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Exercices en temps libre : Semaine 3 Exercice cours MPSI : Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que ! (1 − i√3)

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercices en temps libre : Semaine 3 Exercice cours MPSI :

Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que

!(1−i√ 3)5 (1−i)3

"n

soit un réel positif Pour toutn∈Net tout réelx, calculer :

Cn(x) =

n

#

k=0

cos(kx)etSn(x) =

n

#

k=0

sin(kx).

Exercice 1 :

SoitA∈Mn(K)ayantnvaleurs propres distinctes {λ1, ...,λn}.

1. Montrer que l’ensembleCA={M ∈Mn(K)/AM =M A}des matrices carrées deMn(K)qui commutent avecAest un espace vectoriel.

2. a. SoitB un élément deCA. Soitλune valeur propre deA. Montrer que∀X ∈Eλ, BX ∈Eλ. 3. Montrer queVect(In, A, A2, ..., An1)⊂CA.

4. On veut maintenant étudier l’indépendance linéaire de la famille {In, A, A2, ..., An1}. Pour cela, on considèrenréelsα0, ...,αn1 tels que$n

i=0αiAi = 0.

a. Montrer que les(αi)sont solution du système :

(∗)

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

α0 + α1λ1 + α2λ21 + ... + αn1λn11 = 0 α0 + α1λ2 + α2λ22 + ... + αn1λn21 = 0

... ... ... ... ...

α0 + α1λn + α2λ2n + ... + αn1λnn1 = 0

b. Démontrer par récurrence surnque : ) ) ) ) ) ) ) ) )

1 λ1 λ21 ... λn−11 1 λ2 λ22 ... λn21

... ... ... ... 1 λn λ2n ... λnn1

) ) ) ) ) ) ) ) )

= *

1!i<j!n

j−λi).

c. En déduire l’ensemble des solutions du système(∗)et conclure.

5. On admet que dim(CA)est de dimensionn(les 5/2 pourront le démontrer).

Montrer queCA= Vect(In, A, A2, ..., An1).

Conseils de lecture :

1. Exercice 84 d’algèbre de la banque CCP 2016 2. Exercice 89 d’analyse de la banque CCP 2016

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