8 : Méthodes d’approximation d’EDO

Université Pierre-et-Marie-Curie Licence de Mathématiques LM383

Equations différentielles. Méthodes de résolution numérique.

Travaux dirigés Année universitaire 2006-2007

TD n

8 : Méthodes d’approximation d’EDO

Exercice 1

Soit le problème de Cauchy suivant :

½ y⁰(t) =f(t, y(t)), t∈[t0, t0+T]

y(t0)∈R^mfixé (1)

L’existence et l’unicité de y ∈ C¹([t0, t0+T],R^m) vérifiant (1) sont bien assurées en supposant par exemple que la fonctionfest continûment différentiable de[t0, t0+T]×R^mdansR^met est globalemement Lipschitzienne par rapport à sa seconde variable avec un coefficient de Lipschitz notéLpour la norme choisie surR^m.

a) SoitN ∈N. On noteh= _N^T. Montrer que sihL <1la suite (yn)0≤n≤N suivante :

½ y0∈R^mfixé,

yn+1=yn+hf(t0+ (n+ 1)h, yn+1), 0≤n≤N−1.

est bien définie.

b)On notetn=t0+nhet en =yn−y(tn). Montrer que

||en+1|| ≤(1 +hL1)(||en||+||²n||) oùL1= _1−Lh^L et ²n désigne l’erreur de consistance :

εn=y(tn+1)−y(tn)−hf(tn+1, y(tn+1))

c) En déduire

||en|| ≤e^L1nh||e0||+

n−1X

i=0

e^{L1(n−1−i)h}(1 +hL1)||εi||

puis la convergence de la méthode d’Euler implicite :

N→+∞,ylim0→y(t0)( max

0≤n≤N|en|) = 0

d) On suppose ici quet0= 0etf(t, y) =−λyavecλ >0. Montrer que pour toutn∈N, la suite d’Euler implicite(yn)0≤n≤N est une suite bornée indépendamment deN et :

eN =y0e^−λT(T²λ²

2N +O(T³λ³

N² )) + (y0−y(t0))e^−λT

Comparer ces résultats avec ceux obtenus avec la méthode d’Euler explicite. Proposer une nouvelle méthode permettant d’améliorer le résultat de convergence précédent.

Exercice 2

On considère à nouveau le problème de Cauchy (1) où la fonctionf est C² de[t0, t0+T]×Rdans R et est globalemement Lipschitzienne par rapport à sa seconde variable avec un coefficient de Lipschitz notéL.

a) On s’intéresse à l’inéquation valable pour toutn≥1 :

Θn+1≤Θn−1+ 2hLΘn+αn

où pour toutn∈N,Θn etαn sont des réels positifs. Montrer que q

Θ²_n+1+ Θ²_n≤e^hL q

Θ²_n+ Θ²_n−1+αn

On admettra que la matriceA=

µ2hL 1

1 0

¶ vérifie

|||A|||2≤e^hL

En déduire une majoration deΘn en fonction deΘ0,Θ1,hL,α1, ...,αn−1.

b) SoitN ∈N. On noteh= _N^T. On définit la suite(yn)0≤n≤N suivante :

½ y0=y(t0), y1=y0+hf(t0, y0)

yn+1=yn−1+ 2hf(tn, yn), 1≤n≤N−1.

Majorer l’erreur de consistance

ε0=y(t1)−y(t0)−hf(t0, y(t0)) et sin≥1,

εn =y(tn+1)−y(tn−1)−2hf(tn, y(tn)) en fonction deM2=||y⁽²⁾|| etM3=||y⁽³⁾||.

Montrer que

0≤n≤Nmax |yn−y(tn)| ≤Ch² où la constanteC, à déterminer, dépend deM2,M3,Let T.

Exercice 3

On considère le schéma de Runge-Kutta défini par le tableau suivant : (M2) 1/6 | A

(M3) 1/2 | B 3/4 (M4) 5/6 | C 1 1/3

(M) 1 | 1/3 −1/4 2/3 1/4 avecA, B, C tois nombres réels à determiner.

a) Décrire les méthodes de quadratureM2, M3,M4 et M et calculerA,B et C.

b) Ecrire l’algorithme qui définit ce schéma numérique.

c) Quel est l’ordre de ce schéma ?

Exercice 4

On considère la méthode de quadrature(M)sur[0,1]donnée par Z ₁

0

f(x)dx∼af(0) +bf(1/4) +cf(1/2) +df(2/3).

a) Déterminer les coefficientsa,b,c etdpour que cette méthode soir d’ordre 3.

b) Soientαet β deux nombres réels. On considère la méthode de Runge-Kutta défini par (M₂) 1/4 | 1/4

(M3) 1/2 | β −β+ 1/2

(M4) 2/3 | 2α −α+ 1/3 −α+ 1/3

(M) 1 | a b c d

c) Décrire les méthodes de quadratureM2,M3 etM4 et donner leur ordre (dépendant deαet de β).

d) Ecrire l’algorithme définissant cette méthode.

e) Trouvera,b, c,d,αetβ pour que l’ordre de cette méthode soit supérieur ou égal à 3.

f) Il y a-t-il un choix des paramètres qui nous permet de dire que l’ordre de la méthode est supérieur ou égal à 4 ?