2 _s v _s ⁻¹ d M ˜ s ∼ 1

√ 2 Z t

0

s ^α/2 v _s ⁻¹ d M ˜ s (t −→ ∞).

D’o` u

Z t 0

s ^−α/2 Z ˜ s ds ∼ L t − K t (t −→ ∞), (33) o` u L = (L _t , t ≥ 0) est la martingale vectorielle continue d´ efinie par

L _t = 1 2

Z t 0

s

v _s ⁻¹ d M ˜ _s et K = (K t , t ≥ 0) est le processus donn´ e par

K t = 1 2

Z t 0

s

d Z ˜ s . Par cons´ equent, on obtient l’in´ egalit´ e suivante :

√ 1 t

Z t 0

s ^−α/2 k Z ˜ s kds ≤ kL t k

√ t − kK t k

√ t . (34)

En vue d’´ etudier le comportement asymptotique du membre de gauche de la relation (34) qui nous permettra de donner le comportement asymptotique de √

tk θ ¯ t − θk via l’in´ egalit´ e (29), on ´ etudiera ceux de K et L.

Comportement asymptotique du processus K Grˆ ace ` a une int´ egration par parties, on obtient

K t = t ^α/2 2

Z ˜ t − α 4

Z t 0

s

⁻¹ Z ˜ s ds. (35)

D’o` u l’in´ egalit´ e suivante :

kK t k ≤ t

k Z ˜ _t k + Z t

0

s

⁻¹ k Z ˜ _s kds, qui donne, combin´ ee avec la relation (31)

kK _t k = O

p t ^α log t

p.s. (36)

Comportement asymptotique du processus L

La variation quadratique pr´ evisible de la martingale vectorielle continue L s’´ ecrit hLi t = 1

4 Z t

0

s ^α dh M ˜ i _s

v ² _s . (37)

En tenant compte de la relation (17), ` a savoir h M ˜ i t = σ ²

Z t 0

ω s 2 X s X _s ^∗ ds, il vient

hLi t = σ ² 4

Z t 0

s ^α ω s 2

v _s ² X s X _s ^∗ ds.

Vu la propri´ et´ e (P 2 ) du lemme 3.1, on obtient hLi t

t = σ ² I t,1 + O 1

t Z t

0

s ^−(1−α) X s X _s ^∗ ds

, et grˆ ace au lemme de Toeplitz, on obtient la convergence suivante :

hLi t

t −→ σ ² I ∞,1 p.s., (t −→ ∞).

Par cons´ equent, on a

hLi t = O(t) p.s.

Par ailleurs, en utilisant la relation (37) et la propri´ et´ e (P 2 ) du lemme 3.1, on obtient l’´ equivalence suivante :

hLi t ∼ Z t

0

w _s ⁻² dh M ˜ i s (t −→ ∞).

En tenant compte de la relation (17), on obtient hLi t ∼ hM i t = σ ²

Z t 0

X s X _s ^∗ ds (t −→ ∞),

o` u M est la martingale vectorielle continue donn´ ee par la relation (56). Par cons´ equent et vu le lemme 3.3 dans [12], il vient

λ

(hLi t ) −→ +∞ p.s., (t −→ +∞).

Grˆ ace ` a la LLI (voir th´ eor` eme 1 dans [5]), on a le comportement asymptotique du processus hLi ⁻¹ L lim sup

t→∞

√ t

[hLi ⁻¹ _t L t ] i

√

2 log log t < +∞ p.s., i = 1, . . . , d. (38) Il en r´ esulte que la norme de la martingale L v´ erifie

kL t k = O

p t log log t

p.s. (39)

En ins´ erant (36) et (39) dans (34), on obtient le comportement asymptotique du premier terme du membre de droite de la relation (29), ` a savoir

kI _∞,1 k ⁻¹ 1

√ t Z t

0

s ^−α/2 k Z ˜ s kds = O √

log log t

+ O

p t ^α−1 log t

p.s.

= O

√ log log t

p.s.

