Identification d'un processus autorégressif gaussien stable par la méthode de moyennisation logarithmique

(1)

HAL Id: hal-00079076

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Identification d’un processus autorégressif gaussien stable par la méthode de moyennisation logarithmique

Faouzi Chaabane, Hamdi Fathallah

To cite this version:

Faouzi Chaabane, Hamdi Fathallah. Identification d’un processus autorégressif gaussien stable par la

méthode de moyennisation logarithmique. 2006. �hal-00079076v2�

(2)

ccsd-00079076, version 2 - 20 Jun 2006

Identification d’un processus autor´ egressif gaussien stable par la m´ ethode de moyennisation logarithmique

dans le cas r´ eel

Faouzi Chaabane

^∗

et Hamdi Fathallah

^†

juin 2006

R´esum´e

Dans ce travail, on considère un modèle autorégressif gaussien stable ` a temps continu unidimentionnel et on lui applique les théorèmes limites par moyennisation logarithmique obtenus pour des martingales locales continues

`

a temps continu. On construit alors un estimateur de la covariance du bruit

σ²

et un autre estimateur de

θ

autre que celui des moindres carrés. En ex- ploitant la méthode de pondération, on améliore les vitesses de convergence de ces nouveaux estimateurs.

Identification of a stable gaussian autoregression process by logarithmic averaging method in the real case

Abstract

In the present work, we consider a stable one-dimensional gaussian autore- gressive model in continous time. Using the limit theorems with logarithmic averaging obtained for continous local martingales, we construct then an estimator of the noise covariance

σ²

and an estimator of

θ

different of the one of the least squares estimator. By exploiting the weighting method we ameliorate the convergence rates of these new estimators.

Keywords

: Martingale ; Weight ; Almost-sure central limit theorem ; Logarithmic central limit theorem ; law of iterated logarithm.

∗Equipe d’Analyse Stochastique et Mod´elisation Statistique, Facult´e des Sciences de Bizerte, 7021 Jarzouna (Tunisie). Tel :+21672590613 ; Fax :+21672590566, E-mail address :faouzi.chaabane@fsb.rnu.tn.

†Laboratoire LMV, Universit´e de Versailles Saint-Quentin-En-Yvelines, 45 Avenue des Etats- Unis Batiment Ferma 78035 Versailles (France). Tel :+33139253629 ; Fax :+33139254645, E-mail address :hamdi.fathallah@math.uvsq.fr

(3)

1 Introduction

Le but de ce travail est d’estimer les paramètres d’un modèle autorégressif gaussien stable à temps continu unidimentionnel. Etant donné un mouvement brown- ien standard réel B = (B

t

, t ≥ 0). On d´efinit le processus autor´egressif X = (X

t

, t ≥ 0) avec X

₀

= 0 par la relation :

X

t

= θ Z

t

0

X

s

ds + σB

t

; t ≥ 0, (1)

avec θ ≤ 0 et σ un param`etre r´eel.

On d´esigne par ˜ θ

t

l’estimateur des moindres carrés pondéré de θ défini par θ ˜

t

= P

_t⁻¹

Z

t 0

ω

s

X

s

dX

s

, t ≥ 0, (2)

correspondant au poids (ω

s

) donn´e par ω

s

= s

⁻^α²

exp { s

¹⁻^α

2(1 − α) } ; 1

2 < α < 1, (3)

avec P

t

= Z

t

0

ω

s

X

_s²

ds et par ¯ θ

t

=

¹_t

Z

t

0

θ ˜

s

ds son moyennis´e.

On remarque que pour ω

s

= 1 on obtient l’estimateur des moindres carr´es θ b

t

de θ d´efini par

θ b

t

= (ζ

t

)

⁻¹

Z

t

0

X

s

dX

s

, t ≥ 0, avec ζ

t

= Z

t

0

X

_s²

ds. (4) Dans [3], dans le cas multidimentionnel, Darwich montre que cet estimateur vérifie la loi du logarithme itéré (LLI). De fa¸con précise, on a

| θ b

t

− θ | = O

( log log t t )

¹²

p.s..

