Devoir en temps libre n

Université Pierre et Marie Curie LM383

Equations diérentielles. Méthodes de résolution numérique.

Travaux dirigés Année universitaire 2006-2007

Devoir en temps libre n

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à rendre semaine 17 (23-27/04)

Exercice 1 (procédé d'extrapolation de Richardson)

SoitAune fonction réelle dénie surR₊et admettant pour tout nun développement limité en 0du type :

A(y) =α₀+α₁y+...+α_nyⁿ+O(yⁿ⁺¹).

Soit0< r <1ety₀ >0. On dénit la famille (A_m,k)_0≤k≤m par :

∀m∈N, A_m,0 =A(r^my₀) et

∀m∈N^∗,∀k∈N, k≤m−1⇒A_m,k+1= A_m,k −r^k+1A_m−1,k 1−r^k+1 . Montrer que àkxé, A_m,k−α₀ =O((r^my₀)^k+1) lorsquem tend vers +∞.

Exercice 2 (formule d'Euler Mac Laurin) a) Soitf ∈Cⁿ⁺¹([0,1],R) (n∈N^∗). Montrer

Z ₁

0

f(x)dx−1

2[f(0) +f(1)] = Xn

j=1

Z ₁

0

α_jf^(j)(x)dx+ Z ₁

0

P_n+1(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)dx

où les famille(P_j)_j∈N^∗ ∈R[X]^N∗ et(α_j)_j∈N^∗ ∈R^N∗ sont dénies par les relations de récurrence : P₁(x) = 1

2−x et α₁ = 0 et

P_j+1(x) = Z _x

0

(α_j−P_j(t))dt et α_j+1 = Z ₁

0

P_j+1(t)dt, (j ∈N^∗)

Montrer de plus que∀j∈N^∗, α_2j−1= 0 et P_j(x) = (−1)^jP_j(1−x). b) Soitf ∈C²ⁿ⁺²([a, b],R) etk∈N^∗. On note h= b−a

k . Montrer que Z _b

a

f(x)dx=T_k+ Xn

j=1

α_2jh^2j Z _b

a

f^(2j)(x)dx+h²ⁿ⁺² Z _b

a

P˜_2n+2(x−a

h )f⁽²ⁿ⁺²⁾(x)dx

oùP˜_2n+2 représente le prolongement par périodicité surRde la restriction de P_2n+2 à [0,1[et T_k =h



f(a) +f(b)

2 +

k−1X

j=1

f(a+jh)



.

En déduire une estimation de l'erreur commise par la méthode des trapèzes appliquée à une fonctionf ∈C²ⁿ⁺²(R,R), soit à support compact (pour l'intégrale totale), soit périodique (pour l'intégrale de période).

Exercice 3 (méthode de Romberg)

Soitf ∈C^∞([a, b],R). On construit la famille (A_m,k)_0≤k≤m telle que

∀m∈N, A_m,0=T₂^m(f) = (b−a) 2^m



f(a) +f(b)

2 +

2X^m−1

j=1

f(a+jb−a 2^m )





et

∀m∈N^∗,∀k∈N, k≤m−1⇒A_m,k+1 = 4^k+1A_m,k−A_m−1,k 4^k+1−1 .

Montrer en utilisant la formule d'Euler Mac Laurin et le procédé d'extrapolation de Richardson que, àkxé et lorsquem tend vers +∞

A_m,k = Z _b

a

f(x)dx+O( 1 2^m(2k+2)).