LYCÉE ALFRED KASTLER TES 20112012
Devoir surveillé n◦02 mathématiques 14/11/2011
Exercice 1 (5 points) On considère la fonction f dénie pour tout x∈]−1; +∞[ par :
f(x) = 4x2−2x−1 2x+ 2
1. Déterminer la limite def en−1. En déduire une interprétation graphique.
2. Justier que f(x) = 2x−3 + 5 2x+ 2.
3. En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique en +∞. Préciser l'équation de l'asymptote.
Exercice 2 (10 points) Soit u la fonction dénie sur Rpar u(x) = −x2+ 20x−36. 1. Résoudre l'inéquation u(x)≥0.
2. Calculer la dérivée u0 et en déduire les variations deu.
3. On considère une fonction f, dénie et dérivable sur ]0; +∞[, strictement croissante sur cet intervalle telle que :
x→0limf(x) =−∞ lim
x→+∞f(x) = +∞
On dénit alors la fonction g comme étant la composée g =f ◦u. (a) Justier queg est dénie sur ]2; 18[.
(b) Justier queg est décroissante sur [10; 18[. (c) Déterminer la limite de g en2.
(d) On donne de plus les valeurs suivantes : f(64) = 100 etf0(15) = 1. Calculer alors g(10) et g0(3).
Exercice 3 (5 points) On considère une fonction h dénie pour tout x6= 0 et telle que :
• pour tout x >0, 3x−1
x ≤h(x)≤ 3x+ 1 x ;
• pour tout x <0, 5
3x < h(x)< 3 2x.
Déterminer si possible et en justiant les limites de h en −∞, 0−,0+ et+∞.
