TS : TD sur les dérivées (semaine du 17/1/2017)
I
Soient les fonctionsf etgdéfinies sur ]− ∞; 0[ par : f(x)=x2−xetg(x)=3
x.
Démontrez que les courbes Cf etCg admettent des tangentes parallèles au point d’abscisse -1.
II
Soitf :x7→1
x, définie surR∗.
On note f′ la fonction dérivée de f, f′′ la dérivée de f′
³ f′′=¡
f′¢′´
,f(3)la dérivée def′′et plus généralementf(n)la dé- rivée def(n−1).
1. Calculerf′(x),f′′(x),f(3)(x),f(4)(x).
2. Conjecturer alors l’expression def(n)(x) en fonction den.
3. La démontrer.
III
f est la fonction définie surRpar :f(x)=sinx.
a) Déterminer les dérivées successivesf′, f′′,f(3)etf(4). b) Établir que, pour tout réelx,
f(n)(x)=sin³ x+nπ
2
´,n∈N∗.
IV Utilisation d’une fonction auxiliaire
Partie A
On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=xp
x2+1−1.
1. Calculer les limites degen−∞et en+∞.
2. Étudier les variations deg.
3. Démontrer qu’il existe un uniqueαtel queg(α)=0.
Donner un encadrement deα= 0,1 près.
4. En déduire le signe degsurR.
Partie B : Étude d’une fonction
Soit la fonctionf définie surRpar
f(x)=x3 3 −
p x2+1.
1. Calculer les limites def en−∞et en+∞. 2. Montrer quef′(x)= xg(x)
px2+1. 3. Montrer quef(α)=
α4−3
3α ; en déduire une valeur appro- chée.
4. Déterminer le signe def′(x) selon les valeurs dex.
Dresser alors le tableau de variation def.
TS : TD sur les dérivées (semaine du 17/1/2017)
I
Soient les fonctionsf etgdéfinies sur ]− ∞; 0[ par : f(x)=x2−xetg(x)=3
x.
Démontrez que les courbes Cf etCg admettent des tangentes parallèles au point d’abscisse -1.
II
Soitf :x7→1
x, définie surR∗.
On note f′ la fonction dérivée de f, f′′ la dérivée de f′
³ f′′=¡
f′¢′´
,f(3)la dérivée def′′et plus généralementf(n)la dé- rivée def(n−1).
1. Calculerf′(x),f′′(x),f(3)(x),f(4)(x).
2. Conjecturer alors l’expression def(n)(x) en fonction den.
3. La démontrer.
III
f est la fonction définie surRpar :f(x)=sinx.
a) Déterminer les dérivées successivesf′, f′′,f(3)etf(4). b) Établir que, pour tout réelx,
f(n)(x)=sin³ x+nπ
2
´,n∈N∗.
IV Utilisation d’une fonction auxiliaire
Partie A
On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=xp
x2+1−1.
1. Calculer les limites degen−∞et en+∞.
2. Étudier les variations deg.
3. Démontrer qu’il existe un uniqueαtel queg(α)=0.
Donner un encadrement deα= 0,1 près.
4. En déduire le signe degsurR.
Partie B : Étude d’une fonction
Soit la fonctionf définie surRpar f(x)=x3
3 −
px2+1.
1. Calculer les limites def en−∞et en+∞.
2. Montrer quef′(x)= xg(x) px2+1. 3. Montrer quef(α)=
α4−3
3α ; en déduire une valeur appro- chée.
4. Déterminer le signe def′(x) selon les valeurs dex.
Dresser alors le tableau de variation def.