Ce résultat, dans le cas unidimentionnel, découle de la LLI pour les martingales réelles continues (voir [6]). Les théorèmes limites par moyennisation logarithmique permettent entre autre de montrer des résultats aussi bien pour l’estimateur des moindres carrés que l’estimateur pondéré de type

∗ Th´eor`eme de la limite centrale presque-sˆ ure

TLCPS : 1

log t Z

t

0

ds

s δ

_{^√_s(_θ_b_s₋_θ)_}

= ⇒ N (0, 2θ) p.s..

Avec (= ⇒ ) d´enote la convergence en loi.

La convergence en moyenne d’ordre deux associ´ee au TLCPS permet d’une part de construire un estimateur de σ et d’autre part de donner un autre estimateur de θ

∗ σ ˆ

_t²

= 1 log t

Z

t 0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

X

_s²

ds −→ σ

²

p.s., (t −→ ∞ ).

(4)

∗ θ ˇ

t

= 1 2 log t

Z

t 0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

ds −→ θ p.s., (t −→ ∞ ).

On donnera par la suite les vitesses de convergence en loi et presque sˆ ure de l’estimateur ˇ θ

_t

de θ. La méthode de pondération nous permettera d’améliorer les vitesses de convergence de ces estimateurs. les principaux résultats seront énoncés au paragraphe 2 et leurs preuves seront données au paragraphe 4. Le paragraphe 3 sera consacré à la donnée de quelques outils de démonstration.

2 Enonc´ e des principaux r´ esultats

2.1 Cas sans pond´ eration (ω

^s

= 1)

Th´ eor` eme 2.1 Soit X = (X

t

, t ≥ 0) le régresseur stochastique défini par (1). Alors on a les résultats suivants

1. Th´eor`eme de la limite centrale presque-sˆ ure

TLCPS : 1

log t Z

t

0

ds

s δ

_{^√_s(b_θ_s₋_θ)_}

= ⇒ N (0, 2θ) p.s..

2. La loi forte quadratique

i) 1

log t Z

t

0

ζ

_s²

( θ b

s

− θ)

²

ds

s

²

−→ σ

⁴

2θ p.s., (t −→ ∞ ).

ii) σ ˆ

_t²

= 1 log t

Z

t 0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

X

_s²

ds −→ σ

²

p.s., (t −→ ∞ ).

iii) Si de plus on suppose que les observations (X

t

, t ≥ 0) v´erifient l’hypoth`ese suivante

(H1) 1 t

Z

t 0

X

_s²

ds = σ

²

2θ + o

(log log t)

⁻¹

p.s., (5)

on obtient

θ ˇ

_t

= 1 2 log t

Z

t 0

( θ b

_s

− θ ¯

_t

)

²

ds −→ θ p.s., (t −→ ∞ ).

Th´ eor` eme 2.2 On se place dans le cadre du théorème 2.1 et en renfor¸cant l’hy- pothèse (H1) de la manière suivante

(H2) 1 t

Z

t 0

X

_s²

ds = σ

²

2θ + o

(log log t)

⁻¹

(log t)

⁻¹²

p.s., (6)

on obtient

1. Th´eor`eme de la limite centrale logarithmique TLCL : √

log t 1

2 log t Z

t

0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

ds − θ

= ⇒ N (0, (2θ)

²

).

(5)

2. La loi du logarithme it´er´e logarithmique LLIL : lim sup

t→∞

log t

√ log log log t

1 2 log t

Z

t 0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

ds − θ

= 2θ √

2 p.s..

2.2 Cas avec pond´ eration

Th´ eor` eme 2.3 Soit X = (X

t

, t ≥ 0) le processus autorégressif gaussien à temps continu défini par la relation (1). Alors l’estimateur de moindre carré pondéré θ ˜

t

de θ donn´e par la relation (2) ainsi son moyennis´e θ ¯

t

convergent au sens presque-sˆ ur.

De fa¸con pr´ecise, pour 1

2 < α < 1, on a

| θ ˜

t

− θ | = O ( log t

t

^α

)

¹²

p.s..

Si de plus on suppose que 2α − 1 ≤ α

^′

<

³₂

α −

¹₂

, on a

| θ ¯

t

− θ | = O

( log log t t )

¹²

p.s..

Th´ eor` eme 2.4 Sous les hypothèses du théorème 2.3, on a les résultats suivants 1. Théorème de la limite centrale presque-sˆ ure

TLCPS : 1 − α t

¹⁻^α

Z

t 0

ds s

^α

δ

{s

α

2(˜θ^s−θ)}

= ⇒ N (0, 2θ) p.s..

