AP - 5 - Probabilités et dérivées de première - TS

AP - 5 - Probabilités et dérivées de première - TS

Les étoiles indiquent, approximativement, la difficulté de l’exercice - Les durées, elles aussi approximatives, donnent une idée du temps que devrait prendre la résolution de l’exercice si vous connaissez votre cours.

Vous pouvez choisir vos exercices, en fonction de votre degré de maitrise de la notion.

Les résultats ou indications figurent en dernière page.

Exercice 1 - temps indicatif ≈ 45 min Dérivées de première

Dans chacun des cas, préciser l’ensemble de définition de f et calculer sa dérivée f ^′ (x).

1. f (x) = 4x ³ − 5x ² + x − 1.

2. f (x) = 5x ³ − 1 x + 3 p

x.

3. f (x) = (x ² + 1)(x ³ − 2x).

4. f (x) = 2x ² − 3 x ² + 7 . 5. f (x) = 2x − 1

x + 1 . 6. f (x) = − x + 2 + 2

3x . 7. f (x) = 1

x + x ² . 8. f (x) = (2x + 1) ² . 9. f (x) = p

x(5x − 3).

Exercice 2 - temps indicatif ≈ 15 min Probabilités

Une maladie atteint 3% d’une population de 20000 individus. On appelle “malade“ l’individu atteint de cette maladie, et “bien portant “ celui qui ne l’est pas. On dispose d’un test pour la détecter. Ce test donne les résultats suivants :

— Chez les individus malades, 95% des tests sont positifs.

— chez les individus bien portants, 2% des tests sont positifs.

On note les événements suivants :

— M : “être malade “.

— T : “avoir un test positif “.

On rencontre au hasard une personne de cette population.

1. Calculer P (T ),P (T ∩ M ) et P (M ∪ T ).

2. Sachant que la personne rencontrée est malade, calculer la probabilité que son test soit négatif.

3. Sachant que la personne rencontrée a un test positif, calculer la probabilité qu’elle ne soit pas malade.

4. Démontrer par un calcul que les événements M et T ne sont pas indépendants.

Exercice 3 - temps indicatif ≈ 15 min Probabilités

Un commercial contacte par téléphone des clients éventuels. Il sait qu’il y a 2% de chance que la per- sonne contactée lui passe commande. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes qui ont passé commande.

1. Quelle loi suit X ? Justifier, et donner ses paramètres.

3. Déterminer la valeur de n pour que E(X ) = 5. Interpréter ce résultat.

4. Si n = 250, donner une valeur approchée au millième de P (X = 5).

Exercice 4 - temps indicatif ≈ 15 min Probabilités

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n = 9 et p = 1 3 . 1. Calculer son espérance et son écart-type.

2. Calculer P (X ⩾ 2). Donner une valeur approchée au millième.

Exercice 5* - temps indicatif ≈ 40 min Liban Juin 2005

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrica- tion.

Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client.

Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois.

Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.

Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès.

On note T ₁ l’événement : "le premier test est positif".

On note C l’événement : "l’écran est acheminé chez le client".

1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événements T ₁ et C.

2. La fabrication d’un écran revient à 1000 euros au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois.

Cela lui coûte 50 euros de plus si l’écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif ) au client. On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le "gain" (éventuellement négatif ) réalisé par le fabricant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

b. Exprimer l’espérance de X en fonction de a.

c. A partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?

Exercice 6** - temps indicatif ≈ 60 min Pondichéry avril 2013

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épi- démie de grippe.

• Un salarié malade est absent

• La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.

• Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n +1 avec une probabilité égale à 0, 04.

• Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0, 24.

On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E _n l’évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note p _n la probabilité de l’évènement E _n .

On a ainsi : p 1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 ⩽ ^p n < 1.

1. a. Déterminer la valeur de p 3 à l’aide d’un arbre de probabilité.

b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

2. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous

E _n p n

E _n+1 . . .

E _n+1 . . .

E n

. . . . . . E _n+1 E _n+1 . . .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, p _n+1 = 0, 2p _n + 0, 04.

c. Montrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u n = p n −0, 05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r .

