Classe de terminale S Année scolaire 2006-2007
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Interrogation Division euclidienne - congruence
Le nombre 13, pour certains c’est un porte bonheur, pour d’autre c’est juste l’occasion de faire des vérifications de connaissances.
Exercice 1
Soit et deux entiers naturels non nuls.
1) On suppose que (42 37) (7 4). Montrer que 2) En déduire les valeurs possibles de .
n a
a n a n a
a
| + | + |13.
Exercice 2
1) Ecrie la division euclidienne de 1 000 par 13.
Soit n un entier naturel.
2) Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de103 n par 13.
3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de103n+1+10 par 133n . 4) En déduire le reste de la division euclidienne par 13 de 11 000 000 000 000.
5) Quel est le reste de la division euclidienne par13 de 25 10× 15+1.
Exercice 3
0 1 2 3
4 4 1 4 2 4 3
1) Montrer que 5 1(13), 5 5(13), 5 1(13), 5 5(13) 2) En déduire que pour tout entier naturel :
5 1(13) ; 5 5(13) ; 5 1(13) ; 5 5(13).
3) Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels
k k k k
k
+ + +
≡ ≡ ≡ − ≡ −
≡ ≡ ≡ − ≡ −
que: 52n+ ≡5n 0(13).