2. La loi forte quadratique i) 1 − α

t

¹⁻^α

Z

t

0

P

_s²

U

_s²

(˜ θ

s

− θ)

²

ds −→ σ

⁴

2θ p.s., (t −→ ∞ ).

ii) σ ˜

_t²

= 4(1 − α) t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

X

_s²

ds −→ σ

²

p.s., (t −→ ∞ ).

iii) Si de plus on suppose que les observations (X

t

, t ≥ 0) v´erifient l’hypoth`ese suivante

(H3) 1

t Z

t

0

X

_s²

ds − σ

²

2θ = o(t

^α^′⁻¹

) p.s., (t −→ ∞ ), avec 1

2 ≤ α

^′

< α, on d´egage un estimateur fortement consistant de θ `a savoir

θ ˘

t

= 1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

ds −→ θ p.s., (t −→ ∞ ).

Th´ eor` eme 2.5 Soit X = (X

t

, t ≥ 0) le processus autorégressif gaussien à temps continu satisfisant l’équation (1). Supposons que les observations (X

t

, t ≥ 0) v´erifient l’hypoth`ese suivante

(H4) 1

t Z

t

0

X

_s²

ds − σ

²

2θ = o(t

^α^′⁻¹

) p.s., (t −→ ∞ ), pour 1

2 ≤ α

^′

< 3α − 2.

Alors, on obtient

(6)

1. Th´eor`eme de la limite centrale logarithmique TLCL : t

¹⁻²^α

1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

ds − θ

= ⇒ N (0, 4θ

²

(1 − α)).

2. La loi du logarithme it´er´e logarithmique LLIL : lim sup

t→∞

t

¹⁻^α

p log log t

¹⁻^α

1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

ds − θ = p

2(1 − α)2θ p.s..

3 Les outils des d´ emonstrations

Au d´ebut de ce paragraphe, on introduit ˜ M = ( ˜ M

t

, t ≥ 0) la martingale locale r´eelle continue d´efinie par

M ˜

t

= Z

t

0

ω

s

X

s

dB

s

, t ≥ 0,

dont le processus croissant pr´evisible h M ˜ i = ( h M ˜ i

^t

, t ≥ 0) est donn´e par h M ˜ i

^t

=

Z

t 0

ω

_s²

X

_s²

ds. (7)

D’une part, d’apr`es (1) et (2), on a

M ˜

_t

= σ

⁻¹

P

_t

(˜ θ

_t

− θ); t ≥ 0. (8) D’autre part, on a d’apr`es les relations (1) et (4)

M

t

= σ

⁻¹

ζ

t

( θ b

t

− θ); t ≥ 0, (9) o` u M = (M

t

, t ≥ 0) est la martingale locale r´eelle continue d´efinie par

M

t

= Z

t

0

X

s

dB

s

, t ≥ 0,

dont le processus croissant pr´evisible h M i = ( h M i

t

, t ≥ 0) n’est autre que le processus ζ = (ζ

t

, t ≥ 0) introduit dans la relation (4).

Afin de simplifier les preuves des principaux r´esultats, on ´etudiera les comporte- ments asymptotiques des processus ( h M i

t

, t ≥ 0), ( h M ˜ i

t

, t ≥ 0) et (P

t

, t ≥ 0). On donnera ensuite quelque propriétés de la pondération (ω

t

).

Le lemme suivant (voir [4]) donne Le comportement de la variation quadratique pr´evisible de la martingale M.

Lemme 3.1 Soit le processus (X

t

, t ≥ 0) d´efini par (1). Alors 1

t Z

t

0

X

_s²

ds −→ σ

²

2θ p.s., (t −→ ∞ ). (10)

(7)

Pour (ω

t

), le poids d´efini par (3), on introduit les deux processus suivants V

t

= Z

^t

0

ω

_s²

ds

¹₂

et U

t

= Z

t

0

ω

s

ds, t ≥ 0.

On a alors les lemmes suivants

Lemme 3.2 Le poids (ω

t

) satisfait les propri´et´ees suivantes : P

₁

) t

⁻^α

ω

_t⁻¹

U

_t

= 2 + o(t

^α⁻¹

), (t −→ ∞ ).

