I. Polynômes de Tchebychev

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/14

CCP Maths 1 MP 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Moez Ajmi (École Polytechnique) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet étudie le polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev.

Le but est de montrer l’existence d’un tel polynôme pour une fonction continue donnée, sans s’intéresser à l’unicité.

• La première partie, très classique, traite des polynômes de Tchebychev, de leurs propriétés les plus courantes (degré, coefficient dominant), ainsi que de leurs propriétés numériques (racines, norme). On y utilise les formules de trigonomé- trie, ainsi que des raisonnements par récurrence.

• La deuxième étudie les propriétés algébriques des polynômes de Tchebychev (base, projection orthogonale). Les outils utilisés sont élémentaires (intégrabi- lité d’une fonction, série convergente).

• La dernière partie est consacrée aux polynômes de meilleure approximation au sens de Tchebychev (PMA). On utilise un peu de topologie élémentaire (notion de compact) ainsi que des résultats de la première partie. Il s’agit de déterminer une méthode permettant de calculer le PMA d’ordre n d’une fonction polynomiale de degrén+ 1.

Dans l’ensemble, ce sujet est assez classique et d’une difficulté moyenne.

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Indications

I. Polynômes de Tchebychev 2.a Utiliser l’égalité

∀p, q∈R cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q

2

cos p−q

2

2.c Raisonner par récurrence.

3.a Déterminer les racines de Tⁿ et utiliser la décomposition en facteurs premiers d’un polynôme (remarquer queTⁿ est scindé).

3.b Utiliser la définition deTⁿ.

II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité 4 Majorer l’applicationt7→ h(t)

√1−t² par une application intégrable sur]−1 ; 1 [.

5.a Ne pas oublier de démontrer que h(1) =h(−1) = 0.

6 Faire le changement de variablet= cosθ.

7.a Remarquer que tⁿ(f)n’est autre que la projection orthogonale def surEⁿ. 8 Utiliser le théorème de Pythagore.

9.b Le terme général d’une série convergente tend vers 0quandntend vers⁺∞. 10.a Utiliser le fait que∀t∈]−1 ; 1 [ h²(t)

√1−t² 6 khk²∞

√1−t² et passer à l’intégrale.

11.b Utiliser la question 11.a.

III. PMA au sens de Tchebychev 13.a Raisonner par l’absurde.

13.b Utiliser la continuité de l’applicationϕ:

(Eⁿ −→R

Q 7−→ kf−Qk^∞

15.b Considérer le polynômeR = P−Q, de degré n, et montrer qu’il admetn+ 1 racines en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.

16 Utiliser les questions 14.b et 15.

17 Remarquer qu’un polynôme P unitaire et de degrén+ 1 s’écrit sous la forme P(X) = Xⁿ⁺¹−Q(X), oùQest un polynôme de degrén.

18.a S’inspirer de la question 16.

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I. Polynômes de Tchebychev

1.a La formule de Moivre donne

∀θ∈R cos(nθ) = Re(exp(inθ)) =Re[(cosθ+isinθ)ⁿ]

=Re n

P

k=0

n k

cosⁿ⁻^k(θ)i^ksin^k(θ)

cos(nθ) = P

062k6n

n 2k

cosⁿ⁻^2k(θ)(−1)^k(1−cos²(θ))^k

On pose Tⁿ(x) = P

062k6n

(−1)^k n

2k

xⁿ⁻²^k(1−x²)^k

Tⁿ est bien un polynôme à coefficients réels, et vérifiant la propriété

∀θ∈R Tⁿ(cosθ) = cos(nθ) Il reste à montrer que le polynômeTⁿ est de degrén:

Tⁿ(x) = P

062k6n

(−1)^k n

2k

xⁿ⁻²^k(1−x²)^k

= X

062k6n

(−1)^k n

2k

xⁿ⁻^2k k

P

l=0

(−1)^l k

l

x^2l

Tⁿ(x) = X

062k6n k

P

l=0

(−1)^k+l n

2k k

l

xⁿ⁻^2k+2l

Le terme de plus haut degré deTn est obtenu pourk=l: P

062k6n

(−1)^2k n

2k k k

xⁿ= P

062k6n

n 2k

xⁿ

Comme le coefficient du terme de plus haut degré deTⁿest non nul (c’est une somme d’entiers strictement positifs), on en déduit queTⁿ est de degrén.

Un polynôme de la formeaⁿXⁿ+aⁿ₋1Xⁿ⁻¹+· · ·+a0 n’est pas forcément de degrén; il faut vérifier que le terme de plus haut degré,aⁿ, est non nul.

1.b Supposons qu’il existe un autre polynômeRⁿ vérifiant

∀θ∈Rn Rⁿ(cosθ) = cos(nθ) = Tⁿ(cosθ) Commex= cosθ décrit[−1 ; 1 ]lorsqueθ décritR, on a

∀x∈[−1 ; 1 ] Rⁿ(x) = Tⁿ(x) soit (Rⁿ−Tⁿ)(x) = 0

Le polynômeRn−Tn admettant une infinité de racines, il s’agit du polynôme nul, d’oùRⁿ= Tⁿ. Conclusion :

Il y a un unique polynôme vérifiant la relation(∗).

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2.a Utilisons l’égalité suivante, qui découle directement de la définition du poly- nômeTn:

∀x∈[−1 ; 1 ] Tⁿ(x) = cos(nArccosx) (1) et appliquons la formule d’addition des cosinus :

∀p, q∈R cosp+ cosq= 2 cos p+q

2

cos p−q

2

Pourx∈[−1 ; 1 ],

Tn+2(x) + Tⁿ(x) = cos((n+ 2) Arccosx) + cos(nArccos (x))

= 2 cos((n+ 1) Arccosx) cos(Arccosx)

= 2xcos((n+ 1) Arccosx) Tn+2(x) + Tⁿ(x) = 2xTn+1(x)

d’où ∀x∈[−1 ; 1 ] Tⁿ+2(x) = 2xTⁿ+1(x)−Tⁿ(x)

Arccos est l’application réciproque de la restriction decossur[ 0 ;π]; elle est définie sur [−1 ; 1 ].

∀x∈[−1 ; 1 ] cos [Arccos (x)] =x

2.b D’après(1)on a, pour toutx∈[−1 ; 1 ],

T0(x) = cos(0) = 1 et T1(x) = cos(Arccosx) =x

Grâce à la relation établie à la question précédente, il vient, pour toutx∈[−1 ; 1 ], T2(x) = 2xT1(x)−T0(x) = 2x²−1

et T3(x) = 2xT2(x)−T1(x) = 4x³−3x

2.c T0a pour coefficient dominant1. Montrons par récurrence surn>1la propriété P(n):Tⁿ a pour coefficient dominant2ⁿ⁻¹.

• P(1)et P(2)sont vraies, au vu des expressions deT1et T2.

• P(n)etP(n+ 1) =⇒P(n+ 2): supposons vérifiéesP(n)etP(n+ 1)pour n>1fixé.

2xTn+1 est de degré n+ 2 et Tⁿ de degrén, donc Tn+2 est de degré n+ 2.

Le coefficient dominant deTn+2 est fourni par celui de2xTn+1, soit le double de celui deTn+1, c’est-à-dire2ⁿ⁺¹.

• Conclusion :P(n)est vraie pour toutn>1.

On a donc montré que

Tⁿ a pour coefficient dominant 2ⁿ⁻¹, pour toutn∈N^∗.