MPSI 2 Semaine 27
Exercice 1 Isomorphisme de groupes
1. Montrer que le groupe (R,+)est isomorphe au groupe(R, ?), avecx ? y=p3 x3+y3
2. Montrer queS4 contient un sous-groupe isomorphe à V4. Quelle est la signature des éléments de ce sous-groupe ?
Exercice 2 Anneaux de congruences
1. On note a≡bmodn, ce qui se lita est congru à b modulo n, la propriété n|(b−a), c’est-à-dire qu’on a : a≡bmodn⇔ ∃k ∈Z, a=b+kn. Montrer que c’est une relation d’équivalence, i.e.
qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.
2. On notea¯l’ensemble{x∈Z|x≡amodn}, i.e.¯a=a+nZ, etZ/nZl’ensemble des classes d’équi- valence pour la relation de congruence modulon. Montrer que c’est un anneau et que l’application a7→¯aest un morphisme d’anneaux deZdansZ/nZ.
3. On note Z/nZ× l’ensemble des unités deZ/nZ, i.e. l’ensemble des éléments inversibles deZ/nZ.
Utiliser une relation de Bézout pour démontrer queaappartient à Z/nZ× si et seulement s’il est premier avecn. En déduire queZ/nZest un corps si et seulement sinest premier.
4. Sin∧c=d, montrerca≡cbmodn⇔a≡bmod nd.
5. On appelle système complet de représentants modndes entiers a1, a2, . . ., an tels queZ/nZsoit réunion disjointe dea¯1,a¯2,. . .,a¯n. Sin∧c= 1montrer queca1,ca2,. . .,canest aussi un système complet de représentants modn.
6. Montrer que l’équationax≡bmodnadmet des solutions si et seulement si, en notantd=a∧n, ddiviseb et qu’alors elle a exactementdsolutions.
Exercice 3 Suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est donnée parF0= 0,F1= 1et,∀n∈N∗,Fn+1=Fn+Fn−1. 1. Démontrer que pour tous entiers naturelsnet m, on aFn+m=Fn+1Fm+FnFm−1. 2. En déduireFn+m∧Fm=Fm∧Fn puisFm∧Fn=Fm∧n.
3. Soit ϕ= (1 +√
5)/2. Démontrer qu’on a Fn = (ϕn−(−ϕ)−n)/√
5 et queFn est l’entier le plus proche deϕn/√
5.
4. Soit x et y des entiers tels que 0 < y < x et d = x∧y. Montrer que si l’algorithme d’Euclide appliqué àxety admetnétapes, alorsx≥dFn+2 ety≥dFn+1.
5. Montrer que le nombre d’étapes dans l’algorithme d’Euclide appliqué à xety avec0≤y ≤xest inférieur à 5 fois le nombre de chiffres de y en base 10.
6. Montrer que le nombre d’étapes précédent est au plus 32log2(y) + 1.
Exercice 4 Algorithmes d’Euclide et d’exponentiation rapide
Dans cet exercice on donne des règles de récriture : chaque ligne est une règle qui décrit une application.
Lorsque l’application n’est pas partout définie, son ensemble de définition est décrit par une condition entre crochets. Appliquer ces règles à un élémentasignifie choisir, s’il en existe, une règle applicable àa, remplacerapar le résultat de la règle, disonsb, et recommencer avecb, et ainsi de suite tant qu’on peut continuer. La procédure s’arrête quand on ne peut plus continuer. Commenter les algorithmes suivants.
1. On se donneuetvdeux entiers naturels et on initialise un couple à(u, v). On se donne ensuite les règles suivantes :
[0< u≤v] : (u, v)7→(u, v−u) [0< v≤u] : (u, v)7→(u−v, v) [ u= 0 ] : (u, v)7→v
[ v= 0 ] : (u, v)7→u
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2. On se donnexetydeux entiers naturels et on initialise un sextuplet à(x,1,0, y,0,1). On se donne ensuite les règles suivantes :
[u6= 0] : (u, c, d, v, a, b)7→(v−qu, a−qc, b−qd, u, c, d) [u= 0] : (u, c, d, v, a, b)7→(v, a, b)
3. On se donne un élément a dans un anneau et m un entier strictement positif. On initialise un triplet à(e, a, m) avecel’élément neutre pour la multiplication de l’anneau. On applique ensuite les règles :
[ npair ] : (y, x, n)7→(y, x2, n/2) [nimpair6= 1] : (y, x, n)7→(yx, x2,(n−1)/2) [ n= 1 ] : (y, x, n)7→yx
4. Estimer le nombre de multiplications nécessitées par l’algorithme précédent.
5. Montrer que les coefficients de la matrice
1 1 1 0
n
sont des termes de la suite de Fibonacci et les préciser. En déduire un algorithme rapide pour calculer cette suite et préciser la rapidité en la comparant à un algorithme naïf.
Exercice 5 Nombres premiers On se donnepun nombre premier.
1. Montrer, pour 1 ≤ k ≤ p−1, pk
≡ 0 modp. En déduire ap ≡ amodp et, si a 6≡ 0 modp, ap−1≡1 modp. Enfin, pourα∈N∗, montrera≡1 modpα⇒ap≡1 modpα+1.
2. Montrer que les coefficients de (1−x)−p sont divisibles par p, à l’exception de ceux de degré multiple de pqui sont, eux, congrus à 1 modulop. On pourra considérer(1−xp)−1−(1−x)−p. 3. Montrer que le ne nombre premier est inférieur à 22n. En déduire que le nombre de nombres
premiers inférieurs à un réel x, avecx >1, est supérieur àlog(log(x)).
4. Démontrer qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme4n+ 3. Et de même pour ceux de la forme6n+ 5.
Exercice 6 Unités et fonction d’Euler (*)
1. Sia≡bmodneta≡bmodm, montrera≡bmodn∨m.
2. On note ϕ(n)le cardinal de Z/nZ×. On appelle système complet de représentants premiers àn des entiersa1,a2,. . .,aϕ(n)tels queZ/nZ× soit réunion disjointe dea¯1,a¯2,. . .,aϕ(n)¯ . Sin∧c= 1 montrer queca1,ca2, . . .,caϕ(n) est aussi un système complet de représentants premiers àn.
3. Supposonsn∧m= 1. Siaetbparcourent des systèmes complets de représentants modulonetm respectivement, montrer que am+bn parcourt un système complet de représentants modulonm.
En déduire que Z/nZ×Z/mZest isomorphe àZ/nmZ.
4. Montrer que les unités se correspondent et donc que les groupes Z/nZ××Z/mZ× et Z/nmZ× sont isomorphes.
5. En déduire queϕest multiplicative au sens suivant :n∧m= 1⇒ϕ(nm) =ϕ(n)ϕ(m).
6. Montrer ϕ(n) =nY
p|n
1−1
p
où le produit s’étend sur les diviseurs premiers den.
7. Montrer P
d|nϕ(d) =n, où la somme s’étend sur tous les diviseurs positifs den.
8. Sia∧n= 1, montreraϕ(n)≡1 modn.
9. Pour a premier à n, soit d la plus petite valeur strictement positive de x pour laquelle ax ≡ 1 modn. On l’appelleordre deamodulon. Montrerd|ϕ(n). On pourra montrer que l’ensemble des xprécédents est un sous-groupe deZ.
10. Montrer que, pour tout entierapremier à 561, on aa560≡1 mod 561. Est-ce que 561 est premier ? 11. Montrer que siaest d’ordren−1, alorsnest premier.
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