Exercices en temps libre : Semaine 1
Exercice 1 (cours MPSI)
Soientf :E7→F et g:F 7→Gdeux applications.
1. Montrer que sig◦f est injective et f surjective, alorsg est injective.
2. Montrer que sig◦f est surjective etg est injective, alorsf est surjective.
Exercice 2 :
On noteE=Rn[X]etf l’application :P7→f(P) =X(P(X)−P(X−1)).
1. Vérifier quef est un endomorphisme duR-evE.
2. Former la matriceAdef dans la base canoniqueB= (1, X, . . . , Xn)deE.
3. Déterminer le noyau, l’image, le rang def.
4. Définition : on dit que λest une valeur propre de f si et seulement s’il existe un polynôme P ∈ E NON NUL telle quef(P) =λ·P.
Quelles sont les valeurs propres def? Conseils de lecture :
1. Exercice 59 d’algèbre de la banque CCP 2016 2. Exercice 60 d’algèbre de la banque CCP 2016
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CORRECTIONS : Exercice 1 :
1. Soienty1, y2 dansF tels que g(y1) =g(y2). La fonctionf est surjective donc il existex1, x2 dansE tels quef(xi) =yi. Alorsg(f(x1)) =g(f(x2)). Commeg◦f est injective,x1=x2et par suite,y1=y2. Donc gest injective.
2. Soity∈F etz=g(y). Par surjectivité deg◦f, il existexdansEtel queg◦f(x) =z. Alorsg◦f(x) =g(y) et par injectivité deg,y=f(x), doncf est surjective.
Exercice 2 :
1. On a, pour tout α ∈ R et tous P, Q ∈ R[X] : f(αP +Q) =X((αP +Q)(X)−(αP +Q)(X −1) = X(αP(X)+Q(X)−αP(X−1)−Q(X−1)) =αX(P(X)−P(X−1))+X(Q(X)−Q(X−1)) =αf(P)+f(Q) Doncf est linéaire.
SoitP ∈E=Rn[X]. On a alorsP(X)−P(X−1)∈Rn−1[X], car les termes de degrénse simplifient.
Puisf(P)∈E par degré d’un produit de polynômes.
Finalement,f est bien un endomorphisme.
2. Soitj∈[0, n].f(Xj) =X(Xj−(X−1)j) =X(Xj−Pj i=0
j i
(−1)j−iXi) =X(−Pj−1 i=0
j i
(−1)j−iXi) = Pj−1
i=0 j i
(−1)j−i−1Xi+1=Pj k=1
j k−1
(−1)j−kXk en faisant un changement d’indice.
La matrice defest donc triangulaire supérieure :A=
0
1 ∗
. ..
j
(0) . ..
n
avecak,j = (−1)j−k kj
−1
.
3. Noyau : Puisque A est triangulaire, que le premier terme diagonal est nul et que les autres termes diagonaux sont tous non nuls,ker(f)est de dimension 1, de base(1).
Rang :D’après le théorème du rang,rg(f) =dim(E)−dimker(f) = (n+ 1)−1 =n.
Image :Par définition de f, on a ;∀P ∈E, f(P) =X·(...)∈XRn−1[X], donc Im(f)⊂XRn−1[X]. Par argument d’inclusion-dimension, on conclut Im(f) =Vect(X, X2, X3, . . . , Xn).
4. Le réelλest une valeur propre si et seulement s’il existe P 6= 0 tel quef(P) =λP si et seulement s’il existeP non nul tel que(f−λIdE)(P) = 0si et seulement siker(f−λIdE)6={0}ssiker(A−λIn+1)6={0}
ssiλest une valeur de la diagonale deA.
Les valeurs propres sont donc0,1, . . . , n.
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