Chapitre n°5: Suites, partie I.

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Chapitre n°5: Suites, partie I.

Objectifs.

O5_1.Modes de génération d'une suite numérique : Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites. [Il est important de varier les approches et les outils.][L'usage du tableur et la mise en œuvre d'algorithmes sont l'occasion d'étudier en particulier des suites géné- rées par une relation de récurrence].

Algorithme : mettre en œuvre des algorithmes permettant : - d'obtenir une liste de termes d'une suiite ; - de calculer un terme de rang donné.

O5_2. Sens de variation d'une suite numérique : Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite.

[Algorithme : On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des problèmes de comparaison d'évolutions et de seuils]

Durée approximative : ? cours.

Activité d'approche n°1 – Tableur utile

Voici les premiers termes de suites « logiques » de nombres :

● u : –4 ; –7 ; –10 ; …

● v : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …

● w : 1 9 ; 1

3 ; 1 ; …

● x : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; …

● y : 1 ; 1,5 ; 1,75 ; 1,875 ; 1,9375 ; …

1) Complétez ces listes jusqu'au dixième terme et exprimez le processus de fabrication de ces listes (on pourra utiliser un tableur).

2) Déterminez le vingtième terme.

Activité n°2 -Tableur nécessaire.

Partie I

Une équipe de chercheurs étudie l’évolution au cours du temps d’une population de fourmis à l’intérieur d’une fourmilière. Elle estime que, chaque mois, la population s’accroît naturellement de 5% et qu’en moyenne 100 fourmis ne re-

viennent pas à la fourmilière.

Le 1^er janvier 2010, la population est estimée à 4 000.

(2)

On veut déterminer si la population de fourmis peut tripler et dans l’affirma- tive, au bout de combien

de mois. Pour cela, on se propose d’utiliser un tableur :

On attribue le numéro 0 au mois de janvier 2010.

1) Quelle formule

faut-il entrer en C3 pour obtenir une estimation de la population de fourmis en février 2010 ? Donner la population le 1^er janvier 2013.

Formule en C3 : …...

Population au 1^er janvier 2013 : …...

2) Répondre au problème posé.

...

Partie II :

On introduit une nouvelle notation : pour tout entier naturel n, on note un la population au premier jour du n-ième mois après janvier 2010.

1) Donnez u0 puis u4.

u0 :...

u4 :...

2) Que représente un+1 par rapport à un ? Exprimer un+1 en fonction de un . ...

...

Partie III :

1) On considère l’ algorithme ci-contre :

Faire fonctionner l’algorithme pour n = 4. Que fait cet

algorithme ? ...

...

2) Faire tourner cet algorithme pour

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compléter le tableau ci-dessous :

Date Numéro du

mois

Population de fourmis

1^er janvier 2011

1êr janvier 2012 1êr janvier 2013 1êr janvier 2014

3) Ecrire un algorithme permettant de déterminer le mois à partir duquel la population de fourmis dépassera 100 000 individus.

...

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Cours n°1

Chapitre n°5: Suites – Partie 1.

I) Généralités

Définition n°1

Une suite u de nombres réels est une fonction associant à tout entier naturel n, un nombre réel u(n).

Remarques :

1) La suite u est définie sur N et le premier terme est … , le deuxième …, et, de manière générale, le i^émeterme est …

2) Le terme qui suit u_i est …, et celui qui précède u_i est …

3) Certaines suites ne sont définies qu'à partir de n=1 : le premier terme est … , le deuxième …, et, de manière générale, le i^émeterme est …

4) Le terme général de la suite u est le terme u_n.

5) Souvent, par abus de langage, la suite u est notée (u_n).

Exemple n°1 :

Soit u la suite définie par : un=n² + n + 1.

a. Calculez les termes u0, u1, u2, u5, et u10.

...

b. Quel est le terme de rang n – 5 ?

…...

...

c. Quel est le terme de range 2n ?

…...

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...

Exercice n°1

Ex.1 et 3 p.120 Exercice n°2

Ex.5 p.120 Exercice n°3

Ex.6 p.120

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Cours n°2

II) Mode de génération d'une suite

Il existe essentiellement deux modes de génération d'une suite : Définition n°2 : définition explicite

Une suite est définie de façon explicite lorsque le terme général est

exprimé en fonction de n, c'est à dire lorsqu'il existe une fonction f, définie sur [0;+∞[ et vérifiant : un = …...

Exemple n°2 :

Soit les suites (u_n) et (v_n) telles que : u_n = 5n + 3 et v_n= 1 n²+1 Calculez u0, u1 et u5, puis v0, v1, et v5.

