1. La symétrie orthogonale

(1)

Chapitre 8 – Transformations du plan 1

1. La symétrie orthogonale

a) Pliage

À partir d’une feuille A5 :

- Plie la feuille en deux horizontalement - Plie ensuite la feuille en deux verticalement

- En ayant les plis positionnés à gauche et en haut, dessine un F en gras ( ) - Découpe ce F à travers les 4 épaisseurs de ta feuille puis déplie-la.

Compare entre eux les différents F représentés sur ta feuille. Quelles sont les différences, les ressemblances ?

Colle ci-dessous ton découpage :

Pour commencer, nous allons nous intéresser au passage de F1 à F2.

(2)

Chapitre 8 – Transformations du plan 2 b) Avec quadrillage

Dans le quadrillage ci-dessous, un G est tracé. La ligne indique un pli. Sans effectuer le pliage, dessine l’emplacement du nouveau G obtenu (comme pour le F n°2 de notre situation initiale).

Explique ci-dessous comment tu as procédé, ce à quoi tu as été attentif puis compare avec ton voisin :

(3)

Chapitre 8 – Transformations du plan 3 c) Sans quadrillage

Où se trouvera le triangle ABC ci-dessous si on plie la feuille sur la droite d indiquée ? Trace cette image.

A quoi doit-on être attentif ?

Vocabulaire

Les trois transformations du plan que nous voyons cette année s’appellent des isométries (qui signifie

« même mesure ») parce qu’elles conservent les longueurs (les objets ont la même taille).

La figure de base est appelée figure initiale tandis que la figure obtenue après isométrie est appelée image.

L’image du point A se note généralement A’ (cela se lit « A prime »).

Une trace est un segment (généralement en pointillé) qui relie un point à son image.

(4)

Chapitre 8 – Transformations du plan 4 d) Synthèse

Symétrie orthogonale

Notation : 𝑺𝒅 𝑨 =𝑨^! qui se lit « A prime est l’image de A par la symétrie orthogonale d’axe d ».

Verbe d’action : Se retourner

Élément caractéristique : un axe de symétrie (une droite).

Définition : C’est une isométrie où chaque point de la figure est envoyé perpendiculairement de

l’autre côté de l’axe et à la même distance de celui-ci

Film de construction :

Construction de l’image du point A par symétrie orthogonale d’axe d.

1. On trace une

perpendiculaire à l’axe d passant par le point A

2. Pour reporter la distance, on marque l’intersection entre l’axe d et la perpendiculaire par le point O. On trace un arc de rayon [AO] de l’autre côté de l’axe d.

3. L’intersection entre la perpendiculaire et l’arc de cercle est l’image du point A par symétrie

orthogonale d’axe d.

On appelle ce point A’.

Remarque : la distance peut également être reportée à l’équerre ou à la latte.

(5)

Chapitre 8 – Transformations du plan 5 Exercice 1

Trace l’image des figures ci-dessous par la symétrie orthogonale demandée : a) 𝑺_𝒇 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′

b) 𝑺_𝒌 𝑨𝑫𝑩𝑪 =𝑨^!𝑫′𝑩′𝑪′

(6)

Chapitre 8 – Transformations du plan 6 c) 𝑺_𝑫𝑬 𝑨𝑩𝑪 =𝑨^!𝑩′𝑪′

d) 𝑺_𝒇 𝑨𝑩𝑪𝑫 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′

(7)

Chapitre 8 – Transformations du plan 7 e) 𝑺_𝑭𝑮 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′

f) 𝑺_𝑨𝑫 𝑨𝑩𝑫𝑪 =𝑨^!𝑫′𝑩′𝑪′

ABC est un triangle isocèle en A

(8)

2. La symétrie centrale

a) Pliage

Pour rappel, voici un dessin de notre pliage – découpage initial :

Nous allons nous intéresser au mouvement qui permet, en une seule étape, de passer du F n°1 au F n° 3.

Observe ce mouvement et note tes premières observations :

(9)

Dans le quadrillage ci-dessous, un G est tracé. Les 2 lignes indiquent des plis. Sans effectuer les pliages, dessine l’emplacement du G obtenu après succession de ces deux pliages (comme le F n° 3 de la page précédente).

