Devoir en temps libre n

Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques LM383

Equations différentielles. Méthodes de résolution numérique.

Travaux dirigés Année universitaire 2006-2007

Devoir en temps libre n

1

à rendre pour la semaine du 12 au 16 Mars

Construction des schémas de différences finies

Soit f une fonction de classe C^∞ sur l’intervalle [0,1] et (n+ 1) points équidistants de [0,1], d’abscissesx_i=ih, i= 0,1, . . . , n, avec le paramètre de discrétisationh= 1/n.

Les valeurs de f aux points x_i, notées f_i = f(x_i), sont supposées connues. Le but de cet exercice est d’étudier des schémas d’approximation de la dérivée troisième def aux points x_i (f_i⁰⁰⁰∼f⁰⁰⁰(x_i)) pour lesquelles l’erreur commise est la plus petite possible.

a)Ecrire les développements de Taylor de f_i+1,f_i−1,f_i+1⁰ ,f_i−1⁰ ,f_i+1⁰⁰ ,f_i−1⁰⁰ ,f_i+1⁰⁰⁰ etf_i−1⁰⁰⁰ relati- vement aux valeurs def et de ses dérivées successives au pointx_i.

b)Nous cherchons à construire des schémas sous la forme

( a₊f_i+1+a₀f_i+a₋f_i−1+b₊f_i+1⁰ +b₀f_i⁰ +b₋f_i−1⁰

+c₊f_i+1⁰⁰ +c₀f_i⁰⁰+c₋f_i−1⁰⁰ +d₊f_i+1⁰⁰⁰ +d₀f_i⁰⁰⁰+d₋f_i−1⁰⁰⁰ +R= 0. (1) 1. En déduire les équations que doivent satisfairea₋,a₀,a₊,b₋,b₀,b₊,c₋,c₀,c₊,d₋,d₀ et d₊ pour que l’erreur de troncatureR ne contienne que des termes enO(h^p) avecp≥5.

2. Donner les coefficients deh⁵ et deh⁶ dans l’expression deR.

c)Dans cette question, nous voulons construire des schémas pour calculer les dérivées troisièmes sans faire intervenir les dérivées secondes (c₊=c₋=c₀ = 0).

1. Déterminer l’ordre maximum que l’on peut obtenir.

2. Ecrire un schéma avec cette propriété ; est-il unique ?

3. Que peut-on dire du schéma explicite (d₊ =d₋ = 0) ? Donner un schéma et déterminer s’il est unique.

d)Dans cette question, nous cherchons à construire des schémas pour approcher les dérivées troisièmes sans faire intervenir les dérivées premiéres (b₊=b₋=b₀ = 0).

1. Déterminer l’ordre maximum que l’on peut obtenir.

2. Ecrire un schéma avec cette propriété ; est-il unique ?

3. Que peut-on dire du schéma explicite (d₊ =d₋ = 0) ? Donner un schéma et déterminer s’il est unique.

e)Quel est l’ordre de maximum qui peut être obtenu avec un schéma du type (1) ? Ecrire un schéma avec cet ordre. Est-il unique ?