(1)MPSI 2 Semaine 26 Exercice 1 Intégration 1

MPSI 2 Semaine 26

Exercice 1 Intégration 1.

Z a

0

a²³ −x²³³ dx

2.

Z 1

0

dx q

(1 +x²) ln(x+√ 1 +x²) 3. Rπ

−π(x²+ 5x+ 6) cos(2x)dx 4. R2

1 sin(ln(x))dx 5.

Z 2

1

x³−1 4x³−x 6.

Z 3

2

x⁷+x³ x¹²−2x⁴+ 1dx 7. Rπ/2

0 cos³(x)dx 8.

Z π/2

0

cos⁵(x) sin³(x)dx 9.

Z π/2

0

dx ptan(x) 10.

Z π/2

0

1 + tan(x) 1−tan(x)dx 11.

Z π/2

0

dx

cos(x) + 2 sin(x) + 3 12.

Z π/2

0

1−sin(x) + cos(x) 1 + sin(x)−cos(x)dx Exercice 2 Équations différentielles

1. xy⁰+y−e^x= 0avecy(a) =b, 2. y⁰−ytan(x) = _cos(x)¹ avecy(0) = 0,

3. y” +y= 2xcos(x) cos(2x)avecy(0) = 5 ety⁰(0) = 0, 4. y”−2y⁰ =e^2x+x²−1avecy(0) = 1/8et y⁰(0) = 1.

5. Soit la famille d’ellipses d’équationsx²+ 2y²=a². Montrer que l’équation différentiellex−2y y⁰ = 0 admet comme solutions des courbes normales à cette famille et représenter sur un même graphique les deux familles. Faire de même avec les familles :x²+y²=a²,y²=ax,xy=a²,(x−a)²+y²=a². Exercice 3 Suites

1. On considère, pour αréel, la suite récurrente(u_n)_n∈N définie paru_n+2= 2αu_n+1−u_n,u₀= 0 et u1= 1. Étudier la suite complètement et identifier les cas où elle est de signe constant.

2. Étudier la suite récurrente(un)_n∈N définie parun+1= un

3−2u_n. 3. Étudier la suite récurrente définie parun+1= 4un−1

un

. 4. Étudier la suite récurrente définie parx0= 0 etxn+1= ^x_xⁿ⁺¹

n+2.

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MPSI 2 Semaine 26

Exercice 4 Accélération de convergence

1. Soit(un)n∈N^∗ la suite réelle donnée par le périmètre du polygone régulier à2ⁿ⁺¹côté inscrit dans le cercle unité et dont un des sommets est (1,0). Donner une expression de un et montrer qu’on peut la calculer sans connaitre la valeur deπ.

2. Montrer x−x³

6 ≤sin(x)≤xpour tout réel xet en déduire que la suite converge vers2πet qu’il existeθ dans]0; 1[etC dansR^× tels queun−2π∼Cθⁿ.

3. On posev_n =un+1−θun

1−θ , pourndansN^∗. Montrer que v_n converge vers2πplus vite queu_n et préciser un équivalent de v_n−2π.

4. Soit(un)n∈N une suite réelle convergeant vers un réel`. On suppose que la suite de terme général u<sub>n+1</sub>−`

un−` converge vers un certainθdans]0; 1[. On pose θ_n=u_n+2−u_n+1 un+1−un

etv_n =u_n+1−θ_nu_n 1−θn

. Montrer quevn converge vers`plus vite queun.

5. Faire l’étude de la suite récurrente définie par u_n+1 =u⁻¹_n + 1et de premier terme 1, grâce à ce qui précède.

Exercice 5 Calcul différentiel et intégral 1. CalculerIα=

Z π

0

ln(1−2αcos(x) +α²)dxgrâce à des sommes de Riemann (en prenantζi le plus grand possible et pour une subdivision de pas constant) et montrerIα= 0si|α|<1et2πln|α|si

|α|>1. Que dire pour|α|= 1?

2. (Escalier du diable) Soit f la fonction définie sur [0; 1] ainsi : si x = P

ia_i3⁻ⁱ est l’écriture en base 3 de x(a_i ∈ {0,1,2}), alors f(x) s’obtient en convertissant tous les 2 apparaissant avant le premier 1 en 1 et en éliminant tous les autres chiffres, i.e. f(x) = P

i<jbi2⁻ⁱ avec bi = ai/2 et j = min{k| ak = 1}. Montrer que f vaut1/2 sur [1/3; 2/3],1/4 sur [1/9; 2/9], 3/4 sur[7/9; 8/9]

et qu’elle est continue et croissante (au sens large) sur [0; 1]. Montrer de plus qu’elle est dérivable de dérivée nulle en presque tous les points de [0; 1]. Est-ce un contre-exemple au théorème de Lagrange ?

Exercice 6 Études d’arcs et de fonctions

On appelle sommet d’un arc un point où la courbure est extrémale.

1. Développée de(a(cos(t) +tsin(t)), a(sin(t)−tcos(t))).

2. Montrer que la développée de la parabole y = x² admet comme équation y = 1

2 + 3x 4

^2/3 et trouver ses sommets éventuels.

3. Trouver les sommets de la chainette y=acosh(x/a).

4. Trouver les sommets de y= ln(x)et dey= exp(x).

5. Calculer le rayon de courbure et tracer l’astroïde(acos³(t), asin³(t)).

6. Montrer que la développée de l’astroïde x^2/3+y^2/3 = a^2/3 admet (x+ 3(xy²)^1/3, y+ 3(x²y)^1/3 comme représentation.

7. Construire l’arc 3at

1 +t³, 3at² 1 +t³

pouradansR^∗₊.

8. Trouver la parabole d’équation y = ax²+bx+c ayant avec la sinusoïde y = sin(x) une même tangente et une même courbure au point(0;π/2).

9. Trouver(a, b, c)tels que la courbe définie pary=x³ six≤1 ety=ax²+bx+csix >1ait une courbure continue.

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