SRC1 TD13 Séries.
TD13 : suites et sé- ries.
Elements de cours sur les suites
Une suite réelle est une fonction deN7→R. Une suite complexe est une fonction à valeur dansCet dont la variable varie dansN(fonction deN7→C).
Suites arithmétiques : Définie par son premier termeu0 et sa raisona:
un+1=un+a un=u0+na
SiS=uk+uk+1+· · ·+upalors
S=(nombre de termes de S)×(1er terme de S)+(dernier terme de S) 2
Suites géométriques : Définie par son premier terme u0 et sa raisonb:
un+1=b×un
un=u0×bn
SiS=uk+uk+1+· · ·+up alors
S=(premier terme de S)×1−(raison)nb de termes de S 1−(raison)
Etude de suites définies explicitement (un=f(n)) :
• on peut calculer le n-ème terme en fonction de n, sans calculer les autres termes.
• Croissance, décroissance : étudier un+1−un. La suite (un)est donc croissante si f est croissante, décroissante sif est décroissante
• Limite : une suite réelle croissante majorée (∃M∈R∀n∈ Nun≤M) ou décroissante minorée (∃m∈R∀n∈Nun≥ m) admet une limite.
Suites définies par récurrence : (un+1=f(un)) :
• Pour calculer le n-ème terme il faut connaître le terme précédent...
• Sif est croissante,(un)est monotone.
• Penser à utiliser le raisonnement par récurrence...
Exercice 1 : rappels sur les suites
1. Le salaire annuel de Jean est augmenté tous les ans de 5%. Il a été embauché en 2001 pour un salaire annuel de 20000 euros. On nomme un le salaire annuel de Jean l’année n (où l’année 0 est l’année 2001). Que vaut u0? Exprimezun+1 en fonction deun. Quelle est donc la nature de cette suite ? Quel sera son salaire en 2015 ? Combien d’argent aura-t-il gagné entre début 2001 et fin 2015 ?
2. Soitn∈N∗. Soit la suite à valeurs complexes définie paruk =e2iπkn . (a) Ecrivezu0,u1 et u2 en notation algébrique (a+ib).
(b) Montrez que la suite(uk)est une suite géométrique et déterminez en la raison.
(c) En déduireS=Pn−1
k=0uk. (d) Que valent doncPn−1
k=0cos(2πkn )etPn−1
k=0sin(2πkn )?
3. Etudiez un = n2n2 : calculez u0, u1, u2,u3,u4. Montrez qu’à partir den= 3, la suite est décroissante. Montrez que cette suite est minorée.
4. un= 3n−1n+4 : Montrez queun est majorée par 3 et minorée par −14 . 5. Suites définies par récurrence :
(a) f :x7→x2est-elle croissante ? Etudiez la suiteun+1=u2n (Croissante ou décroissante ? Majorée ? Minorée ? Limite ?), d’abord dans le cas oùu0= 0.75, puis dans le cas où u0= 1.25.
(b) f : x7→ −1x est-elle croissante ? Etudiez la suite un+1 = −u1
n d’abord dans le cas où −1 < u0 < 1 (et u06= 0) puis dans le cas où|u0|>1. Que se passe-t-il si u0= 1? Et siu0= 1?
(c) Suites et modélisation (travail personnel)Soitu0la proportion de poissons dans un étang (1 étant la proportion maximale, pour laquelle tous les poissons meurent faute de nourriture, 0 la proportion minimale : pas de poisson dans l’étang...) l’année 0. Ces poissons ont un taux de natalitéa. Si l’on noteu1la proportion de poissons à la génération suivante, ...,unla proportion de poissons l’annéen, on admet que la proportion de poisson évolue comme la suiteun+1=aun(1−un): S’il y a trop de poissons à l’étapenpour se nourrir, ou s’il y en a trop peu pour se reproduire, cela pénalise la génération suivante.
i. Montrez par récurrence que si0≤u0≤1, on a bien∀n,0≤un ≤1.
ii. Sous matlab: étudiez la convergence de la suite en faisant varier le taux de natalitéaet la proportion initiale de poissonu0. Notez que les seuls équilibres possibles (convergence de la suite sont0 (tous les poissons meurent) et 1−1a (proportion d’équilibre). Notez que si a est trop grand cet équilibre est chaotique...
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Exercice 2 : les séries
Cours : définitions et théorèmes de base
• Déf : on appelle série associée à la suite (un)n∈N (ou série de terme général un) la suite Sn = Pn
k=0uk (ou Sn=Pn
k=1uk siu0 n’est pas défini...).
• Si cette suite Sn a une limite finie quand n→+∞, on dit que la série converge. Dans le cas contraire, on dit qu’ellediverge.
• Les théorèmes qui suivent servent tous à déterminerla natured’une série, c’est-à-dire à savoir si elle converge ou diverge. L’idée est que pour que la série de terme général un converge, il faut que un tende suffisamment vite vers 0.
• Critère de Riemann : la série de terme généralun= n1α est convergente ssiα >1.
• Critère de majoration : Soient (un)n∈Net (vn)n∈N deux suites à valeurspositives. Alors si∀n∈Nun ≤vn on a :
– Si la série de terme généralvn converge, a fortiori la série de terme généralun converge.
– Si la série de terme généralun diverge, a fortiori la série de terme généralun converge.
• S’il existeα >1 tel que limnαun= 0, alors la série de terme généralun converge.
• Beaucoup d’autres critères existent...
Exercices
1. Quelle est la série de terme généralun= n1? Converge-t-elle ? Quel est le terme général de la série Sn=
Xn k=1
1 k2
Cette série converge-t-elle ?
2. Quelle est la nature de la suiteun=21n? La série de terme généralunconverge-t-elle, et si oui, vers quelle valeur ? Plus généralement, pouvez-vous dire quand (pour quelles valeurs de x) la série de terme un =xn converge, et dans ce cas, vers quelle valeur ?
3. Démontrez en vous servant des théorèmes énoncés plus haut que la série de terme généralun=n2xn où|x|<1 converge.
4. Soit Sn =Pn
i=1ui. Que vaut Sn−Sn−1? La série de terme général un peut-elle converger si un ne tend pas vers 0 quandn→+∞? (Raisonner par l’absurde...). Inversement, si(un)tend vers 0 en+∞, la série de terme généralun converge-t-elle nécessairement ?