P

2

) t

⁻^α

ω

_t⁻²

V

_t²

= 1 + o(t

^α⁻¹

), (t −→ ∞ ).

P

₃

) t

¹⁻^α

1 − α − log V

_t²

= o(log t), (t −→ ∞ ).

P

₄

) Z

t

0

V

_s²

U

_s²

ds − 1

1 − α t

¹⁻^α

= o(log t), (t −→ ∞ ).

Lemme 3.3 On suppose que les observations (X

s

, s ≥ 0) vérifient l’hypothèse (H3) du théorème 2.4 suivante

1 t

Z

t 0

X

_s²

ds − σ

²

2θ = o(t

^α^′⁻¹

) p.s., (t −→ ∞ ) pour 1

2 ≤ α

^′

< α.

Alors, on a i) h M ˜ i

^t

V

t

− σ

²

2θ = o(t

^α^′⁻^α

) p.s., (t −→ ∞ ).

ii) P

t

U

t

− σ

²

2θ = o(t

^α^′⁻^α

) p.s., (t −→ ∞ ).

La preuve de ces deux lemmes est donn´ee dans l’annexe.

4 D´ emonstration des principaux r´ esultats

Preuve du th´ eor` eme 2.1

1. En appliquant le th´eor`eme de la limite centrale presque-sˆ ure pour le couple (M, V ) avec V

_t²

= t (voir th´eor`eme 1 dans [2]), on obtient

(log t)

⁻¹

Z

t

0

ds s δ

_{^Ms_√

s}

= ⇒ N (0, σ

²

2θ ) p.s..

Vu les deux relations (9) et (10) on a M

s

√ s ∼ σ 2θ

√ s( θ b

_s

− θ) p.s., (s −→ ∞ ). (11) Soit

∆

t

= Z

t

0

ϕ( M

s

√ s ) ds s −

Z

t 0

ϕ( σ 2θ

√ s( θ b

s

− θ)) ds

s ,

(8)

o` u ϕ est une fonction lipschitzienne continue.

Grâce à l’équivalence (11), on a

(log t)

⁻¹

| ∆

t

| −→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

Par cons´equent

(log t)

⁻¹

Z

t

0

ds s δ

_{^σ

2θ

√s(θbs−θ)}

= ⇒ N (0, σ

²

2θ ).

Le r´esultat en d´ecoule.

2. i) D’apr`es la relation (9), on a

M

_s²

= σ

⁻²

h M i

²s

( θ b

s

− θ)

²

. (12) La loi forte quadratique une (LFQ1) appliquée à la martingale M normalisée par le processus (V

t

= √

t, t ≥ 0) (voir th´eor`eme 3 dans [2]) donne (log t)

⁻¹

Z

t 0

M

_s²

s

ds

s −→ σ

²

2θ p.s.. (13)

Compte tenu de la relation (12), on voit que (log t)

⁻¹

Z

t

0

h M i

²s

( θ b

s

− θ)

²

ds

s

²

−→ σ

⁴

2θ p.s.. (14)

Ainsi le r´esultat est ´etabli.

ii) En appliquant la loi forte quadratique deux (LFQ2) au couple (M, V ) (voir th´eor`eme 3 dans [2]), on obtient

(log t)

⁻¹

Z

t

0

M

_s²

h M i

²s

d h M i

^s

−→ 1 p.s., (t −→ ∞ ).

Grˆace `a la relation (9), on a (log t)

⁻¹

Z

t 0

( θ b

s

− θ)

²

X

_s²

ds −→ σ

²

p.s., (t −→ ∞ ). (15) D’une part, dans [3], Darwich a montr´e que

| θ b

t

− θ | = O

( log log t t )

¹²

p.s.. (16)

D’autre part, vu que

θ ¯

t

− θ = 1 t

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ) ds, (17)

(9)

et en tenant compte de la relation (16), on obtient

| θ ¯

t

− θ | = O

( log log t t )

¹²

p.s.. (18)

On remarque que

(log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ)

²

X

_s²

ds − (log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

X

_s²

ds ≤ (log t)

⁻²

(¯ θ

t

− θ)

Z

t 0

( θ b

s

− θ ¯

t

)X

_s²

ds

| {z }

(C^t)

+ (log t)

⁻¹

(¯ θ

t

− θ)

²

Z

t

0

X

_s²

ds

| {z }

(D^t)

.

