Exercices en temps libre : Semaine 3 Exercice cours MPSI :
Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que
!(1−i√ 3)5 (1−i)3
"n
soit un réel positif Pour toutn∈Net tout réelx, calculer :
Cn(x) =
n
#
k=0
cos(kx)etSn(x) =
n
#
k=0
sin(kx).
Exercice 1 :
SoitA∈Mn(K)ayantnvaleurs propres distinctes {λ1, ...,λn}.
1. Montrer que l’ensembleCA={M ∈Mn(K)/AM =M A}des matrices carrées deMn(K)qui commutent avecAest un espace vectoriel.
2. a. SoitB un élément deCA. Soitλune valeur propre deA. Montrer que∀X ∈Eλ, BX ∈Eλ. 3. Montrer queVect(In, A, A2, ..., An−1)⊂CA.
4. On veut maintenant étudier l’indépendance linéaire de la famille {In, A, A2, ..., An−1}. Pour cela, on considèrenréelsα0, ...,αn−1 tels que$n
i=0αiAi = 0.
a. Montrer que les(αi)sont solution du système :
(∗)
⎧
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎩
α0 + α1λ1 + α2λ21 + ... + αn−1λn1−1 = 0 α0 + α1λ2 + α2λ22 + ... + αn−1λn2−1 = 0
... ... ... ... ...
α0 + α1λn + α2λ2n + ... + αn−1λnn−1 = 0
b. Démontrer par récurrence surnque : ) ) ) ) ) ) ) ) )
1 λ1 λ21 ... λn−11 1 λ2 λ22 ... λn2−1
... ... ... ... 1 λn λ2n ... λnn−1
) ) ) ) ) ) ) ) )
= *
1!i<j!n
(λj−λi).
c. En déduire l’ensemble des solutions du système(∗)et conclure.
5. On admet que dim(CA)est de dimensionn(les 5/2 pourront le démontrer).
Montrer queCA= Vect(In, A, A2, ..., An−1).
Conseils de lecture :
1. Exercice 84 d’algèbre de la banque CCP 2016 2. Exercice 89 d’analyse de la banque CCP 2016
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