AP - 6 - Probabilités et compléments sur les dérivées - TS
Exercice 1
Dériver les fonctions suivantes : 1. f(x)=(x3−4x2+2)4. 2. g(x)=
(4x+1 2x−3
)3
. 3. h(x)=p
5x3−3x+7.
4. j(x)=k(m(x)) avecm(x)=4x−6 etk(x)=x2−3x+2.
Exercice 2
Soientf(x)=x4;g(x)=p
xeth(x)=2x2+x+4 trois fonctions.
Dériver les fonctions suivantes surR: 1. u(x)=f(h(x))
2. v(x)=g(h(x)) 3. w(x)=h(f(x)) 4. t(x)=g(
1+f(x)) Exercice 3
Une maladie atteint 3% d’une population de 20000 individus. On appelle “malade“ l’individu atteint de cette maladie, et “bien portant “ celui qui ne l’est pas. On dispose d’un test pour la détecter. Ce test donne les résultats suivants :
— Chez les individus malades, 95% des tests sont positifs.
— chez les individus bien portants, 2% des tests sont positifs.
On note les événements suivants :
— M : “être malade “.
— T : “avoir un test positif “.
On rencontre au hasard une personne de cette population.
1. CalculerP(T),P(T∩M) etP(M∪T).
2. Sachant que la personne rencontrée est malade, calculer la probabilité que son test soit négatif.
3. Sachant que la personne rencontrée a un test positif, calculer la probabilité qu’elle ne soit pas malade.
4. Démontrer par un calcul que les événements M et T ne sont pas indépendants.
Exercice 4
Un commercial contacte par téléphone des clients éventuels. Il sait qu’il y a 2% de chance que la personne contactée lui passe commande. On appelleXla variable aléatoire correspondant au nombre de personnes qui ont passé commande.
1. Quelle loi suitX? Justifier, et donner ses paramètres.
2. Donner la valeur deE(X).
3. Déterminer la valeur denpour queE(X)=5. Interpréter ce résultat.
4. Sin=250, donner une valeur approchée au millième deP(X=5).
Exercice 5
SoitXune variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresn=9 etp=1 3. 1. Calculer son espérance et son écart-type.
2. CalculerP(X≥2). Donner une valeur approchée au millième.
AP6 : Probabilités et compléments sur les dérivées
Exercice 6
Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois.
Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabri- cation, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès.
On noteT1l’évènement : ”le premier test est positif”.
On noteCl’évènement : ”l’écran est acheminé chez le client”.
1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événementsT1etC. 2. La fabrication d’un écran revient à 1000 euros au fabricant si l’écran nest testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 euros de plus si
l’écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturéaeuros (aétant un réel positif ) au client. On introduit la variable aléatoireXqui, à chaque écran fabriqué, associe le ”gain” (éventuellement négatif ) réalisé par le fabricant.
(a) Déterminer la loi de probabilité deXen fonction dea.
(b) Exprimer l’espérance deXen fonction dea.
(c) A partir de quelle valeur dea, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
Exercice 7
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0, 1 ;
• s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0, 8 ;
• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0, 6.
On note, pour tout entier naturelnnon nul :
• Gnl’évènement « le joueur gagne lan-ième partie » ;
• pnla probabilité de l’évènement Gn. On a doncp1=0, 1.
1. Montrer quep2=0, 62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
4. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,pn+1=1 5pn+3
5. 5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul,pn=3
4−13 4
(1 5
)n
.
Exercice 8
Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.
• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
• Si la semainenle salarié n’est pas malade, il tombe malade la semainen+1 avec une probabilité égale à 0, 04.
• Si la semainenle salarié est malade, il reste malade la semainen+1 avec une probabilité égale à 0, 24.
On désigne, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, parEn l’évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On notepnla probabilité de l’évènementEn. On a ainsi :p1=0 et, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : 0Épn<1.
1. (a) Déterminer la valeur dep3à l’aide d’un arbre de probabilité.
(b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
2. (a) Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous En
pn
En+1
. . .
En+1 . . .
En
. . . En+1
En+1
. . . 2
(b) Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,pn+1=0, 2pn+0, 04.