En utilisant les relations (10) et (18), on obtient

C

t

−→ 0 p.s. et D

t

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

Ce qui implique que

(log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ)

²

X

_s²

ds − (log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

X

_s²

ds

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

(19) Le r´esultat d´ecoule des convergences (15) et (19).

iii) La propriété (14) s’écrit (log t)

⁻¹

Z

t 0

( θ b

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds+ σ

⁴

4θ

²

Z

t 0

( θ b

s

− θ)

²

ds

−→ σ

⁴

2θ p.s., (t −→ ∞ ).

Grˆace `a la relation (16), on obtient (log t)

⁻¹

Z

t t₀

( θ b

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds = (log t)

⁻¹

Z

t

t₀

O log log s s

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds.

Vu l’hypoth`ese (H1), on a (log t)

⁻¹

Z

t 0

( b θ

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds −→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

Par cons´equent

(log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ)

²

ds −→ 2θ p.s., (t −→ ∞ ). (20) Par ailleurs, on voit que

(log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ)

²

ds − (log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

ds ≤

t(log t)

⁻¹

(¯ θ

_t

− θ)

²

| {z }

(G^t)

+ 2(log t)

⁻¹

(θ − θ ¯

_t

) Z

t

0

( θ b

_s

− θ ¯

_t

)ds

| {z }

(H^t)

.

(10)

D’apr`es la relation (18), on obtient

G

t

−→ 0 p.s. et H

t

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

Par cons´equent

(log t)

⁻¹

Z

t

0

( b θ

s

− θ)

²

ds − (log t)

⁻¹

Z

t

0

( θ b

s

− θ ¯

t

)

²

ds

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

(21) Alors, d’apr`es les convergences (20) et (21), on conclut le r´esultat.

Preuve du th´ eor` eme 2.2

1. Grâce à l’hypothèse (H2), on a h M i

^t

t = σ

²

2θ + o

(log t)

⁻²

p.s..

Alors en appliquant le théorème de la limite centrale logarithmique au couple (M, V ) (voir théorème 5 dans [2]) pour V

_t²

= t et f(x) = x

²

− 1, on obtient

(log t)

⁻¹²

Z

t

1

M

_s²

s − σ

²

2θ ds

s = ⇒ N (0, σ

⁴

θ

²

).

Par suite

(log t)

⁻¹²

Z

t

1

M

_s²

s

²

ds − σ

²

2θ (log t)

¹²

= ⇒ N (0, σ

⁴

θ

²

).

Ainsi vu la relation (9), il vient que (log t)

⁻¹²

Z

t 1

M

_s²

s

²

ds = σ

⁻²

(log t)

⁻¹²

Z

t

1

h M i

²s

s

²

( θ b

s

− θ)

²

ds.

D´esormais, on pose

I

t

= Z

t

1

h M i

²s

s

²

( θ b

s

− θ)

²

ds.

Donc

(log t)

⁻¹²

I

t

= Z

t

1

( b θ

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds + σ

⁴

4θ

²

Z

t 1

( θ b

s

− θ)

²

ds. (22) D’apr`es la relation (16), on a

(log t)

⁻¹²

Z

t

1

( θ b

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds = (log t)

⁻¹²

Z

t

1

O log log s s

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds p.s..(23)

(11)

L’hypoth`ese (H2), implique que h M i

²t

t

²

− σ

⁴

4θ

²

= o

(log log t)

⁻¹

(log t)

⁻¹²

p.s..

Sous cette derni`ere hypoth`ese, on voit que (log t)

⁻¹²

Z

t 1

( θ b

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds −→ 0, (t −→ ∞ ).

Par suite σ

²

2θ (log t)

⁻¹²

Z

t

1

( θ b

s

− θ)

²

ds − σ

²

2θ (log t)

¹²

= ⇒ N (0, σ

⁴

θ

²

).

Ce qui signifie que (log t)

¹²

h

(2 log t)

⁻¹

Z

t

1

( θ b

s

− θ)

²

ds − θ i

= ⇒ N (0, (2θ)

²

).

Ainsi le résultat est établi grâce à la convergence (21).