Mise en commun :

(10)

Où se trouvera le triangle ABC s’il tourne d’un demi-tour autour du point R donné ? Trace cette image.

(11)

Symétrie centrale

Notation : 𝑺! 𝑨 =𝑨^! qui se lit « A prime est l’image de A par la symétrie centrale de centre R ».

Verbe d’action : Tourner (ou pivoter) d’un demi-tour (ou de 180°)

Élément caractéristique : un centre (un point).

Définition : C’est une isométrie où chaque point de la figure est envoyé de l’autre côté du centre à la

même distance du centre.

Construction de l’image du point A par symétrie centrale de centre O.

1. On trace une demi-droite

[AO 2. On trace un arc de cercle

de rayon [OA] 3. L’intersection entre l’arc de cercle et la demi-droite est l’image de A par symétrie centrale de centre O.

On appelle ce point A’.

Remarques :

La distance peut également être reportée à l’équerre ou à la latte.

Pour différencier une symétrie centrale d’une symétrie orthogonale dans la notation, il faut regarder ce qui se trouve en indice du « S » :

- Une lettre majuscule = un point = symétrie centrale.

- 2 lettres majuscules ou une lettre minuscule = une droite = symétrie orthogonale Exemples : 𝑺! est une symétrie ; 𝑺! est une symétrie 𝑺!" est une symétrie

(12)

Trace l’image des figures ci-dessous par la symétrie centrale demandée : a) 𝑺_𝑫 𝑨𝑩𝑪 =𝑨^!𝑩′𝑪′

b) 𝑺_𝑭 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′

(13)

Chapitre 8 – Transformations du plan 13 c) 𝑺_𝑰 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′𝑮′𝑯′

d) 𝑺_𝑿 𝑨𝑩𝑪 =𝑨^!𝑩′𝑪′

(14)

Chapitre 8 – Transformations du plan 14 e) 𝑺_𝑽 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′𝑮′𝑯′

f) 𝑺_𝑪 𝑨𝑩𝑫𝑪 =𝑨^!𝑩′𝑫′𝑪′

(15)

3. La translation

a) Pliage

À partir d’une feuille A5

- Plie la feuille en deux horizontalement

- Replie ensuite la feuille en deux horizontalement - Sur une des faces, dessine un F en gras ( )

- Découpe ce F à travers les 4 épaisseurs de ta feuille puis déplie-la.

Colle ici ton découpage :

Nous allons maintenant nous intéresser au passage de F1 à F3.

(16)

Dans le quadrillage ci-dessous, un G est tracé. Les lignes indiquent des plis. Sans effectuer le pliage, dessine l’emplacement du nouveau G n°3 obtenu (voir page précédente)

Et où se trouvera la forme ci-dessous si elle effectue un glissement selon le vecteur donné ?

(17)

Où se trouvera le triangle ABC s’il glisse selon les informations données par le vecteur ci-dessous ?

(18)

Translation

Notation : 𝑇_!" 𝐻 =𝐻^! qui se lit « H prime est l’image de H par la translation de vecteur 𝐴𝐵 ».

Verbe d’action : Glisser

Élément caractéristique : un vecteur (flèche).

Définition : C’est une isométrie où chaque point de la figure glisse dans la même direction, dans le

même sens et avec la même longueur que le vecteur.

Construction de l’image du point A par translation de vecteur 𝑣.

1. On trace une parallèle au vecteur passant par le point A

2. On trace un arc de cercle dans le même sens, même direction et de même rayon que la longueur du vecteur.

3. L’intersection entre la parallèle et l’arc de cercle est l’image du point A par translation de vecteur 𝑣.

On appelle ce point A’

Remarque : La distance peut également être reportée à l’équerre ou à la latte.