...

Définition n°3 : définition par récurrence

Une suite est définie par récurrence lorsqu'un ensemble de premiers termes sont donnés, et que chaque terme suivant est définie à partir de termes précédents, c'est à dire lorsqu'il existe une fonction f vérifiant, par exemple : un = …...

Exemple n°3

1. On pose u0 = –6, et, pour tout entier naturel n, u_n+1 = un + 5. (Donc, f(x)=...).

Calculez u1, u2, et u4.

...

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...

2. On pose v0 = 1, v1 = 2, et, pour tout entier naturel n, v_n=v_n-1 + v_n-2. Calculez v2, v3, et v4.

...

III) Utilisation de la calculatrice 1°) Avec une calculatrice Casio

Remarque : si les menus ne correspondent pas, appuyez sur MENU, puis RECUR, puis EXE, et enfin éventuellement plusieurs fois sur la touche EXIT.

Suite définie de manière explicite :

On considère la suite u définie par un = n² – 4n + 1, n étant un nombre entier.

TYPE (

→ F3) a→ _n(F1) n(→ F1) ^2 (flèche droite) –→ → → 4 n(→ F1) +1 → → EXE

Pour obtenir des valeurs :

SET(F5) entrez les valeurs min et max de n en appuyant sur EXE à chaque → fois → EXE

TABL(F6) puis les flèches hautes et basses pour visualiser les valeurs.→ Suite définie par récurrence :

On considère la suite v définie par v_n+1 = v_n + 2n – 3, n étant un nombre entier.

TYPE (

→ F3) a→ n+1(F2) a→ n(F4 puis F2) → + 2 n→ (F1) → - 3 → EXE Pour obtenir des valeurs :

SET(F5) entrez les valeurs min et max de n en appuyant sur EXE à chaque → fois, puis a0 → EXE → EXE

TABL(F6) puis les flèches hautes et basses pour visualiser les valeurs.→

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2°) Avec une Texas Instrument

On accède au mode suite en appuyant sur MODE puis en sélectionnant sur la quatrième ligne FUNC le mode SEQ avec les flèches bas puis droite. Validez par ENTER .

Suite définie de manière explicite :

On considère la suite u définie par u_n = n² – 4n + 1, n étant un nombre entier.

→ Y= → X,T,,n → ^ 2 – 4 n ( → X,T,,n ) → + 1 → ENTER Pour obtenir des valeurs :

TBLSET (

→ 2ND WINDOWS ) 'TblStart' est l'indice de départ, 'Tbl' est →

le pas d'incrémentation. Validez à chaque fois par ENTER TABLE (

→ 2ND GRAPH )

Suite définie par récurrence :

On considère la suite v définie par v_n+1 = v_n + 2n – 3, n étant un nombre entier.

→ Y= u ( → 2ND 7 ) → ( n ( → X,T,,n ) → – 1 ) + 2 → n ( X,T,,n ) → - 3 ENTER

Entrez la valeur initiale (par exemple 0) en u(nMin)=.

Pour obtenir des valeurs : TBLSET (

→ 2ND WINDOWS ) 'TblStart' est l'indice de départ, 'Tbl' est →

le pas d'incrémentation. Validez à chaque fois par ENTER TABLE (

→ 2ND GRAPH )

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Exercice n°4 Ex.26 p.121 Exercice n°5

Ex.29 p.121

Cours n°3

III) Représentation graphique d'une suite Propriété n°1

Pour une suite u, la représentation graphique de cette suite est l'ensemble des points (…., …...).

Exemple n°4 :

Soit la suite u définie pour toute entier naturel n par : un = 12 n+2 . Calculez les 10 premiers termes de cette suite :

(…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...) ; (…., …...).

Reportez les points dans le repère ci-dessous :

1 2 3 4 5 6 7y

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Ex.47 p.122, sauf le 1°

Ex.46 p.122

Cours n°4

IV) Sens de variation d'une suite

Définition n°4 : suite croissante, décroissante et monotone.

Une suite u est croissante si, pour tout entier n, un+1 est plus …... que un. Une suite u est décroissante si, pour tout entier n, un+1 est plus ... que un. Une suite u est constante si, pour tout entier n, un+1 est ... ... un.

Remarques :

1) En réalité, on considère qu'une suite est croissante si cette propriété est vraie à partir d'un certain rang p, pour tout nombre entier n plus grand que p.

2) On définit de même une suite strictement croissante ou strictement décroissante avec des inégalités strictes.

