MPSI B Énonce du DM 9 24 avril 2020
Soitmetndeux entiers naturels tels quem >2et 0<2n < m. On noteJ =J0, mK SoitA=Xn+an−1Xn−1+· · ·+a1X+a0. On denit une applicationf de Rm[X]dans R[X]par
∀P ∈Rm[X], f(P) =AP0−P A0.
On utilisera aussi un intervalle ouvertI deRqui ne contient pas de racine deA. 1. a. Vérier quef est linéaire et déterminerp= max{deg(S), S∈Imf, S6= 0}.
b. SoitQ∈R[X]tel que QA∈Rm[X]. Déterminerf(QA).
c. En utilisant une formule de dérivation surI, déterminerkerf. En déduirergf. 2. Pour tout élémentideJ, on poseYi=f(Xi).
a. Montrer que la famille de polynômes(Yi)i∈J\{n}est une base de l'image de f. b. En calculantf(A), déterminer les coordonnées deYn dans cette base.
3. a. Pour touti∈J, préciserdeg(Yi). En déduiremin{deg(S), S∈Imf, S6= 0}. b. Pour toutS∈Rp[X], on noteRS le reste de la division de S parA2.
Montrer queRS = 0⇒S∈Imf. En déduireS∈Imf ⇔RS∈Imf. Déterminer la valeur maximale dedegRS.
4. a. SoitP ∈Rm[X]et S=f(P). Déterminer l'ensemble des primitives surI de AS2. b. En déduire une primitive de AYi2 pour tout élémenti∈J.
5. Dans cette question,m >6 etA=X3−X+ 1. a. CalculerY0, Y1, Y2.
b. Montrer queS=X4+ 4X3−2X2−2X−1∈Imf.
c. Sans chercher à décomposer en éléments simples, déterminer une primitive de
X4+ 4X3−2X2−2X−1 (X3−X+ 1)2 .
d. Donner une condition nécessaire et susante sur les réels a, b, c, d, e pour que aX4+bX3+cX2+dX+e∈Imf.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0109E
