MPSI 2
Exercice 1 Géométrie
Soit A le point d’affixe 1. Pour tout complexez, on noteM1,M2et M3 les points d’affixez,z2et z3. 1. Déterminer l’ensemble des points M1 tels queA,M1 etM3soient alignés.
2. Déterminer l’ensemble des points M1 tels queA,M1 etM2soient alignés.
3. Déterminer l’ensemble des points M1 tels queA,M2 etM3soient alignés.
4. Déterminer l’ensemble des points M1 tels queA,M1 etM2forment un triangle rectangle.
Exercice 2 Trigonométrie
1. Résoudre dansRl’équation d’inconnue x:sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0.
2. Résoudre dansRl’équation d’inconnue x:cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + cos(4x) = 0.
3. Siot n ∈ N∗. On pose ω = exp(2iπ/n). Exprimer à l’aide de ω une factorisation du polynôme Xn−1.
4. Soitaetb deux nombres complexes. Établir l’égalité
n−1
Y
k=0
(a−bωk) =an−bn.
5. Résoudre l’équation x2−2xcos(θ) + 1 = 0 et en déduire une factorisation du polynôme x2− 2xcos(θ) + 1.
6. Établir alors l’égalité
n−1
Y
k=0
(ω2k−2ωkcos(θ) + 1) = 2(1−cos(nθ)).
Exercice 3 Géométrie (bis)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé on considère les pointsA(−i),B(1)etC(i). Pourzcompplexe distinct de −i, on posef(z) = z−i
z+i et F l’application du plan qui au point d’affixe z associe le point d’affixef(z).
1. Montrer que tout point du plan, excepté un point particulier que l’on précisera, est l’image par F d’un unique point. Trouver les points M tels queF(M) =M.
2. On pose M0 = F(M). Exprimer la distance BM0 en fonction de la distance AM. Montrer que l’image par F du cercle de centre A et de rayon Rest un cercle dont précisera les caractéristiques.
3. Déterminer l’ensemble des nombres complexesz tels quef(z)soit réel.
4. Déterminer l’ensemble des nombres complexesz tels quef(z)soit imaginaire pur.
5. Déterminer l’ensemble des nombres complexesz tels quef(z)soit de module 1.
6. Soitn≥1, déterminer l’ensemble des nombres complexesztels quef(z)soit une racine de l’unité.
7. Déterminer l’ensemble que décritF(M)lorsqueM décrit la droite(AB)privée deA.
Exercice 4 Demi-plan de Poincaré
SoitH le demi-plan défini parIm(z)>0. Soitu=a+ibet v=c+iddeux nombres complexes écrits sous forme algébrique. On notesu,vla transformation définie par z7→ az+bcz+d et jv la fonction définie par jv(z) =|cz+d|2.
1. Soitaetb deux réels distincts,z0 un élément deH etR un réel strictement positif.
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(a) Donner une équation de la droiteDapassant par le point d’affixeaet orthogonale à l’axe des abscisses.
(b) Donner une équation du cercleΓa,b de diamètre[A, B]avecAetB les points d’affixes respec- tivesaetb.
(c) Donner une équation du cercle de centre d’affixez0 et de rayonRet préciser quand ce cercle est entièrement inclus dansH. Quand cette condition est vérifiée, on noteCH(z0;R)ce cercle.
2. Soituetv deux nombres complexes tels quedet(u, v) = 1.
(a) Montrer que, pour tout complexez non réel, su,v(z) est bien défini et jv(z)est non nul, et qu’on aIm(su,v(z)) = Im(z)j
v(z).
(b) Montrer quesu,v est une bijection deH dansH.
(c) Justifier quedet(u, v) = 1et interpréter géométriquementsu,vdans les cas suivants :(u, v) = (1 +ib, i),(u, v) = (a, i/a)et (u, v) = (i,−1).
(d) Montrer que su,v est la composée d’applications d’un des trois types étudiés à la question précédente.
3. Avec les notations et des deux questions précédentes, quelle figure décrit su,v(z)lorsque z décrit l’une des trois figures suivantes :Da,Γa,b ouCH(z0;R)?
Exercice 5 Polygones réguliers à points entiers (*) Soitnun entier supérieur ou égal à 3.
1. Rappeler quelles sont les affixes des sommets du polygone régulier àn côtés de centreO et dont l’un des sommets est d’affixe 1.
2. En utilisant une similitude, montrer que les affixeszdes sommets d’un polygone régulier àncôtés, vérifient une équation du type (z−ω)n =an, avec ω et ades complexes, et a6= 0. Dans la suite on noteΠn un tel polygone. Interpréter géométriquementω.
3. Soit A et B deux sommets distincts de Πn. Donner une équation de la médiatrice de [A, B] en termes complexes, et en utilisant les affixes de AetB.
4. On suppose que trois des sommets deΠn ont des affixes dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des nombres entiers (relatifs). Montrer que ωa des parties réelles et imaginaires rationnelles.
5. On suppose de plus que, parmi les trois sommets précédents, deux sont consécutifs. Montrer que e2iπ/n a des parties réelles et imaginaires rationnelles.
6. Soitθun nombre réel.
(a) Montrercos((n+ 1)θ) = 2 cos(θ) cos(nθ)−cos((n−1)θ).
(b) On pose X = 2 cos(θ). Montrer qu’on peut écrire 2 cos(nθ) sous la formea0+a1X +. . .+ an−1Xn−1+Xn, aveca0,a1,· · ·,an−1 des entiers naturelsindépendantsdeθ.
(c) On noteTn l’expression polynomiale obtenue à la question précédente. Soitpetq sont deux entiers n’ayant aucun diviseur commun, avec q 6= 0. Montrer : Tn
p q
= 0 ⇒ q = 1. En déduire que sirest un nombre rationnel tel queTn(r) = 0, alorsrest un entier relatif.
7. En déduire n = 4 et donc que Πn est un carré dont tous les sommets ont des affixes dont les parties réelle et imaginaires sont entières.
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