Montrer qu’on aeiz= cos(z) +isin(z) (z∈C)

Universit´e Paris Diderot Analyse complexe – Ann´ee 2011-12 L3 math´ematiques

Feuille 2

Fonctions holomorphes et fonctions analytiques

1. Montrer qu’on ae^iz= cos(z) +isin(z) (z∈C).

2. Montrer les formules cos(z+z⁰) = cos(z)cos(z⁰)−sin(z)sin(z⁰) et sin(z+z⁰) = cos(z)sin(z⁰) + sin(z)cos(z⁰) (z, z⁰ ∈C).

3. Trouver tous les points deCo`u les fonctions suivantes sont d´erivables au sens complexe :z7→z,¯ z7→ <(z), z7→ |z|², z7→z|z|,z=x+iy 7→x²+iy²,z=x+iy 7→x²y².

4. Soitf la fonctionC →C d´efinie par f(0) = 0 et f(z) =e^−1/z4 (z∈C, z6= 0). Montrer que f admet des d´eriv´ees partielles en 0. Montrer qu’elle satisfait les ´equations de Cauchy-Riemann. Est-elle d´erivable au sens complexe en 0 ?

5. SoitU un ouvert connexe de C. Soit f ∈ H(U). Montrer que ¯f est holomorphe si et seulement sif est constante. Est-ce encore vrai siU n’est pas connexe ?

6. SoitU un ouvert deC. Soitf ∈ H(U). Montrer que la fonctionz7→f(¯z) est holomorphe sur U. Si on supposef enti`ere et on posef(z) =P∞

n=0anzⁿ, `a quelle condition a-t-onf(z) =f(¯z) (z∈C) ?

7. Soit U un ouvert connexe de C. Soit f ∈ H(U). Supposons qu’il existea, b, c ∈C, non tous nuls, tels quea<(f) +b=(f) +c= 0. Montrer que f est constante. En d´eduire que sif est `a valeurs r´eelles elle est constante.

8. Soit U un ouvert connexe de C. Soitf ∈ H(U). Supposons qu’on ait <(f) ==(f)² montrer que f est constante.

9. Montrer que la fonctionz7→1/z est analytique surC− {0}.

10. Monter que la fonction z = re^iθ 7→ log(r) +iθ est holomorphe pour r > 0, θ ∈]−π, π[. C’est la d´etermination principale du logarithme. Montrer qu’elle co¨ıncide avec la fonction Log surB(1,1).

11. D´eterminer{z∈C/cos(z) = 0} et{z∈C/sin(z) = 0}.

12. SoitU un ouvert deC. Soitφ: U →E de classeC², o`uEun espace vectoriel r´eel (par exempleE=R, ouE=C. On dit queφ: z=x+iy7→φ(z) estharmoniquesi et seulement si on a∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²= 0.

Montrer que les parties r´eelles et imaginaires d’une fonctionf de H(U) sont harmoniques. En d´eduire que f et ¯f sont harmoniques.

13. Donner les d´eveloppements en s´eries enti`eres des fonctions suivantes : z 7→ z/(z²−2z −3) en 0, z7→1/(3−2z) en 3 etz7→e^z en 1. Indiquer les rayons de convergence des s´eries.

14. Soitz∈C. Montrer que pournentier assez grand on a 1+z/n∈B(1,1). Montrer que Log(1+z/n)'z/n lorsque ntend vers l’infini. En d´eduire que la suite ((1 +z/n)ⁿ)_n≥1 tend vers e^z. La convergence est-elle uniforme ? Est-elle uniforme sur tout compact ?

15. Soitz∈B(0,1). Montrer qu’on a l’identit´eP∞

n=0zⁿ/(1−zⁿ) =P∞

m=0σ1(m)z^m, o`uσ1(m) est la somme des diviseurs dem.

Int´egration circulaire de fonctions holomorphes

1. `A l’aide de la formule int´egrale de Cauchy, calculer les int´egrales suivantes : R

C(−i,3)sinz_z+i^dz,R

C(0,2) dz z²+1, R

C(0,2) dz z²−1, R

C(0,4) dz z²−π², R

C(−1,1) dz (1+z)(z−1)³, R

C(i,1)cos(z)_(z−i)^dz 3, R

C(0,r) dz

(z−a)ⁿ(z−b) (pour a, b, r nombres r´eels v´erifiant|a|< r <|b|, etnentier≥1).

2. Soit f une fonction holomorphe sur B(0,2). Soient a, b ∈B(0,1). Calculer I(a, b) =R

C(0,1)

f(z)dz (z−a)(z−b). Calculer lima→bI(a, b).

3. PourR >0, calculerI(R) =R

C(0,R) dz

z²−5z+2, lorsque cette int´egrale est d´efinie.

4. On dit qu’une fonction enti`ere est de type exponentiel s’il existe une constante C >0 telle que f(z) = O(e^C|z|) quand|z|tend vers l’infini. La borne inf´erieure des nombresCv´erifiant cette propri´et´e s’appelle le typede la fonction f. Montrer que les fonctionz7→e^z etz7→sin(z) sont de type exponentiel 1.

5. Soit C >0 et soit f une fonction enti`ere de type exponentiel inf´erieur strict a C. On pose f(z) = P∞

n=0anzⁿ. Montrer qu’il existe A > 0 tels que |an|rⁿ < Ae^Cr (r ≥ 0). En d´eduire qu’on a |an| = O((Ce/n)ⁿ) lorsquentend vers l’infini.

6. Soit f une fonction enti`ere donn´ee par f(z) = P∞

n=0anzⁿ telle qu’on ait |an| = O((Ce/n)ⁿ) lorsque l’entierntend vers l’infini. Montrer quef est de type exponentielC.