TS2 DM 02 de mathématiques à rendre pour le lundi 5 octobre 2009
Pour certains calculs , on pourra utiliser un tableur en indiquant les formules utilisées.
Pour les graphiques , on pourra utiliser Geogebra ou tout logiciel équivalent
exercice 1
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :
u0 = 0
un+1 = 3un + 1 4
et
v0 = 2
vn+1 = 3vn + 1 4
1. Calculer u1,u2,u3 et v1,v2,v3
2. On considère la suite (sn) définie par sn = un + vn . a. Calculer s0,s1,s2 et s3 .
b. A l'aide d'un raisonnement par récurrence , montrer que la suite (sn) est constante . 3. On considère la suite (dn) définie par dn = vn − un .
a. Montrer que la suite (dn) est une suite géométrique b. Exprimer dn en fonction de n
4. A l'aide des questions 2 et 3 , déterminer un et vn en fonction de n . 5. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent et préciser leur limite .
exercice 2
On considère la fonction définie pour x ≠ − 3 par f(x) = x² x + 3
1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe représentative de f 2) Montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique 3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie
On rappelle que I(a;b) est centre de symétrie de la courbe de f si et seulement si Df est centré en a et pour tout réel h tel que a + h ∈ Df , f(a + h) + f(a − h)
2 = b
4) Etudier les variations de la fonction f
5) Tracer la courbe représentative de la fonction f , avec toutes ses asymptotes
exercice 3
1. a et b sont deux réels avec a ≠ 0 et f une fonction . Démontrer que : lim
x→+∞f(x) − ax − b = 0 si et seulement si lim
x→+∞
f(x)
x = a et lim
x→+∞[f(x) − ax] = b 2. Appliquer cette méthode pour déterminer l'asymptote oblique en +∞ à la courbe représentative des fonctions suivantes .
a. f est définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x4 − 2 x3 + 3x b. g est définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = 2x² − x
x + 5 c. h est définie sur R par h(x) = x² + x + 1
