Exercices en temps libre : Semaine 0
Exercice MPSI :
Soientf :E7→F et g:F 7→Gdeux applications.
1. Montrer que sig◦f est injective et f surjective, alorsg est injective.
2. Montrer que sig◦f est surjective etg est injective, alorsf est surjective.
Exercice 1 :
On note⋆ la loi interne dansG=C×Rdéfinie, pour tous(z, t),(z′, t′)∈Gpar : (z, t)⋆(z′, t′) =′z+z′, t+t′+Im(zz′)).
Montrer que(G, ⋆)est un groupe. Est-il commutatif ? Exercice 2 :
Soient(G,·)un groupe,e son neutre,a, b∈Gtels queba=ab2et ab=ba2. Montrer quea=b=e Exercice 3 :
Montrer que les groupes(Z,+) et(Z2,+) ne sont pas isomorphes.
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Exercice MPSI :
Soientf :E7→F et g:F 7→Gdeux applications.
1. Montrer que sig◦f est injective et f surjective, alorsg est injective.
2. Montrer que sig◦f est surjective etg est injective, alorsf est surjective.
Exercice 1 :
On note⋆ la loi interne dansG=C×Rdéfinie, pour tous(z, t),(z′, t′)∈Gpar : (z, t)⋆(z′, t′) =′z+z′, t+t′+Im(zz′)).
Montrer que(G, ⋆)est un groupe. Est-il commutatif ? Exercice 2 :
Soient(G,·)un groupe,e son neutre,a, b∈Gtels queba=ab2et ab=ba2. Montrer quea=b=e Exercice 3 :
Montrer que les groupes(Z,+) et(Z2,+) ne sont pas isomorphes.
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Soientf :E7→F et g:F 7→Gdeux applications.
1. Montrer que sig◦f est injective et f surjective, alorsg est injective.
2. Montrer que sig◦f est surjective etg est injective, alorsf est surjective.
Exercice 1 :
On note⋆ la loi interne dansG=C×Rdéfinie, pour tous(z, t),(z′, t′)∈Gpar : (z, t)⋆(z′, t′) =′z+z′, t+t′+Im(zz′)).
Montrer que(G, ⋆)est un groupe. Est-il commutatif ? Exercice 2 :
Soient(G,·)un groupe,e son neutre,a, b∈Gtels queba=ab2et ab=ba2. Montrer quea=b=e Exercice 3 :
Montrer que les groupes(Z,+) et(Z2,+) ne sont pas isomorphes.
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