Devoir en temps libre

N^◦ 4 Premi`ere S1

Devoir en temps libre

Introduction

On consid`ere la suite (u_n)_n∈

N d´efinie par :

u0 = 1024 et pour toutn deN un+1 = 1

2un−50

l’objectif de ce devoir est d’´etudier cette suite `a l’aide de diff´erents outils.

On s’int´eressera de plus, pour la premi`ere fois, `a la somme des termes cons´ecutifs de cette suite.

P

A : E

´

2. La suite (u_n)_n∈

N est-elle une suite arithm´etique ? La suite (u_n)_n∈

N est-elle une suite g´eom´etrique ? Justifier vos affirmations.

3. Utilisation d’un algorithme

Etablir programme sur calculatrice ou `´ a l’aide d’un langage de programmation sur ordinateur permettant de calculeru100 .

Recopier ou imprimer votre programme sur votre copie .

Donner alors la valeur de u₁₀₀ obtenue `a l’aide de votre programme.

4. Utilisation d’un tableur

Donner la formule ´ecrite en B2 et permettant, apr`es recopie vers le bas, d’obtenir les valeurs successives de la suite (u_n)

1 11 janvier 2017

N^◦ 4 Premi`ere S1

5. A partir du terme u₁₉ le tableur de G´eogebra affiche la valeur −100, comme si la suite ´etait constante `a partir du rang 19.

Qu’en pensez vous ?

6. Que pensez vous du comportement de la suite (un) lorsque n tend vers ∞? 7. On note : S_n =

n

X

i=0

u_i

( c’est `a dire la somme des (n+ 1) premiers termes de la suite.) Calculer S5

( On pourra utiliser les r´esultats donn´es par le tableur de g´eogebra ci-dessus) 8. ´Etablir un algorithme permettant de calculerS100

Recopier ou imprimer votre programme sur votre copie .

Donner alors la valeur de S₁₀₀ obtenue `a l’aide de votre programme.

P

B : R

’

(u

), E

S

1. On pose pour tout n de N v_n=u_n+ 100

Compl´eter la colonne C ( Question 4) de la partie A ) ci-dessus avec les valeurs successives de v_n

2. ´Etablir une conjecture sur la nature de la suite (v_n) 3. D´emontrer que pour tout n de N, vn+1 = 1

2vn

4. En d´eduire l’expression dev_n en fonction de n puis celle de u_n en fonction de n.

En d´eduire la valeur exacte de u₁₀₀ 5. On admet provisoirement que :

Pour toutn deN, S_n = 2248× 1−0,5ⁿ⁺¹

−(n+ 1)×100 En d´eduire la valeur exacte de S₁₀₀

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