Fr´ed´eric Bertrand Magist`ere 2`eme ann´ee - 2007/2008
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Exercice 1 Efficacit´e et maximum de vraisemblance.
Soit θ ∈ R∗, X une variable al´eatoire suivant une loi normale d’esp´erance 1/θ et d’´ecart-type 1 et (X1, . . . , Xn) un ´echantillon ind´ependant de taille n de loi parente X.
1. Quel est l’estimateur θbn par maximum de vraisemblance de θ?
2. L’estimateur θbn est-il sans biais, asymptotiquement sans biais ? L’estimateur θbn est-il efficace, asymptotiquement efficace ?
3. Montrer que :
√n
θbn−θ0 loi
−→ N(0, θ0).
Vous pourrez utiliser, sans le d´emontrer, la propri´et´e suivante.
M´ethode Delta
Soitf : N→R+telle que limn→+∞f(n) = +∞,aun vecteur deRp, (Xn)n∈N une suite de vecteurs de Rp tels que :
f(n)(Xn−a) loi
−→ N(0,Σ), o`u Σ est une matrice r´eelle d´efinie positive.
Soit g : Rp →Rq diff´erentiable en a, G(a) la matrice r´eelle de taille (p, q) de ses d´eriv´ees premi`eres ´evalu´ees en a :
G(a) =
∂g1
∂u1(a) · · · ∂u∂g1
p(a) ... ... ...
∂gq
∂u1(a) · · · ∂u∂gq
p(a)
.
Alors :
f(n)(g(Xn)−g(a)) loi
−→ N(0, G(a)ΣG(a)0), o`u G(a)0 est la transpos´ee de G(a).
4. En d´eduire que l’estimateur θbn est normalement asymptotiquement efficace.
Qu’en concluez-vous ?
Exercice 2 Test d’un param`etre d’une loi de Weibull.
Soit X une variable al´eatoireX qui suit une loi de Weibull de densit´e : f(x, θ, λ) = λθxθ−1exp−λxθ
avec λ >0,θ >0 et x >0.
Le param`etre θ est suppos´e connu.
Soit (X1, . . . , Xn) un ´echantillon de taille n de loi parenteX.
Nous nous int´eressons au probl`eme de test suivant : H0 : λ = λ0
H1 : λ = λ1 avecλ1 < λ0. 1
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1. D´eterminez la loi de la variableZ =λXθ.
2. D´eterminez la forme de la r´egion critique duW du test en utilisant la m´ethode de Neyman et Pearson.
3. Donnez une r´eponse au probl`eme de test pour l’application num´erique sui- vante :
λ0 = 2 λ1 = 1 θ= 3 n = 10 α = 0,05
10
X
i=1
x3i = 18.
Exercice 3 Tests entre deux hypoth`eses simples de param`etres multi- dimensionnels.
La variable al´eatoireXsuit une loi normaleN(µ, σ). Soit (X1, . . . , Xn) un ´echantillon de taille n de loi parente X.
En utilisant la m´ethode de Neyman et Pearson, d´eterminer la forme de la r´egion critique du test suivant :
H0 : µ = µ0 σ = σ0
H1 : µ = µ1 σ = σ1 .
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