Montrer que(Z[√ d

Problème : Equation de Pell-Fermat

Soit dun entier naturel qui n’est pas un carré parfait, c’est à dire pour lequel il n’existe pas d’entier u tel que d=u².

Dans ce problème, on s’intéresse à la résolution de l’équation de Pell-Fermat, c’est-à-dire l’équation

a²−db² = 1, (P−F −1)

d’inconnues(a, b)∈Z².

A titre de curiosité, on s’intéresse également à la résolution de l’équation

a²−db² =±1, (P−F −2)

d’inconnues(a, b)∈Z².

Partie N^o1 : Généralités sur Z[√ d].

On introduit l’ensembleZ[√ d] =

n a+b√

d / a, b∈Z o

. 1. Montrer que(Z[√

d],+,×) est un anneau commutatif.

2. (a) Prouver que√ d /∈Q. (b) Établir que

∀x∈Z[

√

d], ∃!a, b∈Z / x=a+b

√ d.

On pose alors x=a−b√

dleconjugué dex.

(c) Montrer que l’application de conjugaisonϕ:x7→xest une permutation deZ[√

d]vérifiant

∀x, x⁰ ∈Z[

√

d], ϕ(x+x⁰) =ϕ(x) +ϕ(x⁰) etϕ(x×x⁰) =ϕ(x)×ϕ(x⁰).

3. On pose, pour x∈Z[√

d],N(x) =xx.

(a) Montrer que, pour tout x∈Z[√

d],N(x)∈Z. (b) Montrer que, pour tous x, x⁰∈Z[√

d],N(xx⁰) =N(x)N(x⁰).

(c) Soitx∈Z[√

d]. Montrer que x est inversible dansZ[√

d]si, et seulement si,N(x) =±1.

(d) Montrer que H = n

x∈Z[√

d]/ N(x) =±1o

est un groupe pour la multiplication des réels.

(e) Montrer queH =n

x∈Z[√

d]/ N(x) = 1o

est un sous-groupe de (H,×).

4. (a) Expliquer en quoi la détermination deH est équivalente à la résolution de (P −F −2).

(b) Expliquer en quoi la détermination deH est équivalente à la résolution de (P −F −1).

Dans les deux parties qui suivent, on admet temporairement le théorème qui suit.

Il existe deux entiers naturelsα etβ, avec α6= 1, tels que α²−dβ²= 1.

Théorème 1:Existence d’une solution non triviale à l’équation P−F −1

Partie N^o2 : Détermination de H.

On noteH⁺=

x∈H / x >1 .

1. Existence d’un minimum pourH⁺.

(a) Montrer queH⁺ possède une borne inférieure, notée v.

(b) Montrer qu’il existe une suite d’éléments deH⁺ qui converge vers v.

1

(c) En déduire que v est le minimum deH⁺. 2. Écriture de H en extension.

(a) Soitx∈H⁺.

i. Montrer qu’il existe n∈Ntel que vⁿ6x < vⁿ⁺¹. ii. En déduire quex=vⁿ.

(b) Conclure que H={±vⁿ / n∈Z}.

3. Exemple avec d= 5.

Dans cette question, on suppose qued= 5.

(a) Soitx=a+b√

5∈H⁺.

i. Simplifier x+x. En déduire que a >0.

ii. Montrer que quex²= 1 + 2bx√

5 puis queb >0.

iii. Montrer que b>4 puis quea>9.

iv. En déduire quev= 9 + 4√ 5.

(b) Écrire explicitement l’ensemble des solutions de (P−F−1) en extension.

Partie N^o3 : Détermination de H.

On noteH⁺={x∈H / x >1}.

1. Existence d’un minimum pourH⁺.

(a) Montrer queH⁺ possède une borne inférieure, notée u.

(b) Montrer qu’il existe une suite d’éléments deH⁺ qui converge vers u.

(c) En déduire que uest le minimum deH⁺. 2. Écriture de H en extension.

(a) Soitx∈H⁺.

i. Montrer qu’il existe n∈Ntel que uⁿ6x < uⁿ⁺¹. ii. En déduire quex=uⁿ.

(b) Conclure que H={±uⁿ / n∈Z}.

3. Exemple avec d= 2.

Dans cette question, on suppose qued= 2.

(a) Soitx=a+b√ 2∈H.

i. Montrer que sia>0 et sib>0alorsx>1.

ii. Montrer que sia60 et sib60alorsx6−1.

iii. Montrer que siab60 alors|x|61.

(b) i. Soit x=a+b√

2∈Z[√

2]. Montrer que si x∈H⁺ alorsa >0 etb >0.

ii. En déduire queu= 1 +√ 2.

(c) Écrire explicitement l’ensemble des solutions de (P−F−2) en extension.

Partie N^o4 : Preuve du Théorème 1.

Dans cette partie, on démontre le Théorème 1.

1. (a) Soitn∈N^? fixé.

On pose, pour k∈[[0, n]],δk=k√

d− bk√ dc.

Montrer l’existence de deux entiers k, k⁰ ∈[[0, n]], distincts, tels que|δ_k−δ_k⁰|< ¹_n. 2

(b) En déduire que, pour toutn∈N^?, il existe un couple(p, q)∈N×[[1, n]]tel que|p−q√

d|< ¹_n. (c) En déduire l’existence d’une infinité de couple(p, q)∈N×N^? pour lesquels|p−q√

d|< ¹_q. (d) Montrer que pour tout couple (p, q)de la question précédente,|p²−dq²|<1 + 2√

d.

(e) En déduire que, pour un certain r ∈ Z, non nul, l’équation x² −dy² = r, d’inconnue (x, y)∈N², possède une infinité de solutions.

(f) En déduire que l’équation de la question précédente possède deux solutions (p₀, q₀) et (p1, q1) distinctes telles que

p₀ ≡p₁[|r|]etq₀ ≡q₁[|r|].

2. On pose z0 =p0+q0

√

detz1 =p1+q1

√ d.

On peut supposer, sans perte de généralités, quez₀> z₁. (a) Montrer que ^z0_r^z1 ∈Z[√

d].

(b) Montrer que ^z0_r^z1 ∈H⁺. (c) Montrer le Théorème 1.

* * * FIN DU SUJET * * *

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