Vu que le second terme du membre de droite de la relation (29) s’´ ecrit o

1

√ t Z t

0

s ^α

⁻

^α k Z ˜ s k ds

∼ o

t ^α

⁻

^α+

p log t

p.s., (t −→ ∞),

on en d´ eduit

k θ ¯ _t − θk = O

r log log t t

+ o

t ^α

⁻

^α p log t

p.s.

Comme α ⁰ < (3α − 1)/2, on obtient

k θ ¯ t − θk = O

r log log t t

p.s.,

et donc la propri´ et´ e de la consistance forte de l’estimateur ¯ θ t de θ. Pour achever la preuve du th´ eor` eme 2.1.1, il reste ` a prouver que l’estimateur ¯ θ t de θ v´ erifie un TLC.

En utilisant l’´ equivalence (33), il vient

√ 1 t

Z t 0

s ^−α/2 Z ˜ s ds ∼ L t

√ t − K t

√ t (t −→ ∞). (40)

Or, d’apr` es la relation (35), on a K _t

√ t = t

2

Z ˜ t − α 4 √ t

Z t 0

s ^α/2−1 Z ˜ s ds. (41)

En tenant compte de la relation (28), ` a savoir

√ t(¯ θ _t − θ) = I _∞,1 ⁻¹

√ t Z t

0

s ⁻

Z ˜ _s ds + o 1

√ t Z t

0

s ^α

^−3α/2 Z ˜ _s ds

, p.s., du fait que

o 1

√ t Z t

0

s ^α

^−3α/2 Z ˜ s ds

= o

t ^α

^−3α/2+1/2 p log t

= o(1) p.s., (car α ⁰ < 3α/2 − 1/2) et des deux relations (40) et (41), on obtient presque sˆ urement

√

t(¯ θ t − θ) ∼ − I _∞,1 ⁻¹

2 t

Z ˜ t + I _∞,1 ⁻¹ L t

√ t + αI _∞,1 ⁻¹ 4 √

t Z t

0

s ^α/2−1 Z ˜ s ds (t −→ ∞). (42) Le premier terme du membre de droite de cette derni` ere ´ equivalence tend vers 0 vu que ˜ Z s converge en loi, et de mˆ eme le dernier terme car

αI _∞,1 ⁻¹ 4 √

t Z t

0

s ^α/2−1 Z ˜ _s ds = O p

t ^α−1 log t

= o(1) p.s.

Quant au second terme, comme hLi t

t −→ σ ² I ∞,1 p.s., (t −→ ∞), alors d’apr` es le TLC appliqu´ e ` a la martingale continue L, on obtient

I _∞,1 ⁻¹ L _t

√ t = ⇒ σI _∞,1 ^−1/2 G, (43)

o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,1 . On obtient le dernier r´ esultat

en ins´ erant la relation (43) dans (42). Cela achve la preuve du th´ eor` eme 2.1.1.

Preuve du th´ eor` eme 2.1.2

1. Rappelons d’abord les relations (18) et (27), ` a savoir M ˜ _t = P _t (˜ θ _t − θ) et

P _s v s

= I _∞,1 s

+ o

s ^α

⁻

p.s.

Posons

F t = 1 t ^1−α

Z t 1

ϕ P s

v s

(˜ θ s − θ) ds

s ^α − 1 t ^1−α

Z t 1

ϕ

I _∞,1 s ^α/2 (˜ θ s − θ) ds s ^α , o` u ϕ est une fonction lipschitzienne continue born´ ee, alors

kF _t k ≤ C ^te t ^−(1−α) Z t

1

s ^−α

P _s v s

− I _∞,1 s ^α/2

k θ ˜ _s − θkds.

En tenant compte de la relation (27) et du fait que k θ ˜ _t − θk = O

r log t t ^α

! p.s., on obtient

kF t k = o

t ^α

^−2α+1 p log t

p.s., (t −→ ∞).

Vu que α < 3/4, il vient

F _t −→ 0 p.s., (t −→ ∞).

La premi` ere assertion du lemme 3.3 et la relation (18) impliquent 1 − α

t ^1−α Z t

1

ds s ^α δ





P s

v s

(˜ θ s − θ)







= ⇒ µ _∞ p.s.,

o` u µ <sub>∞</sub> est la loi de la variable al´ eatoire σI <sub>∞,1</sub> <sup>1/2</sup> G o` u G est un vecteur gaussien standard ind´ ependant de la v.a. I _∞,1 .

Par cons´ equent

1 − α t ^1−α

Z t 1

ds

s ^α δ _{s

I

( ˜ θ

−θ)} = ⇒ µ _∞ p.s.

Cela donne la premi` ere assertion du th´ eor` eme 2.1.2.

2. Posons

δ ˜ s = (˜ θ s − θ)(˜ θ s − θ) ^∗ et

δ ˜ _s,t = (˜ θ _s − θ ¯ _t )(˜ θ _s − θ ¯ _t ) ^∗ . On a

1 − α t ^1−α

Z t 1

s ^−α P s

v s

δ ˜ s

P s

v s

ds − I _∞,1 Z t

1

δ ˜ s ds I _∞,1

≤ t ^−(1−α)

k J ˜ _t,1 k + k J ˜ _t,2 k + k J ˜ _t,3 k

, (44)

avec

J ˜ _t,1 = Z t

1

s ^−α P _s

v s

− s ^α/2 I _∞,1

δ ˜ _s P _s

v s

− s ^α/2 I _∞,1

ds,

J ˜ t,2 = Z t

1

s ^−α/2 P s

v s

− s ^α/2 I ∞,1

δ ˜ s ds I ∞,1 ,

J ˜ t,3 = Z t

1

s ^−α/2 δ ˜ s

P s

v s

− s

I _∞,1

ds.

D’une part, le processus ( ˜ J _t,1 ) est major´ e par t ^−(1−α) k J ˜ t,1 k ≤ t ^−(1−α)

Z t 1

s ^−α

P s

v s

− s ^α/2 I ∞,1

2

θ ˜ s − θ

2

ds.

D’autre part, on a

k θ ˜ s − θk ² = O log s

s ^α

p.s., et de la relation (27), on obtient

P _s v s

− s ^α/2 I ∞,1

2

= o

s ^−(α−2α

⁾ p.s.

On en d´ eduit

t ^−(1−α) k J ˜ _t,1 k = o

t ^2(α

^−α) log t

= o(1) p.s., (t −→ ∞). (45)

De mˆ eme, les deux processus ( ˜ J _t,2 ) et ( ˜ J _t,3 ) sont major´ es par t ^−(1−α) k J ˜ t,2 k = t ^−(1−α) k J ˜ t,3 k

≤ kI _∞,1 k t ^−(1−α) Z t

1

s ^−α/2

P _s v s

− s ^α/2 I _∞,1

θ ˜ _s − θ

2

ds.

il vient

t ^−(1−α) k J ˜ _t,2 k = o

t ^α

^−α log t

= o(1) p.s., (t −→ ∞). (46)

Par cons´ equent, vu que I _∞,1 est inversible et en tenant compte du lemme 3.3 et des deux relations (18) et (44), on obtient

1 − α t ^1−α

Z t 1

δ ˜ s ds −→ σ ² I _∞,1 ⁻¹ p.s., (t −→ ∞). (47) Par ailleurs, on a

1 − α t ^1−α

Z t 1

˜ δ s − δ ˜ s,t ds

≤ t ^−(1−α)

k K ˜ t,1 k + k K ˜ t,2 k + k K ˜ t,3 k

, (48)

avec

K ˜ _t,1 = Z t

1

(˜ θ _s − θ ¯ _t ) ds (¯ θ _t − θ) ^∗ ,

K ˜ t,2 = (¯ θ t − θ) Z t

1

(˜ θ s − θ ¯ t ) ^∗ ds,

K ˜ _t,3 = (t − 1)(¯ θ _t − θ)(¯ θ _t − θ) ^∗ .

Vu que les deux processus ( ˜ K t,1 ) et ( ˜ K t,2 ) sont major´ es par t ^−(1−α) k K ˜ t,1 k = t ^−(1−α) k K ˜ t,2 k

≤ t ^−(1−α) k θ ¯ t − θk Z t

1

k θ ˜ s − θk ds + (t − 1)t ^−(1−α) k θ ¯ t − θk ² , (49) et en tenant compte du fait que

k θ ˜ t − θk = O

r log t t ^α

p.s. et k θ ¯ t − θk = O

r log log t t

p.s., on en d´ eduit

t ^−(1−α) k K ˜ t,1 k = t ^−(1−α) k K ˜ t,2 k

= O t ^{−(1−α)/2} √ log t √

log log t

= O t ^−(1−α) log log t . Il en r´ esulte que

t ^−(1−α) k K ˜ t,1 k −→ 0 p.s. et t ^−(1−α) k K ˜ t,2 k −→ 0 p.s., (t −→ ∞). (50) Le processus ( ˜ K t,3 ) est major´ e par

t ^−(1−α) k K ˜ t,3 k ≤ (t − 1)t ^−(1−α) k θ ¯ t − θk ² . Donc, on a

t ^−(1−α) k K ˜ _t,3 k = O

t ^−(1−α) log log t

p.s., (t −→ ∞).

Par cons´ equent, on obtient

t ^−(1−α) k K ˜ t,3 k −→ 0 p.s., (t −→ ∞). (51) Enfin, en ins´ erant les relations (50) et (51) dans l’in´ egalit´ e (48), il vient

1 − α t ^1−α

Z t 1

δ ˜ s − δ ˜ s,t ds

−→ 0 p.s., (t −→ ∞). (52)

La seconde assertion du th´ eor` eme d´ ecoule des propri´ et´ es (47) et (52).

3. Notons que t ^1−α

1 − α

−1/2 Z t 1

s ^−α M ˜ s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

− σ ² I _∞,1

ds

= t ^1−α

1 − α

^−1/2 Z t 1

s ^−α M ˜ _s

v s

M ˜ _s ^∗ v s

ds − t ^1−α

1 − α ^1/2

σ ² I _∞,1 . De la relation (18), on a

M ˜ _s M ˜ _s ^∗ = P _s δ ˜ _s P _s . (53) Par suite, grˆ ace ` a la quatri` eme assertion du lemme 3.3, on a

t ^1−α 1 − α

−1/2 Z t 1

s ^−α P _s v s

˜ δ _s P _s v s

ds − t ^1−α

1 − α 1/2

σ ² I _∞,1 = ⇒ ν _∞ . Par ailleurs, notons que

t ^1−α 1 − α

^−1/2

Z t 1

s ^−α P _s v s

δ ˜ _s P _s v s

ds − I _∞,1 Z t

1

δ ˜ _s ds I _∞,1

≤ t ^{−(1−α)/2}

k J ˜ t,1 k + k J ˜ t,2 k + k J ˜ t,3 k

, (54)

o` u les processus ( ˜ J t,i ), i ∈ {1, 2, 3}, sont d´ efinis par la relation (44). De la relation (45), on obtient t ^{−(1−α)/2} k J ˜ t,1 k = o

t ^2α

^−5α/2+1/2

p.s., (t −→ ∞).

De la relation (46), on obtient

t ^{−(1−α)/2} k J ˜ t,2 k = t ^{−(1−α)/2} k J ˜ t,3 k = o

t ^α

^−3α/2+1/2

p.s., (t −→ ∞).

Vu que α ⁰ < (3α − 1)/2, on a

t ^{−(1−α)/2} k J ˜ _t,1 k = o (1) p.s., (t −→ ∞) et

t ^{−(1−α)/2} k J ˜ t,2 k = t ^{−(1−α)/2} k J ˜ t,3 k = o (1) p.s., (t −→ ∞).

Par cons´ equent, en tenant compte de la relation (54), on obtient quand t tend vers l’infini, t ^1−α

1 − α ^−1/2

Z t 1

s ^−α P s

v _s

˜ δ s

P s

v _s ds − I _∞,1 Z t

1

˜ δ s ds I _∞,1

−→ 0 p.s. (55) Par suite, on en d´ eduit

t ^1−α 1 − α

^1/2 1 − α t ^1−α

Z t 1

˜ δ _s ds − σ ² I _∞,1 ⁻¹

= ⇒ ν _∞ ,

o` u conditionnellement ` a σ ² I _∞,1 , ν _∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee ind´ ependante de I _∞,1 et de covariance

C = σ ⁴ I _∞,1 ⁻²

2I _∞,1 ⊗ I _∞,1 + 2[(Vect(I _∞,1 ))(Vect(I _∞,1 )) ^∗ ] ^⊥ I _∞,1 ⁻² . Le r´ esultat d´ ecoule de la convergence (52), ce qui ach` eve la preuve du th´ eor` eme 2.1.2.

3.2 Preuves des r´ esultats relatifs au cas instable

Dans la suite, on introduit la martingale vectorielle continue M d´ efinie par M t = σ

Z t 0

X s dW s . (56)

Sa variation quadratique est donn´ ee par

hM i t = σ ² Z t

0

X s X _s ^∗ ds, dont le comportement asymptotique est donn´ e par (voir relation (14))

e ^−B

^t hM i t e ^−B

^t −→ σ ² I _∞,2 p.s., (t −→ ∞).

D’apr` es (2) et (3), on obtient la relation-cl suivante :

M t = σ ⁻² hM i t (ˆ θ t − θ). (57)

Lemme 3.4 La martingale vectorielle continue M d´ efinie par (56) v´ erifie les propri´ et´ es asymptotiques suivantes :

1. Th´ eor` eme de la limite centrale (TLC) e ^−B

^t M t = ⇒ σI _∞,2 ^1/2 G,

o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,2 .

2. Th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure (TLCPS) 1

t Z t

0

ds δ _{e

M

} = ⇒ µ _∞ p.s.,

o` u µ <sub>∞</sub> est la loi de la variable al´ eatoire σI <sub>∞,2</sub> <sup>1/2</sup> G o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,2 .

3. La loi forte quadratique (LFQ) 1

t Z t

0

e ^−B

^s M s M _s ^∗ e ^−B

^s ds −→ σ ² I ∞,2 p.s., (t −→ ∞).

4. Th´ eor` eme de la limite centrale logarithmique (TLCL) t ^−1/2

Z t 0

{B θ D ˜ s + ˜ D s B ^∗ _θ }ds = ⇒ ν ∞ ,

o` u D ˜ _s = e ^−B

^s (M _s M _s ^∗ − hM i s )e ^−B

^s , et conditionnellement ` a I _∞,2 , ν _∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee, ind´ ependante de la variable al´ eatoire I _∞,2 et de covariance

C = σ ⁴ (2tr(B θ )) ⁻¹ {2I _∞,2 ⊗ I _∞,2 + 2[(Vect(I _∞,2 ))(Vect(I _∞,2 )) ^∗ ] ^⊥ }.

Preuve du lemme 3.4

1. La variation quadratique pr´ evisible de la martingale M v´ erifie

e ^−B

^t hM i t e ^−B

^t −→ σ ² I ∞,2 p.s., (t −→ ∞), et le TLC appliqu´ e ` a la martingale continue M implique

e ^−B

^t M t = ⇒ σI _∞,2 ^1/2 G,

o` u G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I <sub>∞,2</sub> , d’o` u la premi` ere assertion du lemme 3.4.

2. Le th´ eor` eme de la limite centrale presque-sˆ ure (voir th´ eor` eme 2.1.1 dans [9]), appliqu´ e au couple (M, V ) o` u M est la martingale continue donn´ ee par (56) et normalis´ ee par V t = e ^B

^t , implique

1 t

Z t 0

ds δ _{V

s

M

} = ⇒ µ _∞ p.s.,

o` u µ _∞ est la loi de la variable al´ eatoire σI _∞,2 ^1/2 G et G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,2 . La seconde assertion du lemme 3.4 est ´ etablie.

3. La LFQ (voir th´ eor` eme 2.1.1 dans [9]), appliqu´ ee ` a la martingale continue M normalis´ ee par le processus V t = e ^B

^t , donne

1 t

Z t 1

e ^−B

^s M s M _s ^∗ e ^−B

^s −→ σ ² I _∞,2 p.s., (t −→ ∞), d’o` u la troisi` eme assertion du lemme 3.4.

