(1)MPSI 2 Semaine de grippe Exercice 1 Un peu de pratique

MPSI 2 Semaine de grippe

Exercice 1 Un peu de pratique ...

1. 8x+ 2y+ 1 = 2 tan(4x+C).

2. (a) y=x²+Cx, (b) y= x⁴

6 + C x², (c) y= exp(x²)

2 C−Rx

a exp(2t²)dt, (d) y=Cexp(−sin(x)) + sin(x)−1.

3. (a) y= exp(x)

x +ab−exp(a)

x ,

(b) y= x cos(x), (c) y= 1

2(sin(x) + cos(x)), (d) y= 2x²+ 2x+ 1

4 .

4. (a) y=C1exp(C2x),

(b) y=C₁e^x+C₂e^−x/2+e^2x20x−28 25 , (c) y=

C1+C2x+x3 6

e^x,

(d) y=C1cos(x) +C2sin(x) +xsin(x)−x²cos(x)

4 .

5. (a) y=

C1+C2x+x² 4

e^x+cos(x) 2 −e^−x

8 ,

(b) y=C1cos(x) +C2sin(x) +8xcos(x) + 8x²sin(x)−4xcos(3x) + 3 sin(3x)

32 ,

(c) y=C1cos(x) +C2sin(x) +C3e^−x+2x−3 8 e^x. 6. Résoudre en tenant compte des conditions initiales :

(a) y= 4e^x+e^4x, (b) y=Csin(πx),

(c) y= 4x+ 1

8 e^2x+3x−3x²−2x³

12 .

Exercice 2 Tractrice

x=−p

a²−y²−aln a−p a²−y² y

! .

Exercice 3 Hyperboles

xy= 6.

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Exercice 4 Dynamique des populations

1. Sinest le taux de natalité moyen,mle taux de mortalité moyen,rle taux de rencontres effectives parmi les rencontres possibles et c le taux de mortalité dû à ces rencontres, alors la population augmente de ny, diminue demy et aussi de c.r.y(y−1)/2. En posantb =cr/2 et a= 1 + 2(n− m)/(cr), on obtient un accroissement deaby−by², i.e.y⁰ =by(a−y).

2.

y(x) = 5 1 + 49e^−10x . Exercice 5 Courbes orthogonales

1. Famille de paraboles :y=Cx² 2. Famille (faisceau) de droites :y=Cx

3. Famille d’ellipses (homofocales) :2x²+y²=C² 4. Famille d’hyperboles :x²−y²=C²

5. Famille de cercles :x²+ (y−C)²=C² Exercice 6 Fonctions dey/x

1. (y−3x)⁵(y+ 3x) =C.

2. (x²+y²)³(x+y)²=C.

3. 3x+y+ 2 ln|x+y−1|=C.

Exercice 7 Équation du second ordre

y(x) =−e^xcos(x). Exercice 8 Wronskien

w⁰+aw= 0.

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