Nom :
Classe : TMATHS4 Te st n°3
Congruences dans Z Date : 16/11/2020 Note : … / 10
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Résoudre des équations avec des congruences dans Z Déterminer si des propositions sont vraies ou fausses.
Utiliser les congruences pour déterminer le reste d'une division euclidienne.
Utiliser les congruences pour modéliser et résoudre un problème
Exercice 1 : Résoudre dans Z … / 5
a) ≡ [ ]
b) ≡ [ ] et < <
c) ≡ [ ]
Exercice 2 : Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses ? Justifier. … / 5
• Affirmation 1 : ≡ [ ] • Affirmation 2 : = [ ]
• Affirmation 3 : L'équation ≡ [ ] n'a pas de solution dans Z.
3
1 3x 7 8
x¡6
-25
17¡x 2 13 x 5
457 2 8 367 -11 9
x2+x+ 1 0 4
• Affirmation 4 : Soient et deux entiers naturels. ≡ [ ] ⇔ ≡ [ ] ou ≡ [ ] Indication : vous pourrez compléter la table de multiplication suivante :
≡ … [ ] ≡ … [ ]
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Exercice 3 (Bonus) : En utilisant les congruences : … / 3
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
2. A la pointe ouest de l'île de Ré, se situe le grand phare des baleines.
L'escalier qui mène au sommet à un nombre de marches compris entre 246 et 260. Ted et Laure sont deux sportifs. Laure, qui est la plus jeune, monte les marches 4 par 4 et à la fin il lui en reste 1 à monter.
Ted, quant à lui, monte les marches 3 par 3. A la fin, il lui en reste 2.
Combien l'escalier compte-t-il de marches ?
2 020£2 022£2 023 11
a b a£b 0 6 a 0 6 b 0 6
a 6
b 6
Correction du Test n°3 Exercice 1 : Résoudre dans Z
a) ≡ [ ] ≡ [ ] ≡ [ ] Or =
Donc ≡ [ ]
S = { , avec ∈ Z }
b) ≡ [ ] et < <
≡ [ ] ≡ [ ] ≡ [ ]
Donc est de la forme , avec ∈ Z.
La condition < < impose de restreindre l'ensemble des solutions à : S = { ; ; }
c) ≡ [ ]
On dresse un tableau de congruences :
Si ≡ … [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7
Alors ≡ … [ ] 0 3 6 9 ≡ 1 12 ≡ 4 15 ≡ 7 18 ≡ 2 21 ≡ 5 On en déduit : ≡ [ ] ⇔ ≡ [ ]
S = { , avec ∈ Z }
Exercice 2 : Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses ? Justifier.
• Affirmation 1 : ≡ [ ]
En posant la division euclidienne de par on obtient : = avec ≤ <
Donc ≡ [ ] et l'affirmation 1 est fausse.
• Affirmation 2 : = [ ]
= et est divisible par , puisque la somme de ses chiffres ( ) est divisible par . Ainsi l'affirmation 2 est vraie.
• Affirmation 3 : L'équation ≡ [ ] n'a pas de solution dans Z.
On dresse un tableau de congruences :
Si ≡ … [ ] 0 1 2 3
Alors ≡ … [ ] 0 1 4 ≡ 0 9 ≡ 1
Et ≡ … [ ] 1 2 3 4 ≡ 0
Donc ≡ … [ ] 1 3 3 1
On en déduit que l'équation ≡ [ ] n'a pas de solution dans Z. Ainsi, l'affirmation 3 est vraie.
• Affirmation 4 : Soient et deux entiers naturels. ≡ [ ] ⇔ ≡ [ ] ou ≡ [ ] On dresse un tableau de congruences :
≡ … [ ] ≡ … [ ]
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 6 ≡ 0 8 ≡ 2 10 ≡ 4
3 0 3 6 ≡ 0 9 ≡ 3 12 ≡ 0 15 ≡ 3
4 0 4 8 ≡ 2 12 ≡ 0 16 ≡ 4 20 ≡ 2
5 0 5 10 ≡ 4 15 ≡ 3 20 ≡ 2 25 ≡ 1
Si ≡ [ ] et ≡ [ ] alors ≡ [ ] Ainsi, l'affirmation 4 est fausse.
1 3
3x 7 8 3
x
x 3
3£2 + 1 7
7 1 + 6 x¡6
x 1 3
x 3x
8 8
3x 7 8 x 5 8 5 + 8k k
5 + 8k k
457 8 457 8£57 + 1 0 1 8 457 1 8
367 + 11 378 378
3 + 7 + 8 = 18 9 9
457 2 8 367 -11 9
x2+x+ 1 0 4
x 4
4 x2
4 x+ 1
x2+x+ 1 4 x2+x+ 1 0 4
6
a b a£b 0 6 a 0 6 b 0 6
a 6 b
a£b 0 6 a 2 6 b 3 6
17¡x 2 13 -25 x 5 x
x 17¡2 13 15 13
x k
x 2 13
2 + 13k -25 x 5
-11 2 -24
Exercice 3 (Bonus) : En utilisant les congruences :
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par . En posant la division euclidienne de par on obtient :
= avec ≤ <
On en déduit :
• ≡ [ ]
• ≡ [ ] ≡ [ ] ≡ [ ]
• ≡ [ ] ≡ [ ]
Donc ≡ [ ] ≡ [ ] ≡ [ ] avec ≤ <
Ainsi, le reste de la division euclidienne de par vaut . 2. A la pointe ouest de l'île de Ré, se situe le grand phare des baleines.
L'escalier qui mène au sommet à un nombre de marches compris entre 246 et 260. Ted et Laure sont deux sportifs. Laure, qui est la plus jeune, monte les marches 4 par 4 et à la fin il lui en reste 1 à monter.
Ted, quant à lui, monte les marches 3 par 3. A la fin, il lui en reste 2.
Combien l'escalier compte-t-il de marches ?
3.
Laure monte les marches par et à la fin il lui en reste . Si on note le nombre de marches, on en déduit que ≡ [ ]
Ted monte les marches par et à la fin il lui en reste . Donc ≡ [ ].
Le nombre de marches est compris entre et . On utilise un tableau de congruences :
≡ … [ ] ≡ … [ ]
La seule valeur de comprise entre et telle que ≡ [ ] et ≡ [ ] est = . On en déduit que l'escalier compte marches.
2 020£2 022£2 023 11 2 020 11
2 020 11£183 + 7 0 7 11 2 020 7 11
11 11 2 022
2 023
7 + 2 9 11 10
2 020£2 022£2 023 11 11
11 - 2 11
- 1
7£(-2)£(-1) 14 3 11 0 3 11 2 020£2 022£2 023 11 3
x
x 1 4
4 4 1
2 3
3 x 2 3
246 260
x 4
x 3
x
x 246 260 x 1 4 x 2 3 x 257
257
246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 1
2
0 3 2 1
1
1 1 1 1 1
0 0 0
0 0
0 0 0
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
