Lycée Marsa Erriadh 4ème année
2013/2014
Devoir de Maison N°3 Section : Maths
M.Messaoudia M.Zribi
Exercice 1 :
Le plan est orienté dans le sens direct. Soit ABCD un losange de centre O, I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [AD] et
(AB, AD) (2 ) 3 π π
≡ .
1) a) Montrer qu'il existe un seul antidéplacement f qui transforme A en B et B en D.
b) Caractériser f.
c) Déterminer l'image du triangle ABD par f.
2) Soit s l'antidéplacement qui transforme l'ensemble {A,B,D} en l'ensemble {B,C,D}
et tel que s(A)=C.
a) Déterminer l'image du segment [BD] par s.
b) En déduire que s est la symétrie orthogonale d'axe (BD).
3) Soit g un antidéplacement qui transforme l'ensemble {A,B,D} en l'ensemble {B,C,D} et tel que g(A)=D.
a) Montrer que g(D)=B.
b) Caractériser alors g.
Exercice 2 :
Dans le plan orienté, on donne un losange ABKI, tel que
(AB, AI) (2 ) 3 π π
≡ On note : J = A * I et O = I * K, C=S (A)I et B' = S (K) I
On se propose de caractériser les isométries f qui transforment A en I et I en K 1) On pose g = f o TB A
a) Déterminer g (B) et g (K).
b) Caractériser alors les isométries g.
c) En déduire que : f = S(AK)o tAB ou f =
(K, ) 3
R π
− otAB 2) On pose f1 =
(K, ) 3
R π
− otAB
On désigne par H le projeté orthogonal de K sur la droite (AB) a) Déterminer les axes
( ) ( )
∆ et ∆' telles que :(K, ) 3
R π = S∆ o S(BK) et
(B, ) 3
R π
− = S(BK) oS∆’ b) En déduire que :
(K, ) 3
R π o
(B, ) 3
R π
− = tAB c) Identifier alors l’isométrief1. 3) On pose f2 = S(AK)o tAB et D = S (A) B a) Montrer que f2 (B’) = B et f2 (B) = C
b) Montrer que f2 est une symétrie glissante et préciser sa forme réduite.
4) Soit ϕ = f -12 o f1
a) Déterminer ϕ (A) , ϕ (I) et ϕ(B) puis caractériser ϕ .
b) Déterminer l’ensemble des points M du plan qui vérifient : f (M) = f (M)1 2 .
Lycée Marsa Erriadh 4ème année
2013/2014
Devoir de Maison N°3 Section : Maths
M.Messaoudia M.Zribi
Exercice 3:
Les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) sont définies sur N par :
0
n 1 n
x 3
x + 2x 1 ; n IN
=
= − ∈
et
0
n 1 n
y 1
y + 2y 3 ; n IN
=
= + ∈
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, xn = 2n+1 + 1.
2. a) Calculer le PGCD de x5 et x6, puis celui de x2010 et x2011. Que peut-on en déduire pour x5 et x6 d'une
part, pour x2010 et x2011 d'autre part ?
b) xn et xn+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ? 3. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2xn – yn = 5.
b) Exprimer yn en fonction de n.
c) En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la
division euclidienne de 2p par 5.
d) On note dn le PGCD de xn et yn pour tout entier naturel n.
Démontrer que l'on a: dn = 1 ou dn = 5 ; en déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux.