(c) Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1 parun=pn−0, 05 est une suite géomé- trique dont on donnera le premier terme et la raisonr.
En déduire l’expression deunpuis depnen fonction denetr.
(d) En déduire la limite de la suite( pn
). (e) On admet dans cette question que la suite(
pn
)est croissante. On considère l’algorithme suivant dans lequel K et J sont des entiers naturels et P un nombre réel. K est saisi en entrée :
P←0 J←1
Tant que P<0, 05−10−K P←0,2×P+0, 04 J←J + 1
Fin tant que
À quoi correspond l’affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale àp=0, 05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne parXla variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
(a) Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Calculer l’espérance mathématiqueµet l’écart typeσde la variable aléatoireX.
Exercice 9
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.
Partie A
On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
— Fl’évènement « le membre choisi est une femme »,
— T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».
1. Montrer que la probabilité de l’évènementFest égale à 25. 2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? Partie B
Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.
Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
1. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
2. Pour tout entier naturelnnon nul, on notepnla probabilité pour qu’ennsemaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
Montrer que pour tout entiernnon nul,pn=1−(7
10
)n
.
Exercice 10
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B pré- sentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 3
AP6 : Probabilités et compléments sur les dérivées
— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
— évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
— évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. (a) Quelle est la probabilité de l’évènementB∩S?
(b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, 88.
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ? Partie B
Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoireXqui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.
1. Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
4
Résultats ou indices
Ex. 1 1.f′(x)=4(3x2−8x)(x3−4x2+2)3.2.g′(x)=3 ( −14
(2x−3)2
)(4x+1 2x−3
)2
.3.h′(x)= 15x2−3 2p
5x3−3x+7.text b f4.j’(x)=2×4(4x−6)2−1− 3×4=32x−51.
Ex. 2
1.u′(x)=4(4x+1)(
2x2+x+4)3
.2.v′(x)= 4x+1 2p
2x2+x+4
.3.w′(x)=16x7+4x3.4.t′(x)= 2x3 p1+x4
.
Ex. 3 1.P(T)=0, 0475 ;P(T∩M)=0, 0285 ;P(T∪M)= 988
200002.0, 053.194 479.
Ex. 4 1.Les contacts sont indépendants les uns des autres, et conduisent à deux issues, la probabilité de passer commande restant constante.Xsuit donc une loi binomiale de paramètresnet 0, 02.2.0, 02n.3.2504.≈0, 177
Ex. 5 1.E(X)=np=3 etσ(X)=√
np(1−p)=2.2.(Indic. : passer par l’événement contraire)-≈0, 857.
Ex. 6 1.P(C)=0, 895 .2.a. xi a−1000 a−1050 −1050
P(X=xi) 0, 7 0, 195 0, 105 b.0, 895a−1015c.a>1134, 08.
Ex. 7 1.Réponse donnée.2. 2.mPG2(G1)=P(G1∩G2)
P(G2) ≃0, 87103.p=0, 8564.Réponse donnée.5.Réponse donnée.
Ex. 8 1.a.p3=0, 048.b.pE3(E2)=0, 22.a.
En
pn
En+1
0, 24
En+1
0, 76
En
1−pn
En+1
0, 04
En+1 0, 96
c.Premier terme :−0, 05, raison : 0, 2d.0, 05.e.K Jcorrespond au rang à partir duquel 0, 05−10−kpn0, 05. Le programme s’arrêtera.
3.a.Une loi binomiale de paramètren=220 etp=0, 05.3.b.µ=11 etσ=10, 45.
Ex. 9 P.A.. 1.(Indic. : utiliser la formule des probabilités totales, et P(H)=1−P(F))2.1
3.P.B. 1.a.Loi binomiale :≈0, 2646.
Ex. 10 P.A.1.
0, 8 A
0, 1 S
0, 9 S
1−pn B
0, 2 S
0, 8 S 2.a.P(B∩S)=0, 16.b.P(S)=0, 88.3.PS(B)=1
3.P.B.1.Identiques, indépendants et à deux issues.n=10 etp=0, 88.2.P(X=10)= 0, 8810.3.P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)≈0, 89.
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