Théorème 1:Le théorème de Lamé Partie I : Préliminaire 1

Problème : Le théorème de Lamé

Dans ce problème, on fixe aetbdeux entiers non nuls tels queb < a.

On note alorsN(a, b) le nombre de division nécessaires pour calculera∧bpar l’algorithme d’Euclide, en considérant que celui-ci s’arrête lorsqu’il apparaît un reste nul.

L’objectif de ce problème est de prouver le théorème suivant dû à Lamé.

Soienta, b∈N^? tels queb < a.

– N(a, b)est inférieur ou égal à 5 fois le nombre de chiffres servant à écrire b.

– Plus précisément, siϕ= ¹⁺

√ 5

2 désigne le nombre d’or, alors,N(a, b)61 +j_ln(b)

ln(ϕ)

k .

– Il y a égalité dans cette inégalité si aetbsont deux entiers consécutifs de la suite de Fibonacci.

Théorème 1:Le théorème de Lamé

Partie I : Préliminaire

1. CalculerN(29,8),N(55,34)etN(157,97).

2. Vérifier la première inégalité du théorème de Lamé sur les exemples précédents.

Partie II : La suite de Fibonacci

La suite (fn)de Fibonacci est définie de la façon suivante :

f0=f1 = 1

∀n∈N, fn+2=fn+1+fn .

1. Montrer que, pour tout n∈N,fn est un entier strictement positif.

2. Montrer que, pour tout n∈N^?,fn+1> fn.

3. Montrer que, pour tout n>1,fn est le reste de la division euclidienne de fn+2 parfn+1. 4. Pourn∈N^?, en déduire les valeurs de f_n+1∧f_n et de N(f_n+1, f_n).

5. Montrer que¹, sin>2, alors ϕⁿ> f_n> ϕⁿ⁻¹.

Partie III : L’inégalité du théorème de Lamé

On suppose que l’algorithme d’Euclide pour déterminer leur pgcd comporte nétapes avecn>2.

En posanta=r0 etb=r1, on écrit l’algorithme d’Euclide sous la forme suivante :

r0 =r1q1+r2 avec 0< r2 < r1,

... ... ...

rn−2=rn−1qn−1+rn avec 0< rn< rn−1, rn−1=rnqn+ 0.

1. Montrer queqn>2 puis quern>f1 et quern−1>f2.

2. Montrer que si 06k6n, alors rn−k >f_1+k et en déduire que b > ϕⁿ⁻¹. 3. En déduire la seconde inégalité du théorème de Lamé.

4. Vérifier queln(ϕ)> ¹₅ln(10).

5. Montrer que si bs’écrit avec kchiffres alors b <10^k.

1. Comme le créateur du sujet est trop gentil, il vous conseille de commencer par prouver queϕ²= 1 +ϕ.

1

6. En déduire la première inégalité du théorème de Lamé.

Partie IV : Le cas d’égalité du théorème de Lamé

1. Montrer que siaet bsont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci alors il y a égalité dans la seconde inégalité du théorème de Lamé.

2. Que dire de la réciproque ?

3. Pouvons-nous affirmer qu’il y a égalité dans la première inégalité du théorème de Lamé siaet bsont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

* * * FIN DU SUJET * * *

2