Exercice en temps libre - Semaine 15 Exercice MPSI Exercice :Polynômes de Tchebychev

Exercice en temps libre - Semaine 15

Exercice MPSI

Exercice :Polynômes de Tchebychev

SoitE=R[X]. Pour(P, Q)∈E², on poseϕ(P, Q) =R1

−1

P(t)Q(t)

√1−t² dt. Pourn∈N, on noteTnlen-ème polynôme deTchebychevde première espèce c’est-à-dire l’unique polynôme tel que ∀θ∈R,Tn(cosθ) = cos(nθ).

1. Montrer queϕest un produit scalaire surE.

2. a. Montrer que(Tn)_n∈^Nest une base orthogonale de l’espace préhilbertien (E, ϕ).

b. Pourn∈N, déterminerkTnk.

Exercice : Matrices et déterminants de Gram

1. SoitM ∈ Mn(R). Montrer par double inclusion que Ker(M) =Ker(^tM ·M).

SoitEun espace préhilbertien réel.

Pour n ∈ N^∗ et (x1, ..., xn) dans Eⁿ, on pose G(x1, ..., xn) = (xi|xj)_16i,j6n (matrice de Gram) puis γ(x1, ..., xn) =det(G(x1, ..., xn))(déterminant deGram). Soitβune BON deE. SoitM =M atβ(x1, . . . , xn).

2. Vérifier queG(x1, . . . , xn) =^tM·M.

3. Soit Montrer que rg(G(x1, ..., xn)) =rg(x1, ..., xn).

4. Montrer que la famille(x1, ..., xn)est liée si et seulement siγ(x1, ..., xn) = 0et que la famille(x1, ..., xn) est libre si et seulement siγ(x1, ..., xn)>0.

5. On suppose que la famille (x1, ..., xn) est libre dans E. On pose F = Vect(x1, ..., xn). Pour x ∈ E, on note pF(x) la projection orthogonale de x sur F puis d(x, F) la distance de x à F (c’est-à-dire d(x, F) =kx−pF(x)k). Montrer qued(x, F) =q

γ(x,x₁,...,xn) γ(x₁,...,xn) .

1

Une correction :

Exercice MPSI Exercice 1 :

1. • Soit(P, Q)∈E². L’applicationt7→ ^P(t)Q(t)√_1−t2 est continue sur]−1,1[. Ensuite, l’applicationt7→ ^P(t)Q(t)√_1+t est bornée au voisinage de1car continue en1et donc quandttend vers1, ^P(t)Q(t)√₁

−t² =^P√(t)Q(t)_1+t ×^√_1−t¹ = O

√1 1−t

. Puisque ¹₂ <1, on en déduit que l’applicationt7→ ^P(t)Q(t)√_1−t2 est intégrable sur un voisinage de1 à gauche. De même, quandttend vers1, ^P(t)Q(t)√₁

−t² =O

√1 1+t

et l’applicationt7→^P√(t)Q(t)_1−t2 est intégrable sur un voisinage de −1 à droite. Finalement, l’application t 7→ ^P(t)Q(t)√_1−t2 est intégrable sur ]−1,1[ et ϕ(P, Q)existe.

• La symétrie, la bilinéarité et la positivité deϕsont claires. De plus, pourP ∈E,

ϕ(P, P) = 0⇒ Z 1

−1

P²(t)

√1−t² dt= 0

⇒ ∀t∈]−1,1[, P²(t)

√1−t² = 0 (fonction continue, positive, d’intégrale nulle)

⇒ ∀t∈]−1,1[, P(t) = 0⇒P = 0 (polynôme ayant une infinité de racines).

Ainsi, l’applicationϕest définie et finalement l’applicationϕest un produit scalaire surE.

2. a. Soit(n, p)∈N². En posantt= cosθ, on obtient ϕ(Tn, Tp) =R1

−1

Tn(t)Tp(t)

√1−t² dt=R0 π

Tn(cosθ)Tp(cosθ)

√1−cos²θ (−sinθdθ) =Rπ

0 cos(nθ) cos(pθ)dθ.

Si de plus,n6=p, ϕ(Tn, Tp) =¹₂Rπ

0(cos((n+p)θ) + cos((n−p)θ))dθ=¹₂hsin((n+p)θ)

n+p +sin((n−p)θ) n−p

iπ 0 = 0.

