Chapitre n°3 : Suites numériques – partie I

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Chapitre n°3: Suites numériques – partie I

Objectifs.

O8- Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique définie par son premier terme et sa raison.[Pour les suites géométriques, on se limite aux suites à termes strictement positifs]

O9- Dans le cadre de résolution de problèmes, comparer deux suites géométriques, ou une suite géométrique et une suite arithmétiques. [Exemples : intérêts simples, intérêts composés, taux équivalent, taux proportionnel]

Rappels

- Les exercices sans étoile et une étoile sont obligatoires.

- Parmi les exercices deux étoiles, il faut au moins en faire un « préparation au bac ».

- Au moins un exercice à la maison après chaque heure de cours.

Activité d'approche n°1

Activité n°1 p.38

Cours n°1 I) Suites arithmétiques

Définition n°1 : suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison. Pour tout entier naturel n, un+1=... … …

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2/22 - Chapitre n°3 : Suites numériques – partie I

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Exemple n°1

Le chiffre d'affaires d'une entreprise s'accroît tous les ans de 50 000 euros.

En 2008, le chiffre d'affaire était de 500 000 euros. On note C0 = 500 000.

Déterminez l'expression de Cn+1 en fonction de Cn.

...

Propriété n°1

Pour démontrer qu'une suite est une suite arithmétique, il suffit de vérifier que u_n … …... est toujours constant.

Exemple n°2

On reprend l'exemple n°1. Démontrez qu'il s'agit d'une suite arithmétique.

...

Soit u une suite arithmétique. Soit n un nombre entier strictement positif.

Si le premier terme est u0, un = u0 … …...

Si le premier terme est u1, un = u1 … …...

un = (premier terme) + (nombre de termes avant un)×(raison)

Exemple n°3

On reprend l'exemple n°1. Exprimez l'expression de Cn en fonction de n.

...

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Exercice n°1

Ex.3 et 4 p.48 Exercice n°2

Ex.14 p.48 Exercice n°4

Ex.50 p.50

Cours n°2 II) Utilisation de la calculatrice

1°) Avec une calculatrice Casio

Remarque : si les menus ne correspondent pas, appuyez sur MENU, puis RECUR, puis EXE, et enfin éventuellement plusieurs fois sur la touche EXIT.

Suite définie de manière explicite :

On considère la suite u définie par un = n² – 4n + 1, n étant un nombre entier.

TYPE (

→ F3) a→ _n(F1) n(→ F1) ^2 (flèche droite) –→ → → 4 n(→ F1) +1 → → EXE

Pour obtenir des valeurs :

SET(F5) entrez les valeurs min et max de n en appuyant sur EXE à chaque → fois → EXE

TABL(F6) puis les flèches hautes et basses pour visualiser les valeurs.→ Suite définie par récurrence :

On considère la suite v définie par vn+1 = v_n + 2n – 3, n étant un nombre entier.

TYPE (

→ F3) a→ n+1(F2) a→ n(F4 puis F2) → + 2 n→ (F1) → - 3 → EXE Pour obtenir des valeurs :

SET(F5) entrez les valeurs min et max de n en appuyant sur EXE à chaque → fois, puis a0 → EXE → EXE

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TABL(F6) puis les flèches hautes et basses pour visualiser les valeurs.→ 2°) Avec une Texas Instrument

On accède au mode suite en appuyant sur MODE puis en sélectionnant sur la quatrième ligne FUNC le mode SEQ avec les flèches bas puis droite. Validez par ENTER .

Suite définie de manière explicite :

On considère la suite u définie par un = n² – 4n + 1, n étant un nombre entier.

→ Y= → X,T,,n → ^ 2 – 4 n ( → X,T,,n ) → + 1 → ENTER Pour obtenir des valeurs :

TBLSET (

→ 2ND WINDOWS ) 'TblStart' est l'indice de départ, 'Tbl' est → le pas d'incrémentation. Validez à chaque fois par ENTER

TABLE (

→ 2ND GRAPH )

Suite définie par récurrence :

On considère la suite v définie par vn+1 = vn + 2n – 3, n étant un nombre entier.

→ Y= u ( → 2ND 7 ) → ( n ( → X,T,,n ) → – 1 ) + 2 → n ( X,T,,n ) → - 3 ENTER

Entrez la valeur initiale (par exemple 0) en u(nMin)=.

Pour obtenir des valeurs : TBLSET (

→ 2ND WINDOWS ) 'TblStart' est l'indice de départ, 'Tbl' est → le pas d'incrémentation. Validez à chaque fois par ENTER

TABLE (

→ 2ND GRAPH )

Exercice n°5 – placement à intérêt simple

Placer un capital à intérêts simples signifie que les intérêts rapportés par le capital à l'année n ne sont pas intégrés dans le capital de l'année n+1 : chaque année, on ajoute le même intérêt calculé sur le capital de départ.

On place un capital C0 = 1000 € à 4 % par intérêts simples.

On note Cn le capital obtenu, ou « valeur acquise », au bout de n années.

1. Calculez C1, C2 et C3.

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2. a. Donnez, pour tout nombre entier n l'expression de C_n+1 en fonction de C_n.

b. Déduisez-en que Cest une suite arithmétique.

c. Donnez l'expression de Cn en fonction de n. d. Calculez C₂₄et C₂₅

3. Au bout de combien d'années le capital initial aura-t-il doublé ? Exercice n°6*

Ex.64 p.51 Exercice n°7*

Ex.69 p.52

Activité d'approche n°2

Activité n°3 p.42

Cours n°3 III) Suites géométriques

Définition n°2

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel constant q appelé raison. Pour tout entier naturel n, u_n+1=... … …

Exemple n°4

Placer un capital à intérêts composés signifie que les intérêts rapportés par le capital à l'année n sont intégrés dans le capital de l'année n+1.

On place un capital C0=1000€ à 4 % par an, avec intérêts composés(ce qui signifie que les intérêts d'une année s'ajoute au capital, et que, l'année

suivante, ils rapportent donc eux aussi des intérêts – on appelle ceci « l'effet cliquet »). On note C_n le capital obtenu ou « valeur acquise », au bout de n années.

1. Calculez C1, C2 et C3.

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...

2. Donnez, pour tout nombre entier n, l'expression de C_n+1 en fonction de Cn

...

Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il suffit de vérifier que …...

est constant. Cette constante est la raison q de la suite géométrique.

Exemple n°5

On reprend l'exemple n°4. Prouvez que la suite C est géométrique.

...

Soit u une suite géométrique. Soit n un nombre entier strictement positif.

Si le premier terme est u₀, u_n = u₀…...

Si le premier terme est u1, un = u1...

un = (premier terme)×(raison)nombre de termes avant un

Exemple n°6

On reprend l'exemple n°4. Exprimez Cn en fonction de n.

...

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Exercice n°9

Ex.39 p.49 Exercice n°12

Une ferme aquacole de Vendée décide de cultiver des micro-algues sur de l'eau de forage. Elle fait appelle à une entreprise A pour creuser un puits. Le coût prévu pour ce travail comprend :

. un forfait de mise en place du matériel de 800€.

. 200€ par mètre creusé.

On note u0 le montant forfaitaire, u1 le coût du forage à 1 mètre, etc.

1. Calculez u1,u₂et u3.

2. Donnez la nature de la suite u. Précisez sa raison.

3. Exprimez un en fonction de n. 4. Calculez u12.

5. La profondeur du forage est prévue à 12 mètres. Une autre entreprise B lui propose un forage à 12 mètres pour un coût global de 3 500€. Laquelle des deux entreprises A ou B est la plus avantageuse ? Justifiez votre réponse.

Activité d'approche n°3

À leur naissance, Capucine et Sarah ont reçu chacune 4000€ de leur grand- père. Pour Capucine, le grand-père a choisi un placement à intérêts simples (cf exercice n°5), au taux annuel de 7 %. Pour Sarah, il a choisi un placement à intérêts composés au taux annuel de 5 % (cf exemple n°4 du cours n°3). Elles pourront recevoir cet argent à leur majorité, à 18 ans. Il suit, sur tableur, la valeur des capitaux acquis chaque année.

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14/22 - Chapitre n°3 : Suites numériques – partie I Les taux en cellules B2 et C2 sont

au format %, et les cellules C8:C23 sont au format décimal, à 2 décimales.

1. Saisissez sur un tableur les lignes 1 à 5 et la colonne A.

2. Que faut-il mettre comme formule dans la cellule B6 ?

…...

3. Que faut-il mettre comme formule en B7 ?

…...

4. Quelle modification faut-il faire à vos formules pour que l'on puisse les recopier dans la colonne B, sans modifier les coordonnées de B2 ?

…...

5. Répondre aux mêmes questions pour C6 et C7 :

C6 : …...

C7 :...

6. Représentez ces deux suites sur un graphique (on mettra en abscisse les indices n et en ordonnées les sommes des comptes de Capucine et Sarah).

7. Sur quel intervalle le placement de Capucine reste-t-il plus intéressant?

…...

...

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Cours n°4 III) Comparaison de suites

Il est souvent intéressant de comparer deux suites associées à une même situation de départ. Le tableur ou une calculatrice permet de détecter les valeurs limites pour lesquelles l'une des deux suites devient supérieure ou égale à l'autre.

Exemple n°7

Représentez graphiquement les couples de suites suivants :

a. u₀=v₀=100 et u est une suite arithmétique de raison 12 tandis que v est une suite géométrique de raison 1,07 .

b. u0=v0=140 et u est une suite arithmétique de raison -8,5 tandis que v est une suite géométrique de raison 0,7 .

c. u0=50 et u est une suite géométrique de raison 1,2 tandis que v est une suite géométrique de raison 1,1, et de premier terme 200.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 400

350 300 250 200 150 100 50

y

x

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 160

140 120 100 80 60 40 20

y

x

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Exercice n°15*

Ex.100 p.55 Exercice n°16**

Ex.115 p.60

Exercice n°17** (préparation au bac) Sujet A p.64

Exercice n°18** (préparation au bac) Sujet B p.64

Exercice n°19*** (préparation au bac) Sujet E p.66

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1600

1400 1200 1000 800 600 400 200 y

x

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : ex.3 :

v

¹ ^{- ex.4 :}

u₁⁼10,8;u₂⁼9,6;u₃⁼8,4 ;u₄⁼7,2 etu₅⁼6

Ex.2 : ex.10 : Les 4 premiers termes ne sont pa ceux d'une suite arithmétique – ex.11 : Les 4 premiers termers sont ceux d'une suite arithmétique de raison -5

Ex.3 : Indice du onzième terme : 10.

Ex.4 : 1.la suite (u_n)est croissante car r>0 2. faux (contre-exemple : u_n=n²) Ex.5 : 1. C₁=1040 ;C₂=1080 ; C₃=1120 2.a. C_n₊₁=C_n+ 40 2.b. C_n₊₁−C_n=... 2.c. C_n

= 1000+n×40 2.d. C₂₄=1960 et C₂₅=2000 3.25 ans.

Ex.6 : 1. v₂=39, v₃=48, S₀=117 2. v_n₊₁⁻v_n=... 3. v_n=21+9n 4. 2310km

Ex.7 : 1. u₁= 115, u₂=120, u₀+u₁+u₂=345.2. u_n₊₁−u_n=.... 3. u_n=110+5n 4. 2360€

Ex.8 : 1. a₁=4700, a₂=4400 2. r=-300 3. a_n=5000 –... 4.a₁₀⁼²⁰⁰⁰ 5.a.=SOMME(C2.C12) 5.b. 38500 tonnes.

Ex.9 : ex.26 : v₁=2, v₂=4, v₃=8,v₄=16,v₅=32 – ex.27 : v₁=8 , v₂⁼4,v₃⁼2,v₄⁼1,v₅=0,5

Ex.10 : ex.34 : 1ers termes d'une suite géométrique de raison 0,8 – ex.35 : premiers termes d'une suite géométrique de raison 2.

Ex.11 : 1. v_n=v₀× qⁿ... 2. v₁₀=125/8

Ex.12 : 1. S prend la valeur S+U 2. U prend la valeur U×Q

Ex.13 : 1. v₁=16800 , v₂=17640 et v₃=18522 2. v_n₊₁⁼1,05v_n… 3.

v_n=16000×1,05ⁿ 4. v₁₃ ≈30170

Ex.14 : 1. u₁=1000, u₂=1200, u₃=1400 2. arithmétique de raison 200 3. u_n= 800+200×n 4. u₁₂=3200 5. A.

Ex.15 : 1.u_n=70+15n 2. v_n=80×1,1ⁿ2. Si 0<n < 2, u_n^<v_n ; si 1<n<12, u_n^>v_n ; si n>11, u_n^<v_n

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Ex.16 : 1.a. u₁=320 1.b. arithmétique de raison 10 1.c. u₇=380 2.a. v₁=820 2.b. géométrique de raison 1,025 2.c. v₇=950,95 3. 39,96 % 4.b. n=8 ( → 2021) 4.c n=12 ( 2025)→

Ex.17 : 1. géométrique de raison 1,1 2. u₁₀=14,52 3. =D2*0,96 4. En 2007 et u₁₇

=28,31

Ex.18 : 1.c, 2. b ; 3. b ; 4. a ; 5. a

Ex.19 : 1. u₁=2562,5 et v₁=2565 2.a. u_n géométrique de raison 1,025 2.b.

u_n=2500×1,025ⁿ 3.a. arithmétique de raison 65 3.b. v_n=2500+65n 4.a.

=C2*1,025 4.b. =D2+65

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :