I. Polynômes de Hilbert

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/16

Centrale Maths 1 PSI — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Alexis Devulder (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de trois parties, les deux premières étant indépen- dantes l’une de l’autre. La troisième partie utilise, elle, les résultats des deux pre- mières. Dans l’ensemble, cette épreuve est d’un niveau assez homogène, bien construite, et permet de réviser un grand nombre de sujets.

L’objectif final du problème est de démontrer un résultat dû à Georg Pólya (1915) : toute fonction développable en série entière surC, prenant des valeurs entières sur N, et vérifiant une certaine majoration asymptotique est en réalité un polynôme.

• Dans la première partie, on étudie les polynômes de Hilbert (Hi)i∈N, suite définie par :

H0= 1 et ∀i∈N^∗ Hi= 1 i!

i−1

k=0

Π

(X−k)

L’intérêt de ces polynômes est qu’ils prennent des valeurs entières surZ, et per- mettent même de caractériser les polynômes vérifiantP (Z)⊂Z: ce sont ceux qui s’écrivent comme des combinaisons linéaires à coefficients entiers de poly- nômes de Hilbert.

On étudie également les suites qui peuvent s’écrire comme les valeurs surNd’un polynôme, leur caractérisation étant très utile pour démontrer le théorème de Pólya.

• La deuxième partie est consacrée à l’étude des séries entières. On y démontre plusieurs propriétés assez classiques : principe du maximum, factorisation d’une série entière f(z) par z−ω lorsque ω est un zéro de f. Tout ceci permet de conclure sur la nullité des séries entières nulles sur N, sous une hypothèse de majoration asymptotique.

• Enfin, dans la dernière partie, on combine les résultats des deux premières pour obtenir le théorème de Pólya. Il s’agit tout d’abord de trouver un polynôme Pqui coïncide sur Navec la série entièref grâce aux résultats de la première partie. La seconde partie nous permet ainsi de conclure, puisque la différence f−Pest alors nulle sur N.

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Indications

Partie I

I.A.1 Chercher les vecteurs colonnes de la matriceMn, images des vecteurs de base.

I.A.2 Chercher l’inverse de l’endomorphismeTn. I.B.1 La famille(Hi)_i6n est échelonnée en degré.

I.C.1 Exprimer les nombresP(j)comme des coordonnées du produit matriciel :

tMn·





 a0

... an







I.C.2 Pouri>n+ 1, raisonner dansC_i[X].

I.D Utiliser les polynômes de Lagrange pour interpoler les premières valeurs de la suite.

Utiliser ensuite la question I.C.2 pour montrer par récurrence que le polynôme obtenu convient.

Partie II

II.A.1 Intégrer le développement en série entière def.

II.B.2 Majorer l’expression intégrale def trouvée à la question II.A.2.

II.C.2 Montrer que la suite r^j+1bj

j∈N est majorée par une constante.

II.D.1 Appliquer le résultat de la question précédente à la fonction : z7−→f(z)·

p

j=1

Π

r²−zjz II.D.2 Remarquer quer²=zzpour toutz∈Cr.

II.D.4 Appliquer le résultat précédent à la fonctiong:z7−→ f(z) z^k . Montrer queg(0) = f^(k)(0)

k! .

Partie III

III.A.3 Majorer « brutalement » l’expression intégrale précédente.

III.B.1 Montrer que la suite d’entiers _n

P

k=0

(−1)^n−kC^knf(k)

n∈N

tend vers0.

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I. Polynômes de Hilbert

I.A.1 Lej-ième vecteur colonne de la matrice Mn correspond au vecteur colonne des coordonnées deTn(X^j)dans la base(1,X, . . . ,Xⁿ). Grâce à la formule du binôme de Newton, on trouve :

Tn(X^j) = (X + 1)^j=

j

P

i=0

Cⁱ_jXⁱ

Dans toute cette partie, lorsque l’on travaille sur des endomorphismes deC_n[X], espace vectoriel de dimensionn+ 1, on indice de0àn(et non de 1 à n+ 1) les lignes et les colonnes des matrices. Ainsi, ces indices corres- pondent aux puissances de l’indéterminéeX lorsqu’on travaille dans la base canonique(1,X, . . . ,Xⁿ).