Ainsi, la famille (Tn)_n∈N est orthogonale. De plus, on sait que ∀n ∈ N, deg(Tn) = n et on a donc montré que la famille(Tn)_n∈N est une base orthogonale de l’espace préhilbertien(E, ϕ).

b. Soitn∈N. Quandp=n, la formule précédente fournit kTnk²= ¹₂Rπ

0(1 + cos(2nθ))dθ=

πsin= 0

π

2 sin>1 , et donc

∀n∈N,kTnk=

√πsin= 0 p_π

2 sin>1 .

Exercice 2 :

1. Soit F = Vect(x1, ..., xn) et m = dimF. Soit B = (ei)16i6m une base orthonormée de F puis M la matrice de la famille(xj)16j6n dans la baseB .M est une matrice rectangulaire de format(m, n).

Soit (i, j) ∈ J1, mK×J1, nK. Puisque la base B est orthonormée, le coefficient ligne i, colonnej de la matrice^tM M est

Pm

k=1mk,imk,j = (xi|xj), et on a donc

G(x1, x2, ..., xn) =^tM M.

Puisque rg(x1, ..., xn) = rgM, il s’agit de vérifier que rg(^tM M) = rgM. Pour cela, montrons que les matricesM et^tM M ont même noyau.

SoitX∈ Mn,1(R).X ∈KerM ⇒M X= 0⇒^tM M X= 0⇒X∈Ker(^tM M)et aussi

2

X ∈Ker(^tM M)⇒^tM M X= 0⇒^tX^tM M X= 0⇒^t(M X)M X= 0⇒ kM Xk²2= 0⇒M X= 0⇒ X∈KerM.

Finalement, Ker(^tM M) =KerMet donc, d’après le théorème du rang, rg(x1, ..., xn) =rgM =rg(^tM M) = rg(G(x1, x2, ..., xn)).

rg(G(x1, x2, ..., xn)) =rg(x1, . . . , xn).

2. D’après 1),

(x1, ..., xn)liée⇔rg(x1, x2, ..., xn)<⇔rgG(x1, x2, ..., xn)< n⇔G(x1, x2, ..., xn)∈ GL/ n(R)

⇔γ(x1, x2, ..., xn) = 0.

De plus, quand la famille (x1, x2, ..., xn) libre, avec les notations de la question 1), on a m =n et la matriceM est une matrice carrée. On peut donc écrire

γ(x1, x2, ..., xn) =det(^tM M) =det(^tM)×det(M) = (detM)²>0.

(x1, ..., xn)liée⇔γ(x1, . . . , xn) = 0 (x1, ..., xn)libre⇔γ(x1, . . . , xn)>0.

3. Soitxun vecteur deEetpF(x)son projeté orthogonal surF. Dans la première colonne deγ(x, x1, . . . , xn), le théorème dePythagorepermet d’écrire (puisquex−pF(x)∈F^⊥)









 (x|x) (x|x1)

... (x|xn)











=











kx−pF(x) +pF(x)k² (x−pF(x) +pF(x)|x1)

...

(x−pF(x) +pF(x)|xn)











=











kx−pF(x)k²+kpF(x)k² (pF(x)|x1)

... (pF(x)|xn)











=











kx−pF(x)k² 0

... 0









 +











(pF(x)|pF(x)) (pF(x)|x1)

... (pF(x)|xn)











Après avoir remplacé aussi en première ligne les(x|xi)par(pF(x)|xi), on obtient par linéarité par rapport à la première colonne

γ(x, x1, x2, ..., xn) =γ(x−pF(x), x1, x2, ..., xn) +γ(pF(x), x1, x2, ..., xn)

Maintenant, pF(x) est dansF et donc la famille (pF(x), x1, x2, ..., xn)est liée puis d’après la question 2)γ(pF(x), x1, x2, ..., xn) = 0. Il resteγ(x, x1, x2, ..., xn) =γ(x−pF(x), x1, x2, ..., xn)et en développant suivant la première colonne, on obtient

∀x∈E, γ(x, x1, . . . , xn) =γ(x−pF(x), x1, x2, ..., xn) =kx−pF(x)k²γ(x1, x2, ..., xn).

Finalement kx−pF(x)k=q

γ(x,x₁,x₂,...,xn) γ(x₁,x₂,...,xn) .

3