MPSI 2 Semaine 15
Exercice 1 Déterminants
1. Montrer
1 x1 x21 · · · xn−11 1 x2 x22 · · · xn−12
... ... ... . .. ... 1 xn x2n · · · xn−1n
= Y
1≤i≤j≤n
(xj−xi).
2. Étudier
1 x1 · · · xn−21 xn1 1 x2 · · · xn−22 xn2 ... ... . .. ... ... 1 xn · · · xn−2n xnn
.
3. Étudier
1 f1(x1) f2(x1) · · · fn−1(x1) 1 f1(x2) f2(x2) · · · fn−1(x2)
... ... ... . .. ... 1 f1(xn) f2(xn) · · · fn−1(xn)
où les fk sont des polynômes unitaires de degrés
respectifsk.
4. Étudier
1 x11 x1 2
· · · n−1x1 1 x12 x2
2
· · · n−1x2 ... ... ... . .. ... 1 x1n xn
2
· · · n−1xn
où on a posé x
k
= x(x−1). . .(x−k+ 1)
k! .
5. Montrer que le déterminant de(1 +xiyj)1≤i,j≤nest nul pourn≥3et les(xi)1≤i≤net les(yj)1≤j≤n
dansK.
6. Montrer que le déterminant de(aij)1≤i,j≤n, avecaij = i−1j
, est égal à 1.
7. Calculer le déterminant de (aij)1≤i,j≤n avec aij = 3 si i = j, aij = 2 si i =j−1 et aij = 1 si i=j+ 1.
Exercice 2 Algorithmes
Dans cet exercice on donne des règles de récriture : chaque ligne est une règle qui décrit une application.
Lorsque l’application n’est pas partout définie, son ensemble de définition est décrit par une condition entre crochets. Appliquer ces règles à un élément asignifie choisir, s’il en existe, une règle applicable à a, remplacerapar le résultat de la règle, disons b, et recommencer avec b, et ainsi de suite tant qu’on peut continuer. La procédure s’arrête quand on ne peut plus continuer.
1. Que fait l’algorithme suivant ? On se donne des entiers a etb des entiers avec b >0, on initialise un triplet à(0, a, b)puis on applique les règles suivantes :
[r <0] : (q, r, b)7→(q−1, r+b, b) [r≥b] : (q, r, b)7→(q+ 1, r−b, b)
2. Et celui-ci ? On se donnea,betnavec2nb > a >0et on initialise un quadruplet à(n,0, a, b). On applique ensuite les règles :
[k >0et r <2k−1b] : (k, q, r, b)7→(k−1,2q, r, b)
[k >0et r≥2k−1b] : (k, q, r, b)7→(k−1,2q+ 1, r−2k−1b, b) [ k= 0 ] : (k, q, r, b)7→(q, r)
3. Et celui-ci ? On se donneA,B des polynômes avecB6= 0et on initialise un triplet à(0, A, B). On applique ensuite les règles :
[deg(R)≥deg(V)] : (Q, R, V)7→(Q+A, R−AV, V) [deg(R)<deg(V)] : (Q, R, V)7→(Q, R)
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MPSI 2 Semaine 15
où on a noté A le monôme quotient des monômes de plus haut degré de R et V, i.e. A =
dom(R)
dom(V)Xdeg(R)−deg(V) en notantdom()les coefficients dominants.
4. Et celui-ci ? On se donne un élémentadans un anneau et mun entier strictement positif. On ini- tialise un triplet à(e, a, m)avecel’élément neutre pour la multiplication de l’anneau. On applique ensuite les règles :
[ npair ] : (y, x, n)7→(y, x2, n/2) [nimpair6= 1] : (y, x, n)7→(yx, x2,(n−1)/2) [ n= 1 ] : (y, x, n)7→yx
5. Estimer le nombre de multiplications nécessitées par l’algorithme précédent.
6. On étudie la suite de Fibonacci, donnée parF0= 0,F1= 1et Fn+1=Fn+Fn−1. Montrer que les coefficients de la matrice
1 1 1 0
n
sont des termes de la suite de Fibonacci et les préciser. En déduire un algorithme rapide pour calculer cette suite et préciser la rapidité en la comparant à un algorithme naïf.
Exercice 3 Algorithme d’Euclide
On utilise les notations de l’exercice précédent. Commenter les algorithmes suivants.
1. On se donneuetvdeux entiers naturels et on initialise un couple à(u, v). On se donne ensuite les règles suivantes :
[0< u≤v] : (u, v)7→(u, v−u) [0< v≤u] : (u, v)7→(u−v, v) [ u= 0 ] : (u, v)7→v
[ v= 0 ] : (u, v)7→u
2. On se donnexetydeux entiers naturels et on initialise un sextuplet à(x,1,0, y,0,1). On se donne ensuite les règles suivantes :
[u6= 0] : (u, c, d, v, a, b)7→(v−qu, a−qc, b−qd, u, c, d) [u= 0] : (u, c, d, v, a, b)7→(v, a, b)
Exercice 4 Suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci a été définie à l’exercice 2.
1. Démontrer que pour tous entiers naturelsnet m, on aFn+m=Fn+1Fm+FnFm−1. 2. En déduireFn+m∧Fm=Fm∧Fn puisFm∧Fn=Fm∧n.
3. Soit ϕ= (1 +√
5)/2. Démontrer qu’on a Fn = (ϕn−(−ϕ)−n)/√
5 et queFn est l’entier le plus proche deϕn/√
5.
4. Soit x et y des entiers tels que 0 < y < x et d = x∧y. Montrer que si l’algorithme d’Euclide appliqué àxety admetnétapes, alorsx≥dFn+2 ety≥dFn+1.
5. Montrer que le nombre d’étapes dans l’algorithme d’Euclide appliqué à xety avec0≤y ≤xest inférieur à 5 fois le nombre de chiffres de y en base 10.
6. Montrer que le nombre d’étapes précédent est au plus 32log2(y) + 1.
Exercice 5 Nombres premiers
1. En considérant le produit desnpremiers nombres premiers, augmenté de 1, montrer que l’ensemble des nombres premiers est infini et que lene nombre premier est inférieur à22n. En déduire que le nombre de nombres premiers inférieurs à un réel x, avecx >1, est supérieur àlog(log(x)).
2. Démontrer qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme4n+ 3. Et de même pour ceux de la forme 6n+ 5.
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