Le coefficient sur la i-ième ligne et la j-ième colonne de la matrice Mn est donc le coefficient de Xⁱ dans l’expression de Tn(X^j), soit Cⁱ_j. En particulier, Mn est triangulaire supérieure.

Mn=







1 1 · · · 1 0 . .. C¹₂ · · · C¹n

... . .. ... ... ... ... . .. ... Cⁿ⁻¹_n 0 · · · 0 1







Autrement dit, puisque par conventionCⁱj= 0pour i > j, on obtient : Mn = Cⁱ_j

06i,j6n

I.A.2 L’endomorphismeTn deC_n[X]est inversible, d’inverse Tn−1: P7−→P(X−1)

Par conséquent, sa matriceMn dans la base(1,X, . . . ,Xⁿ)est également inversible, etMn−1est la matrice dans la base(1,X, . . . ,Xⁿ)deTn−1. On explicite doncMn−1

de la même façon, en calculant les images des vecteurs de base.

Ici Tn

−1(X^j) = (X−1)^j=

j

P

i=0

(−1)^j−i CⁱjXⁱ

soit Mn−1= (−1)^j−i Cⁱ_j

06i,j6n

I.B.1 Pour tout indicei, le polynômeHiest de degréi: la famille(Hi)06i6nest éche- lonnée en degré, et c’est donc une famille libre.

En outre, la famille(Hi)06i6npossèden+1éléments, c’est donc une base deC_n[X]

puisque l’espace vectorielC_n[X]est de dimensionn+ 1.

La famille(Hi)06i6n forme une base deC_n[X].

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Toute famille (P0, . . . ,Pn) de polynômes échelonnée en degré est libre. En effet, si (λ0, . . . , λn)sont des scalaires tels que

n

P

k=0

λkPk = 0, alors en consi- dérant le terme de plus haut degré, on obtient la nullité de λn. Il suffit alors d’itérer le procédé pour obtenir successivement λn−1= 0, etc.,λ0= 0.

I.B.2 Soiti un entier naturel non nul.

• Par construction, les entiers0,1, . . . , i−1sont racines du polynômeHi. Par suite Hi(j)est nul pour tout entierj∈[[ 0 ; i−1 ]].

Pour06j 6i−1,Hi(j) = 0est un entier.

• Sij est un entier strictement négatif, Hi(j) = 1

i!

i−1

k=0

Π

(j−k) = 1 i!

j k=j−i+1

Π

k

c’est-à-dire, en factorisant par−1dans chacun des termes du produit : Hi(j) =

(−1)ⁱ i!

^(−j)+i−1

k=−j

Π

k=(−1)ⁱ((−j) +i−1)!

i!(−j−1)!

Pourj <0,Hi(j) = (−1)ⁱCⁱ₍_−j)+i−₁ est un entier relatif.

• Sij est un entier supérieur ou égal à i, Hi(j) = 1

i!

i−1

k=0

Π

(j−k) = 1 i!

j

k=j−i+1

Π

k= (j)!

i!(j−i)!

et l’on obtient cette fois-ci :

Pourj >i,Hi(j) = Cⁱ_j est encore un entier.

I.C.1 Soit j ∈ [[ 0 ;n]]. En évaluant en j la décomposition P =

n

P

i=0

aiHi, on obtient :

P(j) =

n

P

i=0

aiHi(j)

Or, d’après la question précédente,Hi(j) = Cⁱ_j (qui est nul lorsquej < i), d’où P(j) =

n

P

i=0

Cⁱjai

Enfin, on a vu à la question I.A.1 que(Mn)i,j = Cⁱ_j. On obtient par transposition _t

Mn

i,j= C^j_i, d’où

P(j) =

n

P

i=0

_t Mn

j,iai

etP(j)est bien le coefficient de laj-ième ligne du produit ^tMn·





 a0

... an





.

Conclusion :





 P(0)

... P(n)





= ^tMn·





 a0

... an