(19)

Trace l’image des figures ci-dessous par la translation de vecteur demandée.

a) 𝑻_𝒖 𝑨𝑩𝑪 =𝑨^!𝑩′𝑪′

b) 𝑻_! 𝑨𝑩𝑪𝑫 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′

(20)

Chapitre 8 – Transformations du plan 20 c) 𝑻_𝑨𝑩 𝑨𝑩𝑪𝑫 =𝑨^!𝑩′𝑪′𝑫′

d) 𝑻_𝒖 𝑨𝑩𝑪 =𝑨^!𝑩′𝑪′

(21)

Trace l’image de chaque figure par la transformation du plan demandée :

a) S

C

b) 𝑇

_!"

c) S

a

Exercice 5

Trace l’image de chaque figure par la symétrie orthogonale d’axe d donné.

(22)

En respectant les consignes suivantes, tu parviendras à reconstituer un objet volant bien identifié :

Trace l’image de la figure n°1 par la symétrie centrale de centre A.

Trace l’image de la figure n°2 par la symétrie orthogonale d’axe b.

Trace l’image de la figure n°3 par la symétrie orthogonale d’axe a.

Trace l’image de la figure n°4 par la translation de vecteur BC.

(23)

4. Retrouver l’élément caractéristique

a) Découverte Exercice 7

Voici la construction de l’image du quadrilatère ABCD par translation de vecteur 𝑣. Détermine l’objet d’origine à partir du point B que l’on connait déjà.

Exercice 8

Voici le losange A’B’C’D’ image du losange ABCD par symétrie orthogonale d’axe d. Trace l’axe d à l’aide des informations mise à ta disposition sur le schéma et termine le losange ABCD

(24)

Voici le cerf-volant A’B’C’D’ image du cerf-volant ABCD par symétrie centrale. Á partir des

informations mise à ta disposition sur le schéma, détermine le centre de symétrie et trace l’objet d’origine.

b) Synthèse

Pour retrouver l’élément caractéristique : a) D’une translation :

Le vecteur est une flèche qui relie un point et son image.

b) D’une symétrie centrale :

Le centre est le milieu de chaque trace (rappel : une trace est un segment qui relie un point à son image).

Le centre est aussi le point d’intersection de toutes les traces.

c) D’une symétrie orthogonale :

L’axe est la droite qui passe par perpendiculairement par le milieu d’une trace (rappel : cette droite s’appelle la médiatrice du segment).

L’axe est également la droite qui passe par les milieux de toutes les traces.

(25)

Chapitre 8 – Transformations du plan 25 Exercice 10 (Extrait de l’examen de juin de 2017)

Observe la planche d'isométries ci-dessous et réponds aux questions suivantes :

a) Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer de la figure 1 à la figure 2 ? Retrouve son élément caractéristique et trace-le sur le dessin.

b) Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer de la figure 1 à la figure 3 ? Retrouve son élément caractéristique et trace-le sur le dessin.

c) Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer de la figure 1 à la figure 4 ? Retrouve son élément caractéristique et trace-le sur le dessin.

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5. Frises et pavages

a) Frise

Une frise est un motif qui se répète (généralement horizontalement) par translation. L’image de base qui sert à créer toute la frise (par translation) est appelé le motif minimal de cette frise.

Quelques exemples en architecture :

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Goutte_(architecture)

Royal Alcazar de Séville (Espagne) :

Source : inconnue (retrouvé dans une préparation d’un stagiaire)

Exercice 11

Dans chaque frise ci-dessus, encadre le motif minimal et repère, outre la translation, les autres transformations du plan illustrées.

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Chapitre 8 – Transformations du plan 27 b) Pavage

Un pavage est une reproduction d’une figure qui permet de recouvrir l’ensemble du plan (une feuille de papier par exemple) sans trou et sans superposition.

Voici un exemple de pavage hexagonal : Le mathématicien Suisse Escher est connu pour ses pavages :

(28)

Pour chacun des deux pavages ci-dessous :

a) Trace l’élément caractéristique de la transformation du plan qui envoie la figure noire sur la figure grise.

b) Colorie en trois autre couleurs trois figures de ce pavage et leur image par la transformation du plan dont tu as trouvé l’élément caractéristique en a).

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Chapitre 8 – Transformations du plan 29 Modèle p.15

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