En déduire l’expression de u _n puis de p _n en fonction de n et r . d. En déduire la limite de la suite (

p _n ) .

e. On admet dans cette question que la suite ( p n

) est croissante. On considère l’algorithme suivant :

Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel Initialisation P prend la valeur 0

J prend la valeur 1 Entrée Saisir la valeur de K Traitement Tant que P < 0, 05 − 10 ^{− K}

P prend la valeur 0, 2 × P + 0, 04 J prend la valeur J + 1

Fin tant que Sortie Afficher J

À quoi correspond l’affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ? 3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un

salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à p = 0, 05.

On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.

On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

b. Calculer l’espérance mathématique µ et l’écart type σ de la variable aléatoire X .

Exercice 7** - temps indicatif ≈ 60 min Amérique du Nord mai 2012

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

— F l’évènement « le membre choisi est une femme »,

— T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 2 5 . 2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note p n la probabilité pour qu’en n semaines consé- cutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choi- sis.

Montrer que pour tout entier n non nul, p _n = 1 − ( 7

10 ) _n

.

Exercice 8* - temps indicatif ≈ 60 min Asie juin 2013

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.

10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles pro- venant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;

— évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;

— évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».

1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.

2. a. Quelle est la probabilité de l’évènement B ∩ S ?

b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, 88.

3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.

3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Résultats ou indices

Ex. 1 1. f est définie sur R ; f ^′ (x) = 12x ² − 10x + 1. 2. f est définie sur ]0; +∞ [ ; f ^′ (x) = 15x ² + 1 x ² + 3

2 p x . 3. f est définie sur R ; f ^′ (x) = 5x ⁴ − 3x ² − 2. 4. f est définie sur R; f ^′ (x) = 34x

(x ² + 7) ² . 5.f est définie sur R\{−1} ;f ^′ (x) = 3

(x + 1) ² . 6. f est définie sur R\{0} ; f ^′ (x) = −1 − 2

3x ² . 7. f est définie sur R\{−1; 0} ; f ^′ (x) = − 1 + 2x

(x + x ² ) ² . 8. f est définie sur R ; f ^′ (x) = 8x + 4. 9. f est définie sur ]0;+∞[ ;f ^′ (x) = 15x − 3 2 p

x .

Ex. 2 1. P (T ) = 0, 0479 ; P (T ∩ M ) = 0, 0285 ; P (T ∪ M) = 988

20000 2. 0, 05 3. 194 479 .

Ex. 3 1. Les contacts sont indépendants les uns des autres, et conduisent à deux issues, la probabilité de passer commande restant constante. X suit donc une loi binomiale de paramètres n et 0, 02. 2.

0, 02n. 3. 250 4. ≈ 0, 177

Ex. 4 1. E (X ) = np = 3 et σ (X ) = √

np(1 − p) = p

2. 2. (Indic. : passer par l’événement contraire) -

≈ 0, 857.

Ex. 5 1. P (C) = 0, 895 . 2.a. x _i a − 1000 a − 1050 − 1050

P (X = x i ) 0, 7 0, 195 0, 105 b.0, 895a − 1015 c. a > 1134, 08.

Ex. 6 1.a. p 3 = 0, 048. b. p E

(E 2 ) = 0, 2 2.a.

E _n p _n

E _{n + 1} 0, 24

E _{n + 1} 0, 76

E _n 1 − p _n

E n + 1

0, 04

E n + 1

0, 96

c. Premier terme : −0, 05, raison : 0, 2 d. 0, 05. e. J correspond au rang à partir duquel 0, 05−10 ^{− k} ⩽ ^p n ⩽ ^{0, 05.}

Le programme s’arrêtera. 3.a. Une loi binomiale de paramètre n = 220 et p = 0, 05. 3.b. µ = 11 et σ = p

10, 45.

Ex. 7 P.A.. 1. (Indic. : utiliser la formule des probabilités totales, et P (H ) = 1 − P (F ) ) 2. 1

3 . P.B. 1.a. Loi binomiale : = 0, 2646.

Ex. 8 P.A.1.

A 0, 8

0, 1 S

0, 9 S

0, 2 B

0, 2 S

0, 8 S 2.a.P (B ∩S) = 0, 16. b. P (S) = 0, 88. 3. P S (B ) = 1

3 . P.B.1. Identiques, indépendants et à deux issues. n = 10

et p = 0, 88. 2. P (X = 10) = 0, 88 ¹⁰ ≈ 0, 28. 3. P (X ⩾ ⁸⁾ = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) ≈ 0, 89.