Familles d’´equations de Thue–Mahler n’ayant que des solutions triviales

n’ayant que des solutions triviales

Claude Levesque

D´ epartement de math´ ematiques et de statistique Universit´ e Laval

Qu´ ebec (Qu´ ebec) CANADA G1V 0A6

E-mail: Claude.Levesque@mat.ulaval.ca Michel Waldschmidt

Institut de Math´ ematiques de Jussieu Universit´ e Pierre et Marie Curie (Paris 6)

4 Place Jussieu

F – 75252 PARIS Cedex 05, FRANCE E-mail: miw@math.jussieu.fr

28 aoˆ ut 2011

En hommage ` a Andr´ e Schinzel.

Abstract

Let K be a number field, let S be a finite set of places of K containing the archimedean places and let µ, α

1

, α

2

, α

3

be non–zero elements in K. Denote by O

S

the ring of S–integers in K and by O

^×_S

the group of S–units. Then the set of equivalence classes (namely, up to multiplication by S–units) of the solutions (x, y, z, ε

1

, ε

2

, ε

3

, ε) ∈ O

³_S

× (O

^×_S

)

⁴

of the diophantine equation

(X − α

1

E

1

Y )(X − α

2

E

2

Y )(X − α

3

E

3

Y )Z = µE,

satisfying Card{α

1

ε

1

, α

2

ε

2

, α

3

ε

3

} = 3, is finite. With the help of this last result, we exhibit, for every integer n > 2, new families of Thue-Mahler equations of degreee n having only trivial solutions.

Furthermore, we produce an effective upper bound for the number of these solutions. The proofs of this paper rest heavily on Schmidt’s subspace theorem.

R´ esum´ e

Soit K un corps de nombres, soit S un ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes et soient µ, α

1

, α

2

, α

3

des ´ el´ ements non nuls de K. Notons O

S

l’anneau des S–

entiers de K et O

^×_S

le groupe des S–unit´ es. Alors l’ensemble des classes d’´ equivalence (c’est-` a-dire, ` a multiplication pr` es par des S–unit´ es) des solutions (x, y, z, ε

1

, ε

2

, ε

3

, ε) ∈ O

³_S

× (O

_S^×

)

⁴

de l’´ equation diophantienne

(X − α

1

E

1

Y )(X − α

2

E

2

Y )(X − α

3

E

3

Y )Z = µE,

v´ erifiant Card{α

1

ε

1

, α

2

ε

2

, α

3

ε

3

} = 3, est fini. Grˆ ace ` a ce dernier r´ esultat, nous pouvons exhiber pour chaque entier n ≥ 3 de nouvelles familles d’´ equations de Thue-Mahler de degr´ e n ne poss´ edant que des solutions triviales. De plus, nous donnons une borne sup´ erieure explicite pour le nombre de ces solutions. Les d´ emonstrations de cet article reposent sur le th´ eor` eme du sous–espace de Schmidt.

2010 Mathematics Subject Classification: Primary 11D59 ; Secondary 11D45 11D61 11D25 11J87

Key words and phrases: Diophantine equations, Families of Thue-Mahler equations, units of algebraic number fields, Schmidt subspace theorem.

1

1 Introduction

Les premi` eres familles d’´ equations de Thue n’ayant que des solutions dites triviales ont ´ et´ e donn´ ees par E. Thomas en 1990 [13]. D’autres familles ont ´ et´ e trouv´ ees par la suite [10]. Les familles d’´ equations de Thue ´ etudi´ ees jusqu’` a pr´ esent font presque toutes intervenir des ´ equations variant avec un param` etre dont d´ epend un corps de nombres attach´ e ` a ladite ´ equation. ` A date, il n’y avait pas encore de familles d’´ equations de Thue–Mahler pour lesquelles la finitude du nombre de solutions ait ´ et´ e ´ etablie. Notre r´ esultat va permettre d’attacher, ` a chaque corps de nombres alg´ ebriques poss´ edant une infinit´ e d’unit´ es, une famille infinie d’´ equations de Thue–Mahler n’ayant qu’un nombre fini de solutions non–triviales.

L’outil diophantien que nous allons mettre en œuvre est le th´ eor` eme du sous–espace de W.M. Schmidt [5, 1, 14]. Nous poursuivrons ult´ erieurement ce travail en rempla¸ cant le th´ eor` eme non effectif du sous–

espace par des minorations de formes lin´ eaires de logarithmes, de fa¸ con ` a rendre effectifs nos r´ esultats, au moins dans certains cas particuliers.

2 R´ esultats connus

Soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes.

Nous notons O K l’anneau des entiers alg´ ebriques de K, O _K ^× le groupe des unit´ es de K (´ el´ ements inversibles de O K ). De plus, pour S ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes, O S est l’anneau des S–entiers de K, ` a savoir l’ensemble des ´ el´ ements x de K tels que |x| v ≤ 1 pour toute place v 6∈ S. De plus, O <sup>×</sup> <sub>S</sub> est le groupe des S–unit´ es, c’est-` a-dire des ´ el´ ements inversibles de O S , donc des ´ el´ ements x de K tels que |x| v = 1 pour tout v 6∈ S.

Soient µ, α ₁ , . . . , α _n des ´ el´ ements non nuls de K. On consid` ere pour commencer l’´ equation diophanti- enne de Thue–Mahler

(2.1) (X − α ₁ Y ) · · · (X − α _n Y ) = µE,

o` u les valeurs prises par les inconnues X et Y sont des ´ el´ ements x et y de O S v´ erifiant xy 6= 0, et o` u les valeurs prises par l’inconnue E sont des ´ el´ ements ε de O ^× _S .

Si (x, y, ε) est une solution de l’´ equation (2.1), alors pour tout η ∈ O ^× _S le triplet (ηx, ηy, η ⁿ ε) est aussi une solution. Selon [6], §2, deux telles solutions sont dites S–d´ ependantes. Autrement, elles sont dites S–ind´ ependantes. En voici une formulation ´ equivalente.

D´ efinition. Deux solutions (x, y, ε) et (x ⁰ , y ⁰ , ε ⁰ ) dans O ² _S ×O _S ^× de l’´ equation (2.1) sont dites S–d´ ependantes si les points de P ¹ (K) de coordonn´ ees projectives (x : y) et (x ⁰ , y ⁰ ) sont les mˆ emes. Autrement, elles sont dites S–ind´ ependantes.

Le r´ esultat suivant a ´ et´ e d´ emontr´ e par Parry en 1950 ` a la suite de travaux de Thue et Mahler notamment (voir par exemple [6], §2 et [12], th´ eor` eme 5.4).

Th´ eor` eme 2.1 (Thue–Mahler–Parry). Sous l’hypoth` ese Card{α ₁ , . . . , α _n } ≥ 3,

le nombre maximum de solutions deux ` a deux S–ind´ ependantes (x, y, ε) ∈ O S × O S × O _S ^× avec xy 6= 0 de l’´ equation (2.1) est fini.

Erd˝ os, Stewart et Tijdeman [4] ont donn´ e des exemples dans lesquels le nombre de solutions de l’´ equation (2.1) est remarquablement grand.

Une cons´ equence du th´ eor` eme 2.1 est la suivante.

Corollaire 2.2. Soit f (X, Y ) ∈ Z[X, Y ] une forme binaire ` a coefficients dans Z ayant au moins trois

facteurs lin´ eaires deux ` a deux non proportionnels dans sa factorisation sur C. Soit k ∈ Z \ {0} et

soient p ₁ , . . . , p _t des nombres premiers. Alors l’´ equation f (X, Y ) = kp ^Z ₁

¹

· · · p ^Z _t

^t

n’a qu’un nombre fini de

solutions (x, y, z ₁ , . . . , z _t ) dans Z ² × N ^t v´ erifiant xy 6= 0 et pgcd(xy, p ₁ · · · p _t ) = 1.

Nous utiliserons la g´ en´ eralisation N S de la norme, introduite par exemple dans [6] et dont nous rappelons la d´ efinition au d´ ebut du §5. Dans [6], §2, Evertse et Gy˝ ory font intervenir deux relations d’´ equivalence : la premi` ere concerne les solutions des in´ equations de Thue–Mahler

(2.2) 0 < N _S (f (x, y)) ≤ m.

Selon [6], deux solutions (x, y), (x ⁰ , y ⁰ ) de l’in´ equation (2.2) sont d´ ependantes s’il existe η ∈ K ^× tel que x ⁰ = ηx et y ⁰ = ηy. Voici la seconde, qui concerne les formes binaires de O _S [X, Y ].

D´ efinition. Deux formes binaires f (X, Y ) et g(X, Y ) de O S [X, Y ], sont dites S–´ equivalentes s’il existe α, β, γ, δ dans O S et η dans O ^× _S v´ erifiant αδ − βγ ∈ O ^× _S et g(X, Y ) = ηf(αX + βY, γX + δY ).

Soient K un corps de nombres, S un ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes, et n un entier ≥ 3. Notons F(n, K, S) l’ensemble des formes binaires f ∈ O S [X, Y ] de degr´ e n qui se d´ ecomposent en facteurs lin´ eaires dans K[X, Y ] et dont la d´ ecomposition contient au moins trois facteurs lin´ eaires distincts. Voici la premi` ere partie du th´ eor` eme 2 de [6].

Th´ eor` eme 2.3 (Evertse et Gy˝ ory). Avec les notations ci–dessus, pour tout entier m > 0, il n’y a qu’un nombre fini de classes de S–´ equivalence de formes binaires f dans F (n, K, S ) pour lesquelles il existe plus de deux solutions ind´ ependantes (x, y) ∈ O <sub>S</sub> × O <sub>S</sub> ` a l’in´ equation (2.2).

Les autres r´ esultats de [6] font intervenir une extension finie L de K, mais pour le th´ eor` eme 2.3 cela n’apporte pas plus de g´ en´ eralit´ e.

3 Enonc´ ´ es de nos r´ esultats

Notre r´ esultat principal (th´ eor` eme 3.1) consiste ` a remplacer d’une part trois des facteurs X − α _i Y (disons pour i = 1, 2, 3) de l’´ equation (2.1) par des facteurs de la forme X − α _i E _i Y , o` u E <sub>1</sub> , E <sub>2</sub> , E <sub>3</sub> sont des inconnues suppl´ ementaires prenant des valeurs dans O <sub>S</sub> <sup>×</sup> , et ` a remplacer d’autre part le produit des autres facteurs par Z o` u l’inconnue Z prend ses valeurs dans l’anneau des S–entiers. On consid` ere donc l’´ equation plus g´ en´ erale

(3.1) (X − α 1 E 1 Y )(X − α 2 E 2 Y )(X − α 3 E 3 Y )Z = µE,

o` u les inconnues X, Y et Z sont ` a valeurs dans O S et o` u les inconnues E 1 , E 2 , E 3 , E sont ` a valeurs dans O ^× _S . On note (X, Y, Z, E 1 , E 2 , E 3 , E) le septuplet form´ e par les inconnues, et (x, y, z, ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε) les septuplets form´ es par les solutions dans O _S ³ × (O ^× _S ) ⁴ .

D´ efinition. Nous appellerons triviales les solutions pour lesquelles xy = 0.

Nous supposerons que les solutions satisfont

Card{α 1 ε ₁ , α ₂ ε ₂ , α ₃ ε ₃ } = 3.

Si (x, y, z, ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ , ε) est une solution non triviale de (3.1), alors, pour tout η ∈ O ^× _S , les septuplets (ηx, ηy, z, ε 1 , ε 2 , ε 3 , η ³ ε), (x, y, ηz, ε 1 , ε 2 , ε 3 , ηε) et (x, η ⁻¹ y, z, ηε 1 , ηε 2 , ηε 3 , ε)

sont aussi des solutions non triviales de (3.1), que l’on qualifiera de S ³ –d´ ependantes de la solution initiale.

D´ efinition. Deux solutions non triviales (x, y, z, ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε) et (x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ , ε ⁰ ₁ , ε ⁰ ₂ , ε ⁰ ₃ , ε ⁰ ) de l’´ equation (3.1) seront dites S ³ –d´ ependantes s’il existe des S–unit´ es η 1 , η 2 et η 3 dans O ^× _S telles que

x ⁰ = xη 1 , y ⁰ = yη 1 η ₃ ⁻¹ , z ⁰ = zη 2 , ε ⁰ _i = ε i η 3 (i = 1, 2, 3), ε ⁰ = εη ₁ ³ η 2 .

Sinon, ces deux solutions seront dites S ³ –ind´ ependantes.

Ceci d´ efinit une relation d’´ equivalence sur l’ensemble des solutions non triviales de (3.1). Quand le groupe des S–unit´ es O ^× _S a un rang ≥ 1, chaque classe de S ³ –d´ ependance de solutions non triviales contient une infinit´ e d’´ el´ ements.

Le principal but de cet article est de d´ emontrer le r´ esultat suivant, qui g´ en´ eralise le th´ eor` eme 2.1. Il s’agit apparemment du premier ´ enonc´ e donnant la finitude du nombre de solutions de familles d’´ equations de Thue–Mahler.

Th´ eor` eme 3.1. Soient K un corps de nombres, S un ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes, µ, α 1 , α 2 , α 3 des ´ el´ ements non nuls de K. Alors l’ensemble des classes de S ³ –d´ ependance des solutions non triviales (x, y, z, ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε) dans O ³ _S × (O ^× _S ) ⁴ de l’´ equation

(X − α 1 E 1 Y )(X − α 2 E 2 Y )(X − α 3 E 3 Y )Z = µE,

satisfaisant la condition Card{α 1 ε 1 , α 2 ε 2 , α 3 ε 3 } = 3, est fini. Le nombre de ces classes est major´ e par une constante κ 1 , ne d´ ependant que de K, N S (µ), α 1 , α 2 , α 3 et du rang s du groupe O _S ^× , et dont la valeur est explicit´ ee dans la formule (6.5).

Quitte ` a agrandir S, on peut supposer α 1 = α 2 = α 3 = µ = 1 (cela augmente le rang de O <sup>×</sup> <sub>S</sub> , il faudrait en tenir compte si on voulait donner une borne explicite). Dans ce cas, les variables E et Z sont redondantes (prendre η <sub>2</sub> = z <sup>−1</sup> dans la d´ efinition de la S <sup>3</sup> –d´ ependance pour se ramener ` a z = 1). De mˆ eme, il n’y a pas de restriction ` a supposer E <sub>3</sub> = 1 (prendre η <sub>3</sub> = ε <sup>−1</sup> <sub>3</sub> ). L’´ equation que l’on consid` ere se ram` ene donc ` a

(3.2) (X − Y )(X − E 1 Y )(X − E 2 Y ) = E,

en 5 inconnues, (X, Y, E 1 , E 2 , E). La relation d’´ equivalence entre les quintuplets dans O ² _S × (O ^× _S ) ³ form´ es de solutions est essentiellement celle du §2: nous dirons encore que deux solutions (x, y, ε 1 , ε 2 , ε) et (x ⁰ , y ⁰ , ε ⁰ ₁ , ε ⁰ ₂ , ε ⁰ ) de (3.2) sont S–d´ ependantes s’il existe η ∈ O ^× _S tel que

x ⁰ = xη, y ⁰ = yη, ε ⁰ ₁ = ε 1 , ε ⁰ ₂ = ε 2 , ε ⁰ = εη ³ .

L’´ enonc´ e suivant est donc ´ equivalent au th´ eor` eme 3.1 (` a la valeur pr` es de la borne explicite pour le nombre de classes de solutions, que nous ne pr´ ecisons pas).

Th´ eor` eme 3.2. Le nombre de classes de S–d´ ependance de solutions de l’´ equation (3.2) est fini.

Il est int´ eressant de noter que nous avons ramen´ e la question de la finitude du nombre de solutions de l’´ equation de Thue–Mahler en degr´ e quelconque ` a celle d’une ´ equation cubique (voir ` a ce sujet [11]).

Pour faire le lien avec le th´ eor` eme 2.3, montrons que notre th´ eor` eme 3.1 permet d’´ etablir l’existence d’une infinit´ e de classes de S–´ equivalence de formes binaires de F(n, K, S) produisant des in´ equations (2.2) dont toutes les solutions sont triviales.

Du th´ eor` eme 3.2 on d´ eduit facilement l’´ enonc´ e suivant.

Th´ eor` eme 3.3. Soient K un corps de nombres, S un ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes, n un entier ≥ 3, α 1 , . . . , α n des ´ el´ ements de K ^× et f ∈ K[X, Y ] la forme binaire

f (X, Y ) = X − α 1 Y

X − α 2 Y

· · · X − α n Y . Pour ε = (ε ₁ , . . . , ε _n ) ∈ (O _S ^× ) ⁿ , on note f _ε ∈ K[X, Y ] la forme binaire

f ε (X, Y ) = (X − α 1 ε 1 Y )(X − α 2 ε 2 Y ) · · · (X − α n ε n Y ).

On d´ esigne par E l’ensemble des ´ el´ ements ε de (O ^× _S ) ⁿ tels que ε 1 = 1 et Card{α 1 ε 1 , α 2 ε 2 , . . . , α n ε n } ≥ 3.

Alors il existe un sous–ensemble fini E ^? de E tel que, pour tout ε ∈ E \ E ^? et pour tout (x, y) ∈ O S × O S , la condition

f ε (x, y) ∈ O ^× _S

implique xy = 0.

Ce th´ eor` eme 3.3 se d´ eduit du th´ eor` eme 3.1 avec µ = 1: quitte ` a renum´ eroter les racines de f ε , on peut supposer Card{α 1 ε 1 , α 2 ε 2 , α 3 ε 3 } = 3; on prend alors pour z le produit (x − α 4 ε 4 y) · · · (x − α n ε n y).

Au §8, on prouvera la proposition suivante.

Proposition 3.4. Soit ε ∈ E \ E ^? . Il n’y a qu’un nombre fini de ε ⁰ ∈ E \ E ^? tel que les deux formes binaires f _ε et f _ε

⁰

soient S–´ equivalentes.

On d´ eduit encore du th´ eor` eme 3.1 le corollaire suivant.

Corollaire 3.5. Pour chaque m ∈ N et pour chaque ε ∈ E en dehors d’un sous–ensemble fini (d´ ependant de m), l’in´ equation

0 < N S f ε (x, y)

≤ m n’a pas de solution (x, y) ∈ O S × O S v´ erifiant xy 6= 0.

C’est ainsi que nous obtenons une infinit´ e de classes de S–´ equivalence de formes binaires donnant lieu

`

a des in´ equations de Thue–Mahler (2.2) dont toutes les solutions sont triviales.

Pour ´ enoncer le corollaire 3.6 ci–dessous, nous d´ efinissons une famille de formes binaires f ε , index´ ee par les S–unit´ es d’un corps de nombres, de la fa¸ con suivante. Partons d’une forme

f (X, Y ) = a ₀ X ^d + a ₁ X ^d−1 Y + · · · + a _d−1 Y ^d−1 X + a _d Y ^d ∈ Z[X, Y ] irr´ eductible sur Z et ´ ecrivons

f (X, Y ) = a ₀ X − σ ₁ (α)Y

X − σ ₂ (α)Y

· · · X − σ _d (α)Y ,

o` u α est une racine de f (X, 1) et o` u σ 1 , σ 2 , . . . , σ d sont les d plongements du corps K := Q(α) dans C. Soient p 1 , . . . , p t des nombres premiers et S l’ensemble des places du corps K constitu´ e des places archim´ ediennes et des places de K au–dessus de p 1 , . . . , p t . Tordons f (X, Y ) par une S–unit´ e ε ∈ O ^× _S en d´ efinissant la forme binaire f ε (X, Y ) ∈ Z[X, Y ] de degr´ e d par

f ε (X, Y ) = a 0 X − σ 1 (αε)Y

X − σ 2 (αε)Y

· · · X − σ d (αε)Y . Du th´ eor` eme 3.1 nous d´ eduisons la g´ en´ eralisation suivante du corollaire 2.2.

Corollaire 3.6. Soit k ∈ Z \ {0}. L’ensemble des (x, y, ε, z ₁ , . . . , z _t ) dans Z ² × O ^× _S × N ^t satisfaisant (3.3) f _ε (x, y) = kp ^z ₁

¹

· · · p ^z _t

^t

,

avec xy 6= 0, pgcd(xy, p ₁ · · · p _t ) = 1 et [Q(αε) : Q] ≥ 3, est fini. Le nombre de ces solutions est major´ e par une constante κ ₂ , effectivement calculable en fonction de α, k, f et t, dont la valeur est explicit´ ee dans la formule (7.1).

En particulier, lorsque [Q(αε) : Q] ≥ 3, l’´ equation de Thue f ε (X, Y ) = ±1, sauf pour un nombre fini de S–unit´ es ε, n’a que des solutions triviales. Un autre cas particulier du corollaire 3.6 s’´ enonce de la fa¸ con suivante: soient K un corps de nombres de degr´ e ≥ 3, k un entier non nul et p 1 , p 2 , . . . , p t des nombres premiers. Pour toute unit´ e ε de K, d´ esignons par g ε (X, Y ) ∈ Z[X, Y ] la version homog` ene du polynˆ ome minimal g ε (X, 1) ∈ Z[X ] de ε. Alors l’ensemble des unit´ es ε de K, telles que [Q(ε) : Q] ≥ 3 et que l’´ equation g ε (X, Y ) = kp ^Z ₁

¹

· · · p ^Z _t

^t

ait une solution (x, y, z 1 , . . . , z t ) dans Z ² × N ^t v´ erifiant xy 6= 0 avec pgcd(xy, p 1 · · · p t ) = 1, est fini.

Etant donn´ ´ e que nos d´ emonstrations reposent sur le th´ eor` eme du sous–espace de Schmidt (cf. Th´ eor` eme 5.1), elles ne permettent pas d’obtenir des ´ enonc´ es effectifs: elles conduisent ` a des ´ enonc´ es quantitatifs avec des bornes pour le nombre de solutions, mais pas ` a des majorations pour les solutions elles-mˆ emes.

Obtenir des r´ esultats effectifs, au moins pour certains cas particuliers du th´ eor` eme 3.1, sera l’objet de

travaux ult´ erieurs.

4 Lien avec un th´ eor` eme de Vojta

Le th´ eor` eme 2.4.1 de Vojta dans [14] (dont la d´ emonstration repose aussi sur le th´ eor` eme 5.1) permet de montrer que l’ensemble des solutions de l’´ equation (3.2) est d´ eg´ en´ er´ e au sens de [14], c’est-` a-dire contenu dans un sous–ensemble ferm´ e propre pour la topologie de Zariski. Voici l’´ enonc´ e du corollaire 2.4.2 de [14].

Th´ eor` eme 4.1 (Vojta). Soit D un diviseur de P ⁿ ayant au moins n + 2 composantes distinctes. Alors tout ensemble de points D–entiers de P ⁿ est d´ eg´ en´ er´ e.

Montrons comment appliquer ce r´ esultat avec n = 4 ` a l’´ equation (3.2). Nous avons vu (au §3) que le corollaire 3.2 ´ etait ´ equivalent au th´ eor` eme 3.1 . Dans le mˆ eme esprit, quitte ` a agrandir S, nous pouvons supposer que α 1 = α 2 = α 3 = µ = 1. Si (x, y, ε 1 , ε 2 , ε) ∈ O ² _S × (O _S ^× ) ³ est une solution, alors x −y, x − ε 1 y et x − ε 2 y sont des S–unit´ es.

Introduisons des coordonn´ ees projectives (X : Y : Z : E 1 : E 2 ) sur P ⁴ (K) et consid´ erons le diviseur D d´ efini par l’hypersurface

Z E ₁ E ₂ · (X − Y )(XZ − E ₁ Y )(XZ − E ₂ Y ) = 0

qui a 6 composantes irr´ eductibles. Montrons que chaque solution p = (x, y, ε ₁ , ε ₂ , ε) ∈ O ² _S × (O _S ^× ) ³ de l’´ equation (3.2) en les inconnues (X, Y, E ₁ , E ₂ , E) d´ efinit un point entier sur la vari´ et´ e ouverte P ⁴ (K)\ D,

`

a savoir le point p e = (x : y : 1 : ε 1 : ε 2 ). En effet, les coordonn´ ees de p e sont dans O S , et le point p e ne se r´ eduit pas modulo un premier en dehors de S ` a un point d’un des hyperplans Z = 0, E 1 = 0, E 2 = 0, X − Y = 0, ni ` a un point d’une des hypersurfaces XZ − E 1 Y = 0, XZ − E 2 Y = 0, car les nombres ε, ε 1 , ε 2 , x − y, x − ε 1 y et x − ε 2 y sont des S–unit´ es. Le th´ eor` eme 4.1 montre que les solutions de (3.2) ne sont pas Zariski denses dans V = P ⁴ (K) \ D. En d´ esignant par E l’ensemble des (x, y, ε 1 , ε 2 ) ∈ O _S ² × (O ^× _S ) ² qui v´ erifient

(x − y)(x − ε 1 y)(x − ε 2 y) ∈ O ^× _S ,

cela signifie qu’il existe un polynˆ ome non nul P en les variables (X, Y, E 1 , E 2 ) qui s’annule au point (x : y : ε 1 : ε 2 ) chaque fois que (x, y, ε 1 , ε 2 ) est dans E. On peut remarquer que si (x, y, ε 1 , ε 2 ) ∈ E , alors (x, y, ε ₂ , ε ₁ ) et (y, x, ε ₁ , ε ₂ ) sont aussi dans E, de mˆ eme que (tx, ty, ε ₁ , ε ₂ ) pour tout t dans O _S ^× . Comme on peut supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e que le groupe O _S ^× est infini, on en d´ eduit que le polynˆ ome P(T x, T y, ε ₁ , ε ₂ ) ∈ K[T] est nul. Donc

P (T x, T y, ε ₂ , ε ₁ ) = P(T y, T x, ε ₁ , ε ₂ ) = P (T x, T y, ε ₁ , ε ₂ ) = P(T y, T x, ε ₂ , ε ₁ ) = 0.

Il ne semble pas que ces arguments permettent de terminer la d´ emonstration du th´ eor` eme 3.1; pour y parvenir nous allons revenir ` a la source, ` a savoir le th´ eor` eme du sous–espace de Schmidt. Au pr´ ealable, rappelons quelques outils diophantiens.

5 Outils diophantiens

Soient K un corps de nombres de degr´ e d = [K : Q] sur Q, D K son discriminant, h K son nombre de classes, R K son r´ egulateur, M K l’ensemble des places de K et S _∞ l’ensemble des places archim´ ediennes de K.

Le rang r du groupe des unit´ es de K est r 1 + r 2 − 1, o` u r 1 est le nombre de places r´ eelles de K et r 2

le nombre de places archim´ ediennes non r´ eelles. On a d = r 1 + 2r 2 et on note d v = 1 pour v une place r´ eelle, d v = 2 pour v une place archim´ edienne non r´ eelle, de sorte que d = P

v∈S

∞

d v . Nous adopterons la normalisation des valeurs absolues utilis´ ee dans [3] et [9] : pour α ∈ K,

|α| v =



 

 

|σ(α)| si v est une place archim´ edienne li´ ee ` a un plongement r´ eel σ : K → R,

|σ(α)| ² si v est une place archim´ edienne li´ ee ` a un plongement non r´ eel σ : K → C,

N(P) ^−ord

^P

^(α) si v est une place ultram´ etrique li´ ee ` a un id´ eal premier P de O K .

On notera h(α) la hauteur logarithmique absolue d’un ´ el´ ement α de K (c’est la notation de [9], alors que ce qui est not´ e h(α) dans [3], [7] et [6] est pour nous exp{h(α)}) :

h(α) = 1 d

X

v∈M

K

log max{1, |α| v }.

On d´ esigne par δ K un nombre r´ eel positif tel que tout entier alg´ ebrique non nul α ∈ K qui n’est pas une racine de l’unit´ e v´ erifie h(α) ≥ δ K /d. Des minorations explicites de δ K (dues ` a Blanksby et Mongomery, Dobrowolski et Voutier) sont donn´ ees dans [3].

Rappelons (cf. [6], §2 ou bien [8], §1) la d´ efinition de la S–norme, d´ enot´ ee N S , associ´ ee ` a un ensemble fini S de places de K contenant les places archim´ ediennes. Soit α ∈ K <sup>×</sup> . L’id´ eal principal fractionnaire (α) de O K engendr´ e par α s’´ ecrit de mani` ere unique comme un produit AB, o` u A est un id´ eal fractionnaire de O K qui est produit de puissances d’id´ eaux premiers qui ne sont pas au–dessus des places finies de S, tandis que B est un id´ eal fractionnaire de O K qui est produit de puissances d’id´ eaux premiers au–dessus des places finies de S. Alors N _S (α) est la norme de l’id´ eal A.

Ainsi, par d´ efinition, un ´ el´ ement α de K appartient ` a O _S si et seulement si l’id´ eal A est un id´ eal entier de O _K . De plus, les S–unit´ es de K sont les ´ el´ ements ε de O _S qui v´ erifient N _S (ε) = 1. Si S = S _∞ , alors O S = O K , O _S ^× = O ^× _K et N S co¨ıncide avec |N _K/Q |.

Quand K = Q, si S est l’ensemble constitu´ e des places archim´ ediennes et des places au–dessus des nombres premiers p 1 , . . . , p t , pour un nombre rationnel non nul α ´ ecrit sous la forme

α = ±

t

Y

i=1

p ^a _i

ⁱ

! 



r

Y

j=t+1

p ^a _j

^j





avec a <sub>`</sub> ∈ Z (` = 1, . . . , r) et p _j 6∈ {p 1 , . . . , p _t } (j = t + 1, . . . , r), alors on a N _S (α) =

r

Y

j=t+1

p ^a _j

^j

.

On notera s le rang du groupe O _S ^× , ce qui fait que le nombre d’´ el´ ements ¹ de S est s − 1. Si r = r 1 + r 2 − 1 est le rang du groupe des unit´ es de K, alors t = s − 1 − r est le nombre d’id´ eaux premiers P 1 , . . . , P t

de O K au–dessus des places ultram´ etriques de K dans S. On d´ esigne par ν le plus grand des nombres

|N(P i )| (1 ≤ i ≤ t), avec ν = 1 si t = 0 (c’est-` a-dire si S = S _∞ ). La norme indice S d’un ´ el´ ement α est N S (α) = Y

v∈S

|α| v .

Nous utiliserons une base w ₁ , . . . , w _d de l’anneau des entiers de K comme Z–module : O K = Zw 1 + · · · + Zw d .

D’apr` es le lemme 5 de [7], il existe une telle base pour laquelle le nombre θ = max{1 , max

σ:K→C |σ(w 1 )| + · · · + |σ(w d )|}

v´ erifie la majoration θ ≤ |D _K | ^1/2 .

Notons enfin d(N ) la fonction nombre de diviseurs d’un entier N > 0 : d(N ) := X

d|N

1.

Nous utiliserons le fait banal que pour tout couple (n, N) d’entiers positifs, le nombre de d´ ecomposition de N comme produit de n facteurs m 1 m 2 · · · m n = N est major´ e par d(N ) ⁿ⁻¹ .

L’outil principal des preuves de nos g´ en´ eralisations de ces r´ esultats, que nous utiliserons plusieurs fois par la suite, est une cons´ equence du th´ eor` eme du sous–espace de Schmidt. L’´ enonc´ e pr´ ecis que nous utiliserons est le suivant, dˆ u ` a Evertse [5], raffin´ e dans le cas ` = 2 par Beukers et Schlickewei [2].

1

Noter que dans [3] le nombre d’´ el´ ements de S est not´ e s (et le rang de O

^×_S

est bien sˆ ur s + 1).

Th´ eor` eme 5.1 (Evertse, Beukers–Schlickewei). Soient K un corps de nombres, δ 1 , . . . , δ ` des ´ el´ ements non nuls de K et S un ensemble fini de places de K de cardinal s. Alors les solutions (x 1 , . . . , x ` ) ∈ (O <sup>×</sup> <sub>S</sub> ) <sup>`</sup> de l’´ equation

δ ₁ X ₁ + δ ₂ X ₂ + · · · + δ _{`</sub> X <sub>`} = 1, pour lesquelles aucune sous–somme stricte

X

i∈I

δ _i x _i (∅ 6= I ⊂ {1, . . . , `})

ne s’annule, sont en nombre fini major´ e par

(5.1)







(2 ³³ (` + 1) <sup>2</sup> ) <sup>`</sup>

³

^s pour ` ≥ 3,

2 ^8s+24 pour ` = 2,

Notons ` a ce propos qu’un r´ esultat beaucoup plus g´ en´ eral a ´ et´ e obtenu par Amoroso et Viada (th´ eor` eme 6.2 de [1]), qui autorisent K ` a ˆ etre un corps de caract´ eristique nulle et G un sous–groupe de K <sup>×</sup> de rang fini (cette situation plus g´ en´ erale est aussi celle consid´ er´ ee par Beukers et Schlickewei dans [2] pour le cas ` = 2). Leur ´ enonc´ e raffine un r´ esultat ant´ erieur de Schmidt, Evertse, van der Poorten et Schlickewei, qui comportait une exponentielle de plus. La borne qu’ils obtiennent dans ce cadre bien plus g´ en´ eral pour le nombre de solutions est un tout petit peu moins pr´ ecise que celle du th´ eor` eme 5.1, puisqu’ils ont (8`) ^4`

⁴

<sup>(`+s+1)</sup> ` a la place de (5.1), et c’est pourquoi nous utilisons le r´ esultat plus ancien d’Evertse.

Nous utiliserons plusieurs fois le th´ eor` eme 5.1, pour ` = 2 puis pour ` = 5, qui donnent respectivement pour la constante (5.1) les valeurs κ 3 − 1 et κ 4 − 1, avec

κ 3 = 1 + 2 ^8s+24 et κ 4 = 1 + (2 ⁴³⁷⁵ 3 ²⁵⁰ ) ^s . Le terme dominant de nos estimations provient du lemme suivant.

Lemme 5.2. Soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K contenant les places archim´ ediennes. Il existe une constante positive κ ₅ , explicitement calculable et ne d´ ependant que de K et S, telle que, pour tout entier m > 0, il existe un sous–ensemble A ₁ (m) de O _S \ {0}, ayant au plus κ ₅ m ´ el´ ements, avec la propri´ et´ e suivante : pour tout β ∈ O _S v´ erifiant N _S (β) = m, il existe ε ∈ O ^× _S et γ ∈ A 1 (m) satisfaisant β = εγ.

Nous obtiendrons la valeur explicite suivante pour la constante:

κ 5 = 2 ^r+1 π ^r

²

|D K | ^−1/2 e ^c

³

^dR

^K

ν ^tdh

^K

(1 + θ) ^d avec

(5.2) c 3 = 1

2 r ^r+1 δ _K ^−(r−1) .

La premi` ere ´ etape de la d´ emonstration du lemme 5.2 consistera ` a utiliser le lemme 9 de [7] que voici.

Lemme 5.3. Soit β ∈ O S . Il existe η 1 ∈ O _S ^× tel que α = η 1 β soit dans O K et v´ erifie

|N K/Q (α)| ≤ ν ^tdh

^K

N S (β ).

Les liens avec les notations |α| K et |β| S de [7] sont

|α| K = |N K/Q (α)| ^1/d et |β | S = N _S (β) ^1/d . Notons que le lemme 5.3 est trivial quand β = 0 avec η ₁ = 1 et α = 0.

Nous utiliserons ensuite le r´ esultat suivant qui est un scolie d´ ecoulant du lemme 2 de [3], avec la

constante c 3 introduite en (5.2).

Lemme 5.4. Soit α ∈ O K \ {0}. Notons M = |N K/Q (α)|. Alors il existe η 2 ∈ O _K ^× tel que, pour tout v ∈ S ∞ , on ait

M ^d

^v

^/d e ^−c

³

^R

^K

≤ |αη 2 | v ≤ M ^d

^v

^/d e ^c

³

^R

^K

.

Une variante du lemme 5.4 s’obtient comme scolie du lemme 3 de [9], qui fournit le mˆ eme r´ esultat, mais avec la constante c ₃ remplac´ ee par

c ⁰ ₃ =



 

 

0 si r = 0,

1/d si r = 1,

29e(r!)r √

r − 1 log d si r ≥ 2.

Le lemme 1 de [6] et le lemme A15 de [12] donnent le mˆ eme ´ enonc´ e mais n’explicitent pas c ₃ . Lemme 5.5. Soit Q un nombre r´ eel ≥ 1. Alors l’ensemble

Γ :=

γ ∈ O K | |γ| v ≤ Q ^d

^v

pour tout v ∈ S _∞ est fini et a au plus

2 ^r+1 π ^r

²

(Q + θ) ^d |D K | ^−1/2

´ el´ ements.

D´ emonstration. Choisissons un ordre sur S _∞ (en num´ erotant en premier les places r´ eelles et en regroupant une place complexe et sa conjugu´ ee) et notons σ le plongement canonique de K dans R ^r

¹

× C ^r

²

:

σ : K −→ R ^r

¹

× C ^r

²

α 7−→ σ i (α)

1≤i≤r

₁

+r

₂

o` u σ ₁ , . . . , σ _d sont les plongements de K dans C avec σ _r

₁

_+r

₂

_+j = σ _r

₁

_+j pour 1 ≤ j ≤ r ₂ (σ d´ esigne le conjugu´ e complexe du plongement σ). Quand on identifie R ^r

¹

× C ^r

²

` a R ^d , l’image de O _K est un r´ eseau de R ^d dont une base est σ(w ₁ ), . . . , σ(w _d ). Le parall´ elotope P d´ efini par cette base est un domaine fondamental pour le r´ eseau dont le volume est 2 ^−r

²

p

|D K |. La r´ eunion des γ + P quand γ d´ ecrit Γ est une r´ eunion disjointe contenue dans le domaine born´ e

B =

(x v ) v∈S

∞

∈ R ^r

¹

× C ^r

²

| |x v | ≤ Q + θ (v ∈ S ∞ ) . Le volume de B est 2 ^r

¹

π ^r

²

(Q + θ) ^d . Le lemme 5.5 en r´ esulte.

Preuve du lemme 5.2. Soit β un ´ el´ ement de O S v´ erifiant N S (β) ≤ m. On utilise d’abord le lemme 5.3 pour ´ ecrire β = αη ₁ ⁻¹ avec α ∈ O K , η 1 ∈ O ^× _S et

|N K/Q (α)| ≤ ν ^tdh

^K

N _S (β ).

On utilise ensuite le lemme 5.4 pour ´ ecrire α = η ⁻¹ ₂ γ avec η 2 ∈ O ^× _K et

M ^d

^v

^/d e ^−c

³

^R

^K

≤ |αη 2 | v ≤ M ^d

^v

^/d e ^c

³

^R

^K

pour tout v ∈ S ∞ ,

avec M = |N _K/Q (α)| ≤ ν ^tdh

^K

m. On utilise enfin le lemme 5.5 avec Q = M ^1/d e ^c

³

^R

^K

pour dire que l’ensemble

Γ :=

γ ∈ O K | |γ| v ≤ Q ^d

^v

pour tout v ∈ S _∞ est fini et a au plus

2 ^r+1 π ^r

²

(Q + θ) ^d |D _K | ^−1/2

´ el´ ements. On majore Q + θ par Q(1 + θ): on a

2 ^r+1 π ^r

²

(Q + θ) ^d |D K | ^−1/2 ≤ κ 5 m.

Enfin, en posant ε = η ₁ ⁻¹ η ₂ ⁻¹ , on a β = εγ, ce qui compl` ete la d´ emonstration du lemme 5.2.

6 Preuve du th´ eor` eme 3.1

Nous d´ ecomposerons la d´ emonstration en plusieurs ´ etapes. Dans la premi` ere, nous mettons en ´ evidence des ensembles finis, ind´ ependants d’une solution ´ eventuelle (x, y, z, ε, ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ ) ∈ O ³ _S ×(O ^× _S ) ⁴ de l’´ equation diophantienne (3.1).

6.1 Mise en ´ evidence de sous–ensembles finis

Soit K un corps de nombres de degr´ e d sur Q et soient µ, α 1 , α 2 , α 3 des ´ el´ ements non nuls de K. Soit q un entier rationnel positif tel que qα i ∈ O S pour i = 1, 2, 3. Un bon choix pour q est le plus petit commun multiple (ou ppcm) des coefficients directeurs des polynˆ omes irr´ eductibles sur Z des nombres alg´ ebriques α ₁ , α ₂ , α ₃ . On a N _S (q) ≤ q ^d . L’existence d’une solution de (3.1) implique q ³ µ ∈ O _S . On pose

k = N _S (µ) et m = N _S (q) ³ k, de sorte que m = N _S (q ³ µ) est un entier rationnel strictement positif.

L’ensemble A 2 form´ e des triplets k ⁰ = (k ⁰ ₁ , k ⁰ ₂ , k ⁰ ₃ ) d’entiers positifs satisfaisant k ₁ ⁰ k ⁰ ₂ k ₃ ⁰ = m est fini et a au plus d(m) ² ´ el´ ements. Soit k ⁰ ∈ A 2 et soit i ∈ {1, 2, 3}. Le lemme 5.2 montre qu’il existe un sous–ensemble fini A 1 (k _i ⁰ ) de O S \ {0}, ayant au plus κ 5 k _i ⁰ ´ el´ ements, avec la propri´ et´ e suivante : pour tout β ∈ O S v´ erifiant N S (β) = k ⁰ _i , il existe γ i ∈ A 1 (k ⁰ _i ) et w i ∈ O _S ^× tel que β = γ i w i .

Pour k ⁰ = (k ⁰ ₁ , k ₂ ⁰ , k ₃ ⁰ ) ∈ A 2 , on note A 1 (k ⁰ ) le sous–ensemble suivant de O _S ³ : A 1 (k ⁰ ) = A 1 (k ⁰ ₁ ) × A 1 (k ₂ ⁰ ) × A 1 (k ⁰ ₃ ).

Le nombre d’´ el´ ements de la r´ eunion des A 1 (k ⁰ ) quand k ⁰ d´ ecrit A 2 est major´ e par X

(k

⁰₁

,k

₂⁰

,k

⁰₃

)∈A

2

κ ³ ₅ k ₁ ⁰ k ⁰ ₂ k ₃ ⁰ ≤ κ ₆

avec

κ 6 = d(m) ² κ ³ ₅ m.

Soient ` un entier ≥ 2 et δ <sub>1</sub> , . . . , δ <sub>`</sub> des ´ el´ ements de K ^× . Notons δ = (δ ₁ , . . . , δ <sub>`</sub> ) ∈ (K <sup>×</sup> ) <sup>`</sup> . Le th´ eor` eme 5.1 montre qu’il existe un sous–ensemble fini A <sup>(`)</sup> ₃ (δ) de O _S ^× , contenant 1, ayant un nombre d’´ el´ ements major´ e par (5.1), tel que, pour toute solution (x ₁ , . . . , x <sub>`</sub> ) ∈ (O <sup>×</sup> <sub>S</sub> ) <sup>`</sup> de l’´ equation

δ 1 X 1 + δ 2 X 2 + · · · + δ ` X ` = 1 pour laquelle aucune sous–somme stricte

X

i∈I

δ i x i

ne s’annule, on ait x ₁ ∈ A ^(`) ₃ (δ).

Dans la mˆ eme veine, nous noterons encore A e <sup>(`)</sup> <sub>3</sub> (δ) l’ensemble form´ e par les ´ el´ ements x de O <sup>×</sup> <sub>S</sub> tels que l’un au moins des deux ´ el´ ements x, x <sup>−1</sup> , appartienne ` a la r´ eunion des ensembles A <sup>(`)</sup> <sub>3</sub> (δ <sup>σ</sup> ) avec δ <sup>σ</sup> = (δ <sub>σ(1)</sub> , . . . , δ <sub>σ(`)</sub> ), quand σ d´ ecrit les transpositions (1 i) de {1, . . . , `}.

Soit u = (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) ∈ (O ^× _S ) ³ tel que Card{u 1 α ₁ , u ₂ α ₂ , u ₃ α ₃ } = 3. Pour i = 1, 2, 3, posons α ⁰ _i = α _i u _i , δ 1 = α ⁰ ₃ − α ⁰ ₁

α ⁰ ₃ − α ⁰ ₁ , δ 2 = α ₁ ⁰ − α ⁰ ₁

α ₃ ⁰ − α ⁰ ₁ , δ = (δ 1 , δ 2 )

et A 4 (u) = A ⁽²⁾ ₃ (δ). Alors A 4 (u) est un sous–ensemble fini de O _S ^× , ayant au plus κ 3 ´ el´ ements, qui contient

1 et les deux quotients t 2 /t 1 et t 3 /t 1 quand (t 1 , t 2 , t n ) est un triplet d’´ el´ ements de O _S ^× satisfaisant

(6.1) t 1 (α ⁰ ₂ − α ⁰ ₃ ) + t 2 (α ⁰ ₃ − α ⁰ ₁ ) + t 3 (α ⁰ ₁ − α ⁰ ₂ ) = 0.

6.2 Utilisation des ensembles finis mis en ´ evidence

Apr` es avoir mis en ´ evidence au lemme 5.2 et ` a la section 6.1 les sous–ensembles finis A ₁ (m), A ₂ , A ₁ (k ⁰ ), A ^{(`)</sup> <sub>3</sub> (δ), A e <sup>(`)} ₃ (δ), A 4 (u), nous pouvons proc´ eder ` a la d´ emonstration du Th´ eor` eme 3.1 proprement dite.

Partons d’une solution (x, y, z, ε, ε 1 , ε 2 , ε 3 ) ∈ O ³ _S × (O _S ^× ) ⁴ de l’´ equation diophantienne (3.1) avec xy 6= 0 et prenons pour q le plus petit entier rationnel positif tel que qα i ∈ O S pour i = 1, 2, 3. Posons, pour i = 1, 2, 3,

α e i = α i ε i , β i = x − α e i y, β _i ⁰ = qx − q α e i y = qβ i et k _i ⁰ = N S (β _i ⁰ ),

de sorte que β ₁ ⁰ β ₂ ⁰ β ₃ ⁰ = q ³ µε et k ₁ ⁰ k ⁰ ₂ k ₃ ⁰ = m, o` u m = N S (q <sup>3</sup> µ). Comme nous l’avons d´ ej` a remarqu´ e, l’existence d’une solution implique q ³ µ ∈ O S . Par d´ efinition de A 2 , on a (k ₁ ⁰ , k ⁰ ₂ , k ⁰ ₃ ) ∈ A 2 .

La construction de A ₁ (k ⁰ ) montre qu’il existe γ = (γ ₁ , γ ₂ , γ ₃ ) ∈ A ₁ (k ⁰ ) et (w ₁ , w ₂ , w ₃ ) ∈ (O ^× _S ) ³ tels que

β _i ⁰ γ ⁻¹ _i = w _i pour i = 1, 2, 3.

Rappelons maintenant que Card{ α e ₁ , α e ₂ , α e ₃ } = 3. Nous allons construire deux sous–ensembles finis A 3 (γ, i) (i = 2, 3) de O _S ^× , contenant 1 et ayant au plus κ 4 ´ el´ ements, tels que ε i /ε 1 ∈ A 3 (γ, i) pour i = 2, 3.

Soit i ∈ {2, 3}. On a α e i 6= α e 1 . Soit j tel que {i, j} = {2, 3}. Alors α e 1 , α e i , α e j sont deux ` a deux distincts.

En ´ eliminant x et y entre les trois ´ equations

x − α e 1 y = β 1 , x − α e i y = β i , x − α e j y = β j , c’est-` a-dire en ´ ecrivant

(x − α e 1 y)( α e i − α e j ) + (x − α e i y)( α e j − α e 1 ) + (x − α e j y)( α e 1 − α e i ) = 0, on trouve que le nombre

(6.2) T = β ₁ α e _i − β ₁ α e _j + β _i α e _j − β _i α e ₁ + β _j α e ₁ − β _j α e _i est nul.

Pour toute permutation (j 1 , j 2 , j 3 ) = σ(1), σ(i), σ(j)

de (1, i, j), nous pouvons ´ ecrire l’´ egalit´ e T = 0, avec T d´ efini par (6.2), sous la forme

(6.3) sgn(σ)

α e j

₃

α e _j

₂

− β j

₂

α e j

₃

β _j

₁

α e _j

₂

+ β j

₂

α e j

₁

β _j

₁

α e _j

₂

− β j

₃

α e j

₁

β _j

₁

α e _j

₂

+ β j

₃

β _j

₁

= 1,

o` u sgn(σ) est la signature de la permutation σ.

6.2.1 Premier cas : Aucune sous–somme stricte de T ne s’annule Dans ce cas, on prend ` = 5, on pose

δ ₁ = α _i α 1

, δ ₂ = − γ ₁ α _i γ j α 1

, δ ₃ = γ ₁ α _j γ j α 1

, δ ₄ = − γ _i α _j γ j α 1

, δ ₅ = γ _i γ j

,

et il s’av` ere que l’on peut prendre l’ensemble A 3 (γ, i) ´ egal ` a A ⁽⁵⁾ ₃ (δ) avec δ = (δ 1 , δ 2 , . . . , δ 5 ). En effet, cet ensemble a au plus κ 4 ´ el´ ements, d’apr` es le th´ eor` eme 5.1. Pour montrer que le quotient ε i /ε 1 appartient

`

a A ⁽⁵⁾ ₃ (δ), on ´ ecrit (6.3) avec (j 1 , j 2 , j 3 ) = (j, 1, i) sous la forme δ 1

ε i

ε 1

+ δ 2

w 1

w j

ε i

ε 1

+ δ 3

w 1

w j

ε j

ε 1

+ δ 4

w i

w j

ε j

ε 1

+ δ 5

w i

w j

= 1.

et on utilise la d´ efinition de A ⁽⁵⁾ ₃ (δ).

6.2.2 Deuxi` eme cas: Au moins une sous–somme stricte s’annule

6.2.2.1 Preuve que la somme T ne se d´ ecompose pas en trois sous–sommes nulles de deux termes chacune

Pour chacune des 15 partitions de l’ensemble E =

(1, i), (1, j), (i, 1), (i, j), (j, 1), (j, i)

en trois sous–ensembles de deux ´ el´ ements, disons E = E 1 ∪ E 2 ∪ E 3 , au moins un des ensembles E 1 , E 2 , E 3

peut s’´ ecrire {(j 1 , j 2 ) , (` 1 , ` 2 )} avec

j ₁ = ` <sub>1</sub> ou j <sub>2</sub> = ` ₂ ou (j ₁ , j ₂ ) = (` <sub>2</sub> , ` ₁ ).

Aucune sous–somme ±(β j

1

α e _j

₂

− β _`

₁

α e _`

₂

) sur un ensemble ` a deux termes {(j 1 , j <sub>2</sub> ) , (` ₁ , ` <sub>2</sub> )} avec j <sub>1</sub> = ` ₁ (donc j ₂ 6= ` ₂ ) ne s’annule, car

β _j

₁

( α e _j

₂

− α e _`

₂

) 6= 0.

De mˆ eme, aucune sous–somme sur un ensemble {(j ₁ , j ₂ ) , (` <sub>1</sub> , ` ₂ )} avec j ₂ = ` <sub>2</sub> (donc j <sub>1</sub> 6= ` ₁ ) ne s’annule, car

(β j

₁

− β `

₁

) α e j

₂

6= 0.

Enfin, aucune sous–somme sur un ensemble {(j 1 , j 2 ) , (` 1 , ` 2 )} avec (j 1 , j 2 ) = (` 2 , ` 1 ) ne s’annule, car β _j

₁

α e _j

₂

− β _j

₂

α e _j

₁

= ( α e _j

₂

− α e _j

₁

)x 6= 0.

On en d´ eduit que la somme T de (6.2) ne se d´ ecompose pas en trois sous–sommes nulles de deux termes.

6.2.2.2 Cas o` u T se d´ ecompose en deux sous–sommes nulles de trois termes

Supposons T = T 1 + T 2 avec T 1 et T 2 sous–sommes de trois termes et T 1 = T 2 = 0. Alors aucune sous–somme stricte de T 1 ni de T 2 ne s’annule.

• Supposons que deux des trois indices des β dans T 1 sont ´ egaux. Il existe alors une permutation (j 1 , j 2 , j 3 ) = σ(1), σ(i), σ(j)

telle que l’on ait, soit

sgn(σ)T 1 = β j

₁

α e j

₂

− β j

₁

α e j

₃

+ β j

₃

α e j

₁

et sgn(σ)T 2 = β j

₂

α e j

₃

− β j

₂

α e j

₁

− β j

₃

α e j

₂

, soit

sgn(σ)T 1 = β j

₁

α e j

₂

− β j

₁

α e j

₃

− β j

₃

α e j

₂

et sgn(σ)T 2 = β j

₂

α e j

₃

− β j

₂

α e j

₁

+ β j

₃

α e j

₁

. Commen¸ cons par le premier cas. Posons δ = (δ 1 , δ 2 ) et δ ⁰ = (δ ⁰ ₁ , δ ⁰ ₂ ) avec

δ 1 = α j

₂

α _j

₃

, δ 2 = γ j

₃

α j

₁

γ _j

₁

α _j

₃

, δ ⁰ ₁ = α j

₁

α _j

₃

, δ ₂ ⁰ = γ j

₃

α j

₂

γ _j

₂

α _j

₃

, de sorte que

δ 1

ε j

₂

ε j

₃

+ δ 2

w j

₃

w j

₁

ε j

₁

ε j

₃

= δ ⁰ ₁ ε j

₁

ε j

₃

+ δ ₂ ⁰ w j

₃

w j

₂

ε j

₂

ε j

₃

= 1.

Il en r´ esulte que si on d´ efinit ξ ₁ := ε _j

₂

/ε _j

₃

et ξ ₂ := ε _j

₁

/ε _j

₃

, on a ξ ₁ ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ) et ξ ₂ ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ), tandis que ξ ₁ ⁻¹ = ε j

₃

/ε j

₂

∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ) et ξ 2 −1 = ε j

₃

/ε j

₁

∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ). Comme

ξ ₁ ξ ₂ ⁻¹ = ε _j

₂

ε j

₁

et ξ ⁻¹ ₁ ξ ₂ = ε _j

₁

ε j

₂

,

l’un des nombres ξ ₁ , ξ ₂ , ξ ₁ ⁻¹ , ξ ₂ ⁻¹ , ξ ₁ ξ ₂ ⁻¹ , ξ ₁ ⁻¹ ξ ₂ est ´ egal ` a ε _i /ε ₁ . Enfin, comme 1 ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ) ∩ A ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ), on pose

A ₃ (γ, i) =

ϑ ₁ ϑ ₂ ∈ O _S ^× | ϑ ₁ ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ), ϑ ₂ ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ) . On v´ erifie encore que A ₃ (γ, i) a au plus κ ₄ ´ el´ ements et qu’il contient ε _i /ε ₁ .

Passons au deuxi` eme cas. Posons δ 1 = α _j

₃

α j

₂

, δ 2 = γ _j

₃

γ j

₁

, δ ⁰ ₁ = α _j

₃

α j

₁

, δ ₂ ⁰ = γ _j

₃

γ j

₂

·

Nous avons

δ 1

ε _j

₃

ε j

₂

+ δ 2

w _j

₃

w j

₁

= δ ⁰ ₁ ε _j

₃

ε j

₁

+ δ ₂ ⁰ w _j

₃

w j

₂

= 1.

Par cons´ equent, si nous posons δ = (δ ₁ , δ ₂ ), δ ⁰ = (δ ₁ ⁰ , δ ₂ ⁰ ), ξ ₁ := ε _j

₃

/ε _j

₂

et ξ ₂ := ε _j

₃

/ε _j

₁

, nous avons ξ 1 ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ), ξ 2 ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ), et aussi

ξ ⁻¹ ₁ = ε _j

₂

ε j

₃

∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ), ξ ₂ ⁻¹ := ε _j

₁

ε j

₃

∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ).

Enfin

ξ ⁻¹ ₁ ξ ₂ = ε _j

₂

ε j

₁

et ξ ₁ ξ ⁻¹ ₂ = ε _j

₁

ε j

₂

· Nous posons donc

A 3 (γ, i) =

ϑ 1 ϑ 2 | ϑ 1 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ) , ϑ 2 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ) .

• Supposons que les trois indices des β dans T 1 sont distincts mais que deux des trois indices des α e dans T 1 sont ´ egaux. Il existe alors une permutation (j 1 , j 2 , j 3 ) = σ(1), σ(i), σ(j)

telle que sgn(σ)T 1 = β j

₁

α e j

₂

− β j

₂

α e j

₁

− β j

₃

α e j

₂

et sgn(σ)T 2 = −β j

₁

α e j

₃

+ β j

₂

α e j

₃

+ β j

₃

α e j

₁

.

Dans ce cas on pose

δ ₁ = γ j

₃

γ _j

₁

, δ ₂ = γ j

₂

α j

₁

γ _j

₁

α _j

₂

, δ ⁰ ₁ = γ j

₂

γ _j

₁

, δ ₂ ⁰ = γ j

₃

α j

₁

γ _j

₁

α _j

₃

, de sorte que

δ 1

w j

₃

w j

₁

+ δ 2

w j

₂

w j

₁

ε j

₁

ε j

₂

= δ ⁰ ₁ w j

₂

w j

₁

+ δ ₂ ⁰ w j

₃

w j

₁

ε j

₁

ε j

₃

= 1.

Ainsi les S–unit´ es

ξ ₁ := w _j

₂

w j

1

, ξ ₂ := w _j

₃

w j

1

, ξ ₃ := w _j

₂

w j

1

ε _j

₁

ε j

2

et ξ ₄ := w _j

₃

w j

1

ε _j

₁

ε j

3

v´ erifient

ξ 1 ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ), ξ 2 ∈ A ⁽²⁾ ₃ (δ), ξ 3 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ), ξ 4 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ), avec δ = (δ 1 , δ 2 ), δ ⁰ = (δ ⁰ ₁ , δ ⁰ ₂ ), et on a

ξ ₃ ξ ⁻¹ ₁ = ε _j

₁

ε j

₂

, ξ ⁻¹ ₃ ξ ₁ = ε _j

₂

ε j

₁

, ξ ₄ ξ ₂ ⁻¹ = ε _j

₁

ε j

₃

, ξ ₂ ξ ⁻¹ ₄ = ε _j

₃

ε j

₁

, ξ ⁻¹ ₂ ξ ₃ ⁻¹ ξ ₁ ξ ₄ = ε _j

₂

ε j

₃

, ξ ₂ ξ ₃ ξ ⁻¹ ₁ ξ ₄ ⁻¹ = ε _j

₃

ε j

₂

· On pose donc

A 3 (γ, i) =

ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 ϑ 4 | ϑ 1 , ϑ 2 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ) , ϑ 3 , ϑ 4 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ) .

• Supposons que les trois indices des β ainsi que les trois indices des α e dans T 1 sont distincts.

Il existe alors une permutation (j 1 , j 2 , j 3 ) = σ(1), σ(i), σ(j)

telle que

sgn(σ)T ₁ = β _j

₁

α e _j

₂

+ β _j

₂

α e _j

₃

+ β _j

₃

α e _j

₁

et sgn(σ)T ₂ = −β _j

₁

α e _j

₃

− β _j

₂

α e _j

₁

− β _j

₃

α e _j

₂

. On pose

δ 1 = − γ j

₃

α j

₁

γ j

₁

α j

₂

, δ 2 = − γ j

₂

α j

₃

γ j

₁

α j

₂

, δ ⁰ ₁ = − γ j

₂

α j

₁

γ j

₁

α j

₃

, δ ₂ ⁰ = − γ j

₃

α j

₂

γ j

₁

α j

₃

, de sorte que

δ ₁ w _j

₃

w j

₁

ε _j

₁

ε j

₂

+ δ ₂ w _j

₂

w j

₁

ε _j

₃

ε j

₂

= δ ⁰ ₁ w _j

₂

w j

₁

ε _j

₁

ε j

₃

+ δ ₂ ⁰ w _j

₃

w j

₁

ε _j

₂

ε j

₃

= 1.

Ainsi les S–unit´ es

ξ 1 := w _j

₃

w j

₁

ε _j

₁

ε j

₂

, ξ 2 := w _j

₂

w j

₁

ε _j

₃

ε j

₂

, ξ 3 := w _j

₂

w j

₁

ε _j

₁

ε j

₃

et ξ 4 := w _j

₃

w j

₁

ε _j

₂

ε j

₃

v´ erifient

ξ 1 , ξ 2 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ), ξ 3 , ξ 4 ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ), avec δ = (δ 1 , δ 2 ), δ ⁰ = (δ ⁰ ₁ , δ ⁰ ₂ ), et on a

ξ 3 ξ 4

ξ ₁ ξ ₂ = ε ³ _j

2

ε ³ _j

3

, ξ ₁ ² ξ 3

ξ ₂ ξ ² ₄ = ε ³ _j

1

ε ³ _j

2

, ξ ² ₂ ξ 4

ξ ₁ ξ ₃ ² = ε ³ _j

3

ε ³ _j

1

,

de sorte que l’on a aussi en mains les inverses de ces trois derniers nombres. On pose donc A ₃ (γ, i) =

ζ ∈ O _S ^× | il existe ϑ ₁ , ϑ ₂ , ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ) et ϑ ₃ , ϑ ₄ ∈ A e ⁽²⁾ ₃ (δ ⁰ ) tels que ζ ³ ∈ ϑ ² ₁ ϑ 3

ϑ ₂ ϑ ² ₄ , ϑ ₃ ϑ ₄ ϑ 1 ϑ 2

.

6.2.2.3 Cas o` u T se d´ ecompose en exactement deux sous–sommes nulles, l’une de deux termes et l’autre de quatre termes

D’apr` es ce que nous avons vu au §6.2.2.1, il existe une permutation (j ₁ , j ₂ , j ₃ ) = σ(1), σ(i), σ(j) telle que

sgn(σ)T 1 = α e j

₂

β j

₁

+ α e j

₃

β j

₂

et sgn(σ)T 2 = β j

₃

α e j

₁

− β j

₁

α e j

₃

− α e j

₁

β j

₂

− α e j

₂

β j

₃

pour laquelle aucune sous–somme stricte de T 2 ne s’annule, alors que T 1 = T 2 = 0. On pose δ 1 = α j

₂

α j

₁

, δ 2 = γ j

₁

α j

₃

γ j

₃

α j

₁

, δ 3 = γ j

₂

γ j

₃

, δ = (δ 1 , δ 2 , δ 3 ), de sorte que

δ 1

ε j

₂

ε _j

₁

+ δ 2

w j

₁

w _j

₃

ε j

₃

ε _j

₁

+ δ 3

w j

₂

w _j

₃

= 1.

Ainsi les S–unit´ es

ξ 1 := ε j

₂

ε j

₁

, ξ 2 := w j

₁

w j

₃

ε j

₃

ε j

₁

et ξ 3 := w j

₂

w j

₃

appartiennent ` a A e ⁽³⁾ ₃ (δ). La relation T 1 = 0 donne w j

₁

w j

₂

ε j

₂

ε j

₃

= − γ j

₂

α j

₃

γ j

₁

α j

₂

· On trouve alors

ε ² _j

₂

ε ² _j

3

= − γ _j

₂

α _j

₃

γ j

₁

α j

₂

ξ 1 ξ ₂ ⁻¹ ξ 3 , ε ² _j

₁

ε ² _j

3

= − γ _j

₂

α _j

₃

γ j

₁

α j

₂

ξ ⁻¹ ₁ ξ ₂ ⁻¹ ξ 3 . On pose donc

A ₃ (γ, i) = A e ⁽³⁾ ₃ (δ) [

ζ ∈ O ^× _S | il existe ϑ ₁ , ϑ ₂ , ϑ ₃ ∈ A e ⁽³⁾ ₃ (δ) tels que ζ ^±2 = − ϑ ₁ ϑ ₂ ϑ ₃ γ _j

₂

α _j

₃

γ _j

₁

α _j

₂

.

6.3 Fin de la d´ emonstration

Posons u 1 = 1, u 2 = ε 2 /ε 1 et u 3 = ε 3 /ε 1 . On a donc u i ∈ A 3 (γ, i) pour i = 1, 2, 3. On d´ efinit α ⁰ _i := α i u i , de sorte que

α e i = α i ε i = ε 1 α i u i = ε 1 α ⁰ _i . On pose encore w = ε 1 y. En ´ eliminant x et w entre les trois ´ equations

(6.4) β i = x − α ⁰ _i w (i = 1, 2, 3),

on trouve

β 1 (α ⁰ ₂ − α ⁰ ₃ ) + β 2 (α ⁰ ₃ − α ⁰ ₁ ) + β 3 (α ⁰ ₁ − α ⁰ ₂ ) = 0,

ce qui signifie que (β 1 , β 2 , β 3 ) v´ erifie la propri´ et´ e demand´ ee ` a (t 1 , t 2 , t 3 ) dans l’´ equation (6.1). Il en r´ esulte que les ´ el´ ements v i := β i /β 1 (i = 1, 2, 3) appartiennent ` a A 4 (u).

Posons e η = w 1 , η = ε 1 . On a donc β 1 = q ⁻¹ γ 1 e η. Soit i ∈ {2, 3}. On calcule y = η ⁻¹ w en ´ eliminant x entre deux des ´ equations (6.4) :

y = η ⁻¹ e ηy 0 , avec y 0 = γ 1 (v 1 − v i ) q(α _i ⁰ − α ⁰ ₁ ) · On utilise encore une des ´ equations (6.4) pour trouver x :

x = e ηx 0 , avec x 0 = q ⁻¹ γ 1 + α ⁰ ₁ y 0 . On pose enfin

ε ₀ = γ ₁ ³ v 2 v 3

q ⁿ µ ,

de sorte que ε = η e ³ ε 0 , ce qui montre que les solutions (x, y, z, ε, ε 1 , ε 2 , ε 3 ) et (x 0 , y 0 , z 0 ε 0 , 1, u 2 , u 3 ) sont S ³ –d´ ependantes.

. A une solution (x, y, z, ε, ε ` 1 , ε 2 , ε 3 ) de l’´ equation (3.1), nous avons associ´ e un ´ el´ ement k ⁰ de A 2 , puis un

´ el´ ement γ de A 1 (k ⁰ ) (rappelons qu’il y a au plus κ 6 ´ el´ ements dans la r´ eunion des A 1 (k ⁰ ) quand k ⁰ d´ ecrit A ₂ ), puis un ´ el´ ement u de {1} × A ₃ (γ, 2) × · · · × A ₃ (γ, 3) (il y en a au plus κ ² ₄ ), et enfin un ´ el´ ement v de A 4 (u) ² (il y en a au plus κ ² ₃ ). Nous en avons conclu que la solution de d´ epart ´ etait dans la mˆ eme classe de S ³ –d´ ependance que (x 0 , y 0 , z 0 ε 0 , 1, u 2 , u 3 ). Le th´ eor` eme 3.1 en r´ esulte, avec

(6.5) κ ₁ = κ ₆ κ ² ₃ κ ² ₄ .

Comme annonc´ e, cette constante κ 1 ne d´ epend que de K, N S (µ), α 1 , α 2 , α 3 et du rang s du groupe O _S ^× . Rappelons que

κ 3 = 1 + 2 ^8s+24 , κ 4 = 1 + (2 ⁴³⁷⁵ 3 ²⁵⁰ ) ^s , κ 6 = d(m) ² κ ³ ₅ m

avec m = N _S (q ³ µ), o` u q est le plus petit entier rationnel positif tel que qα _i ∈ O _S pour i = 1, 2, 3, κ 5 = 2 ^r+1 π ^r

²

|D K | ^−1/2 e ^c

³

^dR

^K

ν ^tdh

^K

(1 + θ) ^d ,

o` u r est le rang du groupe des unit´ es de K, d son degr´ e, D K son discriminant, h K son nombre de classes, R K son r´ egulateur, ν est le plus grand des nombres |N(P i )| (1 ≤ i ≤ t) quand P 1 , . . . , P t sont les id´ eaux premiers de O K au–dessus des places ultram´ etriques de K dans S,

θ ≤ |D _K | ^1/2 , c ₃ = 1

2 r ^r+1 δ _K ^−(r−1)

et δ K est la constante (de Blanksby et Mongomery, Dobrowolski et Voutier, cf. [3]) telle que tout entier alg´ ebrique non nul α ∈ K qui n’est pas une racine de l’unit´ e v´ erifie h(α) ≥ δ K /d.

7 Preuve du corollaire 3.6

. On utilise le th´ eor` eme 3.1 avec

n = d, µ = k/a 0 , α i = σ i (α) et ε i = σ i (ε) pour i = 1, . . . , d.

L’hypoth` ese [Q(αε) : Q] ≥ 3 du corollaire 3.6 garantit que, quitte ` a permuter les α i , l’hypoth` ese Card{α 1 ε <sub>1</sub> , α <sub>2</sub> ε <sub>2</sub> , α <sub>3</sub> ε <sub>3</sub> } ≥ 3 du th´ eor` eme 3.1 est satisfaite.

Soient (x, y, ε, z ₁ , . . . , z _t ) et (x ⁰ , y ⁰ , ε ⁰ , z ₁ ⁰ , . . . , z ⁰ _t ) deux solutions dans Z ² ×O ^× _S × N ^t et S ³ –d´ ependantes de l’´ equation (3.3), satisfaisant pgcd(xy, p ₁ · · · p _t ) = pgcd(x ⁰ y ⁰ , p ₁ · · · p _t ) = 1. La condition de S ³ –d´ ependance signifie qu’il existe des S–unit´ es η et η e dans O _S ^× telles que

x ⁰ = x η, y e ⁰ = yη ⁻¹ e η, p ^z

0 1

1 · · · p ^z

0

t

t

= p ^z ₁

¹

· · · p ^z _t

^t

e η ⁿ , σ i (ε ⁰ ) = σ i (ε)η (1 ≤ i ≤ n).