1 Théorème de divergence

OLIVIER CASTÉRA

Table des matières

1 Théorème de divergence 1

2 Théorème de Gauss 3

3 Loi de Gauss pour la gravitation 4

1 Théorème de divergence

Théorème 1. Théorème de divergence

Soit A un champ de vecteurs. Pour tout volume de surface fermée S et de normale sortante n :

"

S

A·ndS =

˚

V

divAdV

Démonstration. Soit S une surface fermée telle que toute droite parallèle aux axes de coor- données rectangulaires, coupe S en au plus deux points¹ (par exemple un balon de baudruche suffisamment gonflé) :

"

S

A·ndS =

"

S

(Axi+Ayj +Azk)·ndS

=

"

S

A_xi·ndS+

"

S

A_yj·ndS+

"

S

A_zk·ndS

Date: 26 juillet 2021.

1. Cf. Murray R. Spiegel,Analyse vectorielle, Schaum (1973)

x

y z

R S₁ S₂

n₁ n₂

k j i

Fig 1. Volume de surface S

Calculons par exemple le dernier terme du membre de droite. Imaginons un plan horizontal coupant la surface fermée S en deux, de sorte que la ligne d’intersection soit la plus longue possible. Nous intégrons maintenant sur les deux surfaces S1 et S2 non fermées, de normales sortantes respectives n1 etn2 (voir la figure 1) :

"

S

Azk·ndS =

¨

S₁

Azk·n1dS¹+

¨

S₂

Azk·n2dS² Les surfaces S1 et S2 ont pour équation respective :

S1 : z =z1(x, y) S² : z =z²(x, y) Supposons S¹ en bas et S² en haut :

k·n1dS¹ =−dxdy k·n2dS² =dxdy Soit R le domaine d’intégration en x, y :

"

S

A_zk·ndS =

¨

R

A_z(x, y, z²)dxdy−

¨

R

A_z(x, y, z¹)dxdy

=

¨

R

[Az(x, y, z²)−Az(x, y, z¹)]dxdy

=

¨

R

ˆ z2

z₁

∂A_z

∂z dz

!

dxdy

=

˚

V

∂Az

∂z dV

Nous obtenons un résultat similaire pour les coordonnées x ety :

"

S

A·ndS=

˚

V

∂A_x

∂x dV +

˚

V

∂A_y

∂y dV +

˚

V

∂A_z

∂z dV

=

˚

V

∂A_x

∂x +∂A_y

∂y +∂A_z

∂z

!

dV

Définition 1. On appelle div, l’opérateur différentiel divergence, tel qu’appliqué à tout vecteur A on ait :

divA= ∂Ax

∂x + ∂Ay

∂y + ∂Az

∂z et par conséquent :

"

S

A·ndS =

˚

V

divAdV

Le théorème peut s’étendre aux surfaces qui ne satisfont pas la condition que des droites paral- lèles aux axes de coordonnées rectangulaires les coupent en au plus deux points. Pour établir cette généralisation, subdiviser le domaine S en sous-domaines dont les surfaces satisfont la

condition.

2 Théorème de Gauss

Théorème 2. Théorème de Gauss

Soit r =rer le vecteur position d’un point quelconque, mesuré à partir d’une origine O : O est extérieur à S,

"

S

e_r·n

r² dS = 0 O est intérieur à S,

"

S

e_r·n

r² dS = 4π Démonstration. A partir du théorème de divergence, posonsA= ^e_r^r2 :

"

S

e_r·n r² dS =

˚

V

div

e_r r²

dV

Dans le membre de droite,r parcourt tout le volume. Supposons r6= 0, c’est à dire O extérieur à S :

div

e_r r²

=div

r r³

=div

x

r³ i+ y

r³ j+ z r³ k

= ∂

∂x

x r³

+ ∂

∂y

y r³

+ ∂

∂z

z r³

avec :

∂

∂x

x r³

= ∂

∂x

"

x

(x²+y²+z²)^3/2

#

= 1 r⁶

r³−x×2x× ³₂r

= 1 r⁶

r³−3x²r donc :

div

e_r r²

= 1 r⁶

3r³−3(x²+y²+z²)r= 0

Supposons maintenant O intérieur à S. Entourons O d’une petite sphère s de rayon a et de volume v. Soit V le volume intérieur à S et extérieur à s, et soient n_S et n_s les normales

sortantes respectives des surfaces S et s :

"

S

e_r·n_S r² dS−

"

s

e_r·n_s r² ds =

˚

V

div

e_r r²

dV −

˚

v

div

e_r r²

dv

=

˚

V

div

e_r r²

dV

= 0 car O est extérieur à V. Nous avons alors :

"

S

e_r·n_S r² dS =

"

s

e_r·n_s r² ds

= 1 a²

"

s

ds

= 4πa² a²

= 4π

3 Loi de Gauss pour la gravitation

Soient deux corps de masse M et m, le modèle de force F pour la force de gravitation s’exerçant entre ces deux corps s’écrit :

F =−GM m r² e_r

Le modèle du champ de gravitation créé par le corps de masse M s’écrit alors : g =−GM

r² e_r Théorème 3. Loi de Gauss, forme intégrale

Soit g un champ de gravitation, par exemple celui de la Terre. Soit M la masse de la Terre :

"

S

g·ndS =−4πGM

Démonstration. En appliquant le théorème de Gauss :

"

S

g·ndS =

"

S

−GM

r² e_r·ndS

=−GM

"

S

e_r·n r² dS

=−4πGM

Théorème 4. Loi de Gauss, forme différentielle

Soit g un champ de gravitation, par exemple celui de la Terre. Soit ρ la masse volumique de la Terre :

divg=−4πρG

Démonstration. A partir du théorème de divergence et de la forme intégrale du théorème de Gauss appliqué au champ de gravitation :

˚

V

divgdV =

"

S

g·ndS

=−4πGM

=

˚

V

−4πGρ dV divg=−4πρG

Théorème 5. Equation de Poisson

Soit φ le potentiel du champ de gravitation terrestre :

∆φ= 4πρG

Démonstration. Le champ de gravitation est conservatif, il dérive d’un potentiel φ tel que g=−gradφ :

divg=−4πρG

−divgradφ=−4πρG

∆φ= 4πρG

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