3) On dit qu'une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

4) Il existe des suites non monotones:un = (-1)ⁿ par exemple.

Propriété n°2 : méthode de détermination du sens de variation d'une suite 1) par différence de deux termes consécutifs :

- si, pour tout nombre entier n, un+1 – un 0, alors la suite est …...

- si, pour tout nombre entier n, un+1 – un 0, alors la suite est …...

2) par sens de variation de la fonction associée (la suite doit alors être définie explicitement) : on suppose que, pour tout nombre entier n, un = f(n). Alors :

.si f est croissante sur [0;+∞[, alors, la suite est …...

.si f est décroissante sur [0;+∞[, alors, la suite est …...

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Exemple n°5

1) Soit u la suite définie pour tout nombre entier n par un = n² + n + 1.

Déterminez son sens de variation.

...

2) Soit v la suite définie pour tout nombre entier n par vn = –2ⁿ. Déterminez son sens de variation.

...

3) Soit w la suite définie pour tout nombre entier n par w_n+1= 3

w_n et w₀=2.

Déterminez son sens de variation.

...

Exercice n°14*

Étudier les variations des suites suivantes : a. un = n² + 2n + 1 b. un = 1

2n+1 c. un = 10 n Exercice n°15*

Étudier les variations des suites suivantes : a. u0=2 et, pour tout nombre entier n : un+1 = un – 3.

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b. u0=1 et, pour tout nombre entier n : un+1 = un + n.

c. u0=1 et, pour tout nombre entier n : un+1 = 2 u_n . Exercice n°16*

Étudier les variations des suites suivantes : a. un = n –2ⁿ b. un = 1 + 1

n+1 c. un = –n³ + 3n Exercice n°17**

Soit la suite u définie sur N par :

u0 = 1 et, pour tout nombre entier n, u_n+1 = 1

2 u_n – 1.

1. Quelle conjecture peut-on émettre sur les variations de la suite u ?

2. Soit la suite v définie sur N par la différence des termes de la suite u : vn = u_n+1 – un .

a. Démontrez que vn+1 = 1 2 v_n.

b. En déduire le sens de variation de la suite u.

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : ex1 : 2;15 ex3 : u₀=0, u₁=1,u₂=4,u₁₅=225 Ex.2 : v₁=7,v₂=19,v₃=55

Ex.3 : 1.w₁=-11 et w₂=-32 2. w_n₊₁=3w_n+1

Ex.4 : 1. u₀=−1,u₁=1,u₂=7,v₀=0,v₁=−1,v₂=1. 2. u₄=31,v₄=-4 868 448 079 Ex.5 : u_n₋₁=n²-2n+2 et u_n₊₁=n²+2n+2

Ex.6 : 1. u₁=4,u₂=10 et u₃=28 2.u₁=−3,u₂=-8 et u₃=-63 3. u₁=−5,u₂=−1 3 et u₃=2 4. u₁=2,u₂=2 et u₃=2

Ex.7 : 1. u₀=0,u₁=1,u₂=

√

^2,u3=

√

³^,u4=2 2.

Ex.8 : 1. u₃=2, u₁=0, u₂=2, u₁₀₀=2 2. (un) n'est définie que pour n1 : u₁=1, u₂=4 et u₁₀₀=10²⁰⁰. 3. u₀=0, u₁=3

2 , u₂=3

4 , et u₁₀₀=1 – 1 2¹⁰⁰

Ex.9 : 1. u₀=1, u₁=5, u₂=7, u₃=7, u₄=5, u₅=1, et u₆=-5 2.

Ex.10 : 1. u₀=0, u₁=-1, u₂=0, u₃=3, u₄=8 2.n=26 3.

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Ex.11 : 1.

LIRE N

SI N>3 ALORS

MONTANT PREND_LA_VALEUR 17*N*0.92 SINON

MONTANT....

FINSI

AFFICHER MONTANT

2. Au moins 4 livres 6→ % de réduction.

3. Si n3, u_n=17n et si n4, u_n=15,64n.

Ex.12 : 1.u₂=1, u₃=-5, u₄=-7 et u₅=3 2.

Ex.13 : 1.

2. u₁₇≈ 0,241785 à 10^-6 près.

Ex.14 : a. croissante b. décroissante c. décroissante.

Ex.15 : a. décroissante b. croissante c. ni l'un ni l'autre

Ex.16 : a. décroissante b. décroissante c. décroissante à partir du rang 1 Ex.17 : 2.b. décroissante.

(22)

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :