Chapitre 9 : Suites arithmétique et géométrique + sommes Contenus
I- Deux cas particuliers de suites a) Suites arithmétiques
DéfinitionUne suite (Un) est dite arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre noté r :
Pour tout indice n, Un+1 = Un + r Ce nombre r est appelé la raison de la suite
• Comment vérifier qu'une suite est arithmétique ?
On calcule pour tout indice n la différence Un+1 – Un de deux termes consécutifs . Si cette différence est constante, la suite est arithmétique
Exemple : Soit la suite définie par un=2+3n
un+1−un = 2+3(n+1)−(2+3n) = … = 3 donc la suite est arithmétique de raison 3
•
Comment vérifier qu'une suite n'est pas arithmétique ?
On montre que la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante en calculant deux différences un+1−un
Exemple : Soit un=2n2+3
u0=3 , u1=5 et u2=11 donc on a u1−u0=2 et u2−u1=6 donc u1−u0≠u2−u1 donc la suite n'est pas arithmétique
Terme général d'une suite arithmétique
Si (Un) est une suite arithmétique de raison r alors pour tout n ∈
ℕ , U
n= U
0+ n ×r
Plus généralement,pour tout entier k ≤ n , on a : U
n= U
k+ (n−k )×r
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Démonstration
•
• On a donc u
n=u
0+n×r. On a donc aussi pour tout entier k ≤ n , u
k=u
0+ k ×r On a donc u
n−u
k=u
0+n× r −(u
o+ k ×r ) = u
0+n×r −u
0−k ×r = (n− k )×r d'où la relation u
n=u
k+n× r
b) Suites géométriques
DéfinitionUne suite (Un) est dite géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours le même nombre noté q :
Pour tout indice n, Un+1 = q×Un Ce nombre q est appelé la raison de la suite
• Comment vérifier qu'une suite est géométrique ?
Après s'être assuré que Un n'est jamais nul (souvent admis en première S), on calcule pour tout indice n le quotient Un1
Un de deux termes consécutifs . Si ce quotient est constant alors la suite est géométrique
Exemple : Soit un=2n+1
3n . On admet que un ≠ 0 pour tout entier n un+1
un = 2n+2 3n+1× 3n
2n+1 = 2n+1×2×3n 3n×3×2n+1 = 2
3 donc suite géométrique de raison 2 3
Remarque : A noter que cette méthode a un inconvénient qui est celui de montrer que un≠0. Une autre méthode consiste à partir de un+1 et à faire apparaître un
un+1=2n+2
3n+1 = 21×2n+1 31×3n = 2
3×2n+1 3n = 2
3un. On a donc un+1 = 2
3 un donc suite géométrique de raison 2
3
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•
Comment vérifier qu'une suite n'est pas géométrique ?
On montre que le quotient entre deux termes consécutifs n'est pas constante en calculant deux quotients un+1
un
Exemple : un+1=n×un avec u1=1 on a donc u2=1×u1=1 et u3=2×u2=2×1=2 On a donc u2
u1=1 et u3
u2=2. Comme ces quotients ne sont pas égaux, la suite n'est pas géométrique
Terme général d'une suite géométrique
Si (Un) est une suite géométrique de raison q alors pour tout n ∈
ℕ , U
n= q
n× U
0 Plus généralement,pour tout entier k ≤ n , on a : U
n= U
k× q
n−kDémonstration :
•
• On a donc
u
n=u
0×q
n et pour tout entier k ≤ n ,u
k=u
0×q
k Par quotient , on a alorsu
nu
k=u
0×q
nu
0×q
k =q
nq
k =q
n−k on a alorsu
n=u
k×q
n−kII- Sens de variation d'une suite arithmétique et géométrique
Propriété : Cas d'une suite arithmétiqueSoit
( u
n)
une suite arithmétique de raison r non nulle• Si la raison r est négative, la suite est décroissante
• Si la raison r est positive, la suite est croissante
Démonstration : Trop facile c'est du bon sens si vous avez compris ce qu'est une suite arithmétique
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Propriété : Cas d'une suite géométrique
Soit (
u
n) une suite géométrique de premier termeu
0 de raison q• Si q > 1 :
Si
u
0>0 alors la suite est croissante Siu
0<0 alors la suite est décroissante• Si 0 < q < 1
Si
u
0>0 alors la suite est décroissante Siu
0<0 alors la suite est croissante• si q = 0 ou q = 1 alors la suite est constante
• si q < 0 alors la suite est divergente
Remarque : une propriété un peu complexe car beaucoup de cas de figure peuvent se présenter donc se référer là aussi à votre bon sens
V- Deux sommes à connaître
Pour tout n ∈ ℕ* , on a : 1+2+3+…+n = nn1
2 et 1qq2q3qn=1– qn1 1– q Démonstration :
S = 1+2+3+…+
