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113 Liban juin 2003
Les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) sont définies surNpar : x0=3 et xn+1=2xn−1 y0=1 et yn+1=2yn+3.
1.
Démontrer par recurrence que pour tout entier natureln,xn=2n+1+1.2.
1. Calculer le pgcd dex 8etx9, puis celui dex2002etx2003. Que peut-on en déduire pourx8etx9 d’une part, pourx2002etx2003d’autre part ?2. xnetxn+1sont-ils premiers entre eux pour tout entier natureln?
3.
1. Démontrer que pour tout entier natureln, 2x n−yn=5.2. Exprimerynen fonction den.
3. En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l’entier naturelple reste de la division euclidienne de 2ppar 5.
4. On notednle pgcd dexnetynpour tout entier natureln.
Démontrer que l’on adn=1 oudn=5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturelsntels que xnetynsoient premiers entre eux.
Exercices de spécialité 122