2. En appliquant la loi du logarithme itéré logarithmique au couple (M, V ) (voir théorème 5 dans [2]), on obtient

lim sup

t→∞

(2 log t log log log t)

⁻¹²

Z

t 1

( M

_s²

s − σ

²

2θ ) ds s

= σ

²

θ p.s..

Grˆace `a la relation (9), on a Z

t

1

M

_s²

s

ds

s = σ

⁻²

Z

t

1

h M i

²s

s

²

( b θ

_s

− θ)

²

ds = σ

⁻²

I

_t

. Vu les deux relations (22) et (23), il vient que

(2 log t log log log t)

⁻¹²

Z

t

1

( θ b

s

− θ)

²

h M i

²s

s

²

− σ

⁴

4θ

²

ds −→ 0, (t −→ ∞ ).

Ce qui implique lim sup

t→∞

(2 log t log log log t)

⁻¹²

log t 1

2 log t Z

t

1

θ b

_s

− θ)

²

ds − θ

= 2θ p.s..

Ainsi compte tenu de la convergence (21), on d´eduit le r´esultat.

(12)

Preuve du th´ eor` eme 2.3

D’après la loi du logarithme itéré appliquée à la martingale continue ˜ M (voir [6]), on a

V

_t⁻¹

M ˜

t

= O

(log log V

t

)

¹²

p.s.. (24)

Vu la relation (8), la propri´et´e (P

3

) du lemme 3.2 et la propri´et´e ii) du lemme 3.3, on conclut que

| θ ˜

t

− θ | = O ( log t

t

^α

)

¹²

p.s.. (25)

D’o` u la première assertion du théorème.

Par ailleurs grˆace aux relations (8) et (17), on obtient t

¹²

(¯ θ

t

− θ) = σt

⁻¹²

Z

t 0

M ˜

s

P

s

ds.

La propri´et´e (P

4

) implique que V

s

U

s

= s

⁻^α²

+ o(s

^α²⁻¹

)) p.s..

D’apr`es ii) du lemme 3.3, on a U

s

P

s

= 2θ

σ

²

+ o(s

^α^′⁻^α

) p.s..

Par cons´equent vu que α

^′

−

³₂

α > α

^′

−

^α₂

− 1 et α

^′

> 2α − 1, on obtient t

¹²

(¯ θ

t

− θ) = 2θ

σ t

⁻¹²

Z

t

0

s

⁻^α²

M ˜

s

V

_s

ds + t

⁻¹²

Z

t

0

o(s

^α^′⁻³²^α

) M ˜

s

V

_s

ds.

Posons Z

s

= M ˜

s

V

s

. D’apr`es la relation (24), on montre que

Z

s

= O ((log s)

¹²

) p.s.. (26)

On d´eduit que

t

¹²

(¯ θ

t

− θ) = 2θ σ t

⁻¹²

Z

t 0

s

⁻^α²

M ˜

s

V

s

ds + O

t

^α^′⁻³²^α+¹²

(log t)

¹²

p.s.. (27)

Comme dV

s

V

_s

∼ s

⁻^α

2 ds, (s −→ ∞ ). Alors 1

2 Z

t

0

s

⁻^α²

Z

_s

ds = − Z

t

0

s

^α²

dZ

_s

| {z }

(K^t)

+ Z

t

0

s

^α²

V

s

d M ˜

_s

| {z }

(L^t)

. (28)

(13)

D’une part

K

t

= t

^α²

Z

t

− α 2

Z

t 0

s

^α²⁻¹

Z

s

ds.

Grˆace `a la relation (26), il vient que K

t

= O

(t

^α

log t)

¹²

p.s.. (29)

D’autre part, on a

h L i

t

= t

^α

h M ˜ i

^t

V

_t²

− α

Z

t 0

s

^α⁻¹

h M ˜ i

^s

V

_s²

ds − 2 Z

t

0

s

^α

h M ˜ i

^s

V

_s²

dV

s

V

s

. L’assertion i) du lemme 3.3 implique que

h L i

^t

= O (t) p.s..

Encore une fois, la LLI appliqu´ee `a la martingale continue ˜ M montre que L

t

= O

(t log log t)

¹²

p.s.. (30)

En ins´erant (29) et (30) dans (28), on obtient Z

t

0

s

⁻^α²

Z

s

ds = O

(t log log t)

¹²

+ O

(t

^α

log t)

¹²

p.s.. (31)

En combinant (27) et (31), la deuxième assertion du théoèreme est établie.