4. En appliquant le TLC de la LFQ (voir th´ eor` eme 2.1.1 dans [9]) au couple (M, V ), o` u M est la martingale continue donn´ ee par (56) et normalis´ ee par V t = e ^B

^t , on obtient

t ^−1/2 Z t

0

{B θ D ˜ s + ˜ D s B _θ ^∗ }ds = ⇒ ν ∞ (t −→ ∞), (58) o` u ˜ D s = e ^−B

^s (M s M _s ^∗ − hM i s )e ^−B

^s , et conditionnellement ` a I _∞,2 , ν _∞ est une loi gaussienne matricielle centr´ ee, ind´ ependante de la variable al´ eatoire I _∞,2 et de covariance

C = σ ⁴ (2tr(B _θ )) ⁻¹ {2I ∞,2 ⊗ I _∞,2 + 2[(Vect(I _∞,2 ))(Vect(I _∞,2 )) ^∗ ] ^⊥ }.

Cela ach` eve la preuve du lemme 3.4.

Preuve du th´ eor` eme 2.2.1

1. Vu la relation (57), ` a savoir

M t = σ ⁻² hM i t (ˆ θ t − θ), on a

e ^−B

^t M t = I t,2 e ^B

^t (ˆ θ t − θ)

= (I t,2 − I ∞,2 )e ^B

^t (ˆ θ t − θ) + I ∞,2 e ^B

^t (ˆ θ t − θ). (59) En ´ ecrivant

k(I t,2 − I _∞,2 )e ^B

^t (ˆ θ _t − θ)k ≤ kI t,2 − I _∞,2 kke ^B

^t kk θ ˆ _t − θk, et en tenant compte de la propri´ et´ e (5), ` a savoir

k θ ˆ t − θk = O √

t e ^−mt

p.s., et du fait que

ke ^B

^t k ∼ e

, (t −→ ∞), (60) il vient, de l’hypoth` ese (H 2 ),

k(I _t,2 − I _∞,2 )e ^B

^t (ˆ θ _t − θ)k = o(t

^−β )

= o(1) p.s., (t −→ ∞), car β > 1/2. (61) La premi` ere assertion du th´ eor` eme 2.2.1 d´ ecoule de la premi` ere assertion du lemme 3.4 et des deux relations (59) et (61).

2. Soit ϕ une fonction lipschitzienne continue born´ ee. Posons G _t = t ⁻¹

Z t 0

ϕ(I _s,2 e ^B

^s (ˆ θ _s − θ))ds − t ⁻¹ Z t

0

ϕ(I _∞,2 e ^B

^s (ˆ θ _s − θ))ds.

Alors on a

kG _t k ≤ C ^te t ⁻¹ Z t

0

kI _s,2 − I _∞,2 k ke ^B

^s kk θ ˆ _s − θkds.

En tenant compte de l’hypoth` ese (H 2 ) et de la propri´ et´ e (5), on en d´ eduit

kG t k = o(t

^−β ) = o(1) p.s., (t −→ ∞), car β > 1/2. (62) D’apr` es la deuxi` eme assertion du lemme 3.4 et la relation (57), on obtient

t ⁻¹ Z t

0

ds δ _{I

s,2

e

( ˆ θ

−θ)} = ⇒ µ _∞ p.s., (63) o` u µ ∞ est la loi de la variable al´ eatoire σI _∞,2 ^1/2 G et G est un vecteur gaussien standard, ind´ ependant de la v.a. I _∞,2 .

Grˆ ace aux propri´ et´ es (62) et (63), la seconde assertion du th´ eor` eme 2.2.1 est ´ etablie.

3. Vu que

e ^−B

^t M _t = I _t,2 e ^B

^t (ˆ θ _t − θ) (64) et d’apr` es la troisi` eme assertion du lemme 3.4, on a

t ⁻¹ Z t

0

e ^−B

^s M s M _s ^∗ e ^−B

^s ds −→ σ ² I ∞,2 p.s., (t −→ ∞).