Exercices en temps libre : Semaine 3 Exercice cours MPSI : Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que ! (1 − i√3)

Exercices en temps libre : Semaine 3 Exercice cours MPSI :

Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que

!(1−i√ 3)⁵ (1−i)³

"n

soit un réel positif Pour toutn∈Net tout réelx, calculer :

Cn(x) =

n

#

k=0

cos(kx)etSn(x) =

n

#

k=0

sin(kx).

Exercice 1 :

SoitA∈Mⁿ(K)ayantnvaleurs propres distinctes {λ1, ...,λn}.

1. Montrer que l’ensembleCA={M ∈Mn(K)/AM =M A}des matrices carrées deMn(K)qui commutent avecAest un espace vectoriel.

2. a. SoitB un élément deCA. Soitλune valeur propre deA. Montrer que∀X ∈Eλ, BX ∈Eλ. 3. Montrer queVect(In, A, A², ..., Aⁿ⁻¹)⊂CA.

4. On veut maintenant étudier l’indépendance linéaire de la famille {In, A, A², ..., Aⁿ⁻¹}. Pour cela, on considèrenréelsα0, ...,αn−1 tels que$n

i=0αiAⁱ = 0.

a. Montrer que les(αi)sont solution du système :

(∗)

⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

α0 + α1λ1 + α2λ²₁ + ... + αn−1λⁿ₁⁻¹ = 0 α0 + α1λ2 + α2λ²₂ + ... + αn−1λⁿ₂⁻¹ = 0

... ... ... ... ...

α0 + α1λn + α2λ²_n + ... + αn−1λⁿ_n⁻¹ = 0

b. Démontrer par récurrence surnque : ) ) ) ) ) ) ) ) )

1 λ1 λ²₁ ... λⁿ⁻¹₁ 1 λ2 λ²₂ ... λⁿ₂⁻¹

... ... ... ... 1 λn λ²_n ... λⁿ_n⁻¹

) ) ) ) ) ) ) ) )

= *

1!i<j!n

(λj−λi).

c. En déduire l’ensemble des solutions du système(∗)et conclure.

5. On admet que dim(CA)est de dimensionn(les 5/2 pourront le démontrer).

Montrer queCA= Vect(In, A, A², ..., Aⁿ⁻¹).

Conseils de lecture :

1. Exercice 84 d’algèbre de la banque CCP 2016 2. Exercice 89 d’analyse de la banque CCP 2016

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