Preuve du th´ eor` eme 2.4

1. En appliquant le th´eor`eme de la limite centrale presque-sˆ ure pour le couple ( ˜ M , V ) avec V

_t²

=

Z

t 0

ω

_s²

ds, on obtient

(log V

_t²

)

⁻¹

Z

1

0

δ

_{_V_s⁻¹M˜s}

d(log V

_s²

) = ⇒ N (0, σ

²

2θ ) p.s..

D’après la propriété (P

3

) du lemme 3.2, on a 1 − α

t

¹⁻^α

Z

1

0

δ

_{_V−1 s M˜s}

ds

s

^α

= ⇒ N (0, σ

²

2θ ) p.s..

Grˆace `a la relation (8), on obtient 1 − α

t

¹⁻^α

Z

t

0

ds s

^α

δ

{₂^σθs

α

2(˜θs−θ)}

= ⇒ N (0, σ

²

2θ ) p.s..

Le r´esultat en d´ecoule.

(14)

2. i) D’après la LFQ1 appliquée à la martingale ˜ M normalisée par le processus V

_t²

=

Z

t 0

ω

_s²

ds, on a

(log V

_t²

)

⁻¹

Z

t

0

M ˜

_s²

V

_s²

dV

_s²

V

_s²

−→ σ

²

2θ p.s., (t −→ ∞ ).

Vu la relation (8), on a

M ˜

_t²

= σ

⁻²

P

_t²

(˜ θ

t

− θ)

²

. (32) Compte tenu de cette relation et de la propri´et´e (P

3

) du lemme 3.2, on voit imm´ediatement que

1 − α t

¹⁻^α

Z

t 0

P

_s²

U

_s²

(˜ θ

s

− θ)

²

ds −→ σ

⁴

2θ p.s., (t −→ ∞ ). (33) ii) En appliquant la LFQ2 au couple ( ˜ M , V ), on obtient

(log h M ˜ i

^t

)

⁻¹

Z

t

0

M ˜

_s²

h M ˜ i

²s

d h M ˜ i

^s

−→ 1 p.s., (t −→ ∞ ).

Compte tenu de la propri´et´e (P

3

) du lemme 3.2 et de la propri´et´e i) du lemme 3.3, on a

1 − α t

¹⁻^α

Z

t 0

M ˜

_s²

h M ˜ i

²s

d h M ˜ i

s

−→ 1 p.s., (t −→ ∞ ).

Vu les relations (7) et (8), on obtient σ

²

(1 − α)

t

¹⁻^α

Z

t

0

P

_s²

h M ˜ i

²s

(˜ θ

s

− θ)

²

ω

_s²

X

_s²

ds −→ 1 p.s., (t −→ ∞ ).

Grâce à la propriété (P

₂

) du lemme 3.2, on a 4(1 − α)

t

¹⁻^α

Z

t

0

(˜ θ

s

− θ)

²

X

_s²

ds −→ σ

²

p.s., (t −→ ∞ ). (34) Notons que

4(1 − α) t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ)

²

X

_s²

ds − 4(1 − α) t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

X

_s²

ds ≤ 8(1 − α)

t

¹⁻^α

(¯ θ

t

− θ) Z

t

0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)X

_s²

ds

| {z }

(E^t)

+ 4(1 − α)

t

¹⁻^α

(¯ θ

t

− θ)

²

Z

t

0

X

_s²

ds

| {z }

(F^t)

.

D’après le théorème 2.3 et la relation (10), on obtient

E

t

−→ 0 p.s. et F

t

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ). (35)

(15)

Grâce à la convergence (34), le résultat est établi.

iii) Posons

I ˜

t

= 1 − α t

¹⁻^α

Z

t 0

P

_s²

U

_s²

(˜ θ

s

− θ)

²

ds.

Soit I ˜

t

= ˜ I

_t¹

+ ˜ I

_t²

avec

I ˜

_t¹

= 1 − α t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ)

²

( P

_s²

U

_s²

− σ

⁴

4θ

²

)ds et I ˜

_t²

= σ

⁴

(1 − α)

4θ

²

t

¹⁻^α

Z

t

0

(˜ θ

_s

− θ)

²

ds.

