  D.S. DE MATHEMATIQUES (7)

(1)

D.S. DE MATHEMATIQUES (7)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l'épreuve. DUREE : 2 H 00

Exercice 1 : (3,5 points) 1. Questions de cours :

Démontrer que pour tout a et b réels strictement positif on a : lna b=lnalnb 2. Résoudre l'équation suivante

lnx3lnx1=0

3. Calculer les dérivées des fonctions f et g définies par:

a . f x=ln



^x^¹⁻¹^^sur^I^=]^0,^∞[ ^{b .}^g^^x^=^ln



²²^x^x⁻^¹¹



^sur^I^=]¹² ^,^∞[

Exercice 2 : (6,5 points)

Soit f la fonction définie par f x=lne²^x−3e^x2.

1. Démontrer que f est définie surD=]−∞;0 [∪]ln 2 ;∞[

2. Calculer lim

x0 f xet lim

xln 2 f x 3. Étudier les variations de f sur D.

4. Démontrer que , pour tout x∈D, on a f x=2 xln1−3 e^−x2 e^−2x 5. En déduire que la courbe représentative C de f admet une asymptote en∞. 6. Déterminer lim

x−∞ f x. Qu'en déduit-on pour C ? 7. Tracer C et ses asymptotes.

Exercice 3 : (7 points)

Dans une entreprise, chaque semaine, on fait appel à un technicien pour l'entretien des machines.

Ce technicien constate :

• qu'il doit intervenir la première semaine;

• que, s'il intervient la semaine n, la probabilité qu'il intervienne la semaine suivante est 0,75.

• que, s'il n'est pas intervenu la semaine n, la probabilité qu'il intervienne la semaine suivante est égale à 0,1.

Pour tout entier natureln1, on noteE_nl'événement : « le technicien intervient la semaine n » et on pose p_nla probabilité de E_n.

1. a . Que vaut la probabilité p₁?

b . Déterminer p₂. On réalisera un arbre de probabilité.

2. On se place maintenant dans le cas général.

a . Donner les probabilités conditionnelles p_E_nE_n_₁et p_E__nE_n1, b . En déduire que p_n1=13

20 p_n1 10 .

3. Soitu_nla suite de nombres réels définie pour tout entier naturelⁿ1 paru_n=p_n−2 7 .

(2)

a . Démontrer queu_nest une suite géométrique et déterminer sa raison q . b . Exprimer^unpuis ^pn, en fonction de n.

c . Déterminer la limite, si elle existe, de ^pnquand n tend vers∞. d . Déterminer n pour que p_n0,3

Exercice 4 : (3 points)

On désigne par E l'ensemble des fonctions f dérivables surℝ, ne s'annulant pas surℝ, telles que : f 'x2 f x=



^f ^^x^



², pour tout réel x .

1. f est une solution de E. Démontrer que la fonction g, définie par gx= 1

fx, est dérivable sur ℝet qu'elle est solution d'une équation différentielle de la forme y 'a y=b, a et b réels.

2. En déduire que les fonctions de E sont les fonctions ^x^ ² 2 k e²^x1 . 3. Déterminer la solution de E tel que : f 0=1.