Vu l’hypoth`ese (H3), la relation ii) du lemme 3.3 implique que Z

^t

0

ω

s

ds

₋2

Z

^t

0

ω

s

X

_s²

ds

2

− σ

⁴

4θ

²

= o

t

^2(α⁻¹⁾

(log t)

⁻¹

p.s.. (36) D’après le théorème 2.3 et la relation (36), il vient que

I ˜

_t

− I ˜

_t²

−→ 0, (t −→ ∞ ).

Grâce à la propriété (33), on obtient 1 − α

2t

¹⁻^α

Z

t

0

(˜ θ

s

− θ)

²

ds −→ θ p.s., (t −→ ∞ ). (37) Par ailleurs, pour 1

2 < α < 1, on voit que

1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ)

²

ds − 1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

ds ≤ 1 − α

t

¹⁻^α

(¯ θ

t

− θ) Z

t

0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)ds

| {z }

(Q^t)

+ 1 − α

2t

⁻^α

(¯ θ

t

− θ)

²

| {z }

(S^t)

.

Le th´eor`eme 2.3 implique que

Q

t

−→ 0 p.s. et S

t

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ).

Par cons´equent

1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ)

²

ds − 1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ ¯

t

)

²

ds

−→ 0 p.s., (t −→ ∞ ). (38)

Alors compte tenu de la convergence (37), le r´esultat est ´etabli.

(16)

Preuve du th´ eor` eme 2.5

1. D’apr`es i) du lemme 3.3 et vu que 1

2 ≤ α

^′

< 3α − 2, l’hypoth`ese (H4) implique

que Z

^t

0

ω

²_s

ds

−1

Z

^t

0

ω

_s²

X

_s²

ds

− σ

²

2θ = o(t

^2(α⁻¹⁾

) p.s..

Alors en appliquant le TLCL au couple ( ˜ M , V ) pour V

_t²

= Z

t

0

ω

_s²

ds et f(x) = x

²

− 1, on obtient

(log V

_t²

)

⁻¹²

Z

t

1

( M ˜

_s²

V

_s²

− σ

²

2θ ) dV

_s²

V

_s²

= ⇒ N (0, σ

⁴

θ

²

). (39)

Grâce à la propriété (P

3

) du lemme 3.2 et la relation (8), on obtient ( t

¹⁻^α

1 − α )

⁻¹²

Z

t

1

M ˜

_s

V

_s²

ds

s

^α

∼ σ

⁻²

( t

¹⁻^α

1 − α )

⁻¹²

Z

t 1

P

_s²

U

_s²

(˜ θ

_t

− θ)

²

ds, (t −→ ∞ ). (40) Soit ˜ J

t

le terme de droite de la derni`ere ´equivalence. On pose

J ˜

t

= ˜ J

_t¹

+ ˜ J

_t²

avec

J ˜

_t¹

= σ

⁻²

( t

¹⁻^α

1 − α )

⁻¹²

Z

t 1

(˜ θ

t

− θ)

²

( P

_s²

U

_s²

− σ

⁴

4θ

²

)ds et J ˜

_t²

= σ

²

4θ

²

( t

¹⁻^α

1 − α )

⁻¹²

Z

t 1

(˜ θ

t

− θ)

²

ds.

Vu l’hypoth`ese (H4) et d’apr`es ii) du lemme 3.3, il vient que pour α

^′

< 3α − 2 Z

^t

0

ω

s

ds

−2

Z

^t

0

ω

s

X

_s²

ds

2

− σ

⁴

4θ

²

= o t

⁽

α−1)

2

(log t)

⁻¹

p.s.. (41) D’après le théorème 2.3 et la relation (41), on déduit que

J ˜

t

− J ˜

_t²

−→ 0, (t −→ ∞ ). (42) En combinant (39), (40) et (42), on obtient

σ

²

4θ

²

( t

¹⁻^α

1 − α )

⁻¹²

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ)

²

ds − σ

²

2θ ( t

¹⁻^α

1 − α )

¹²

= ⇒ N (0, σ

⁴

θ

²

).

Alors

( t

¹⁻^α

1 − α )

¹²

1 − α 2t

¹⁻^α

Z

t 0

(˜ θ

s

− θ)

²

ds − θ

= ⇒ N (0, 4θ

²

).

Grâce à la convergence (38), on obtient le résultat.