1 : Construction des schémas de différences finies

Université Pierre-et-Marie-Curie Licence de Mathématiques LM383

Equations différentielles. Méthodes de résolution numérique.

Travaux dirigés Année universitaire 2006-2007

Devoir n

1 : Construction des schémas de différences finies

Corrigé

a)Les développements de Taylor demandés s’écrivent : f_i±1= f_i ±hf_i⁰ +h²

2 f_i⁰⁰ ±h³

6 f_i⁰⁰⁰ +h⁴

24f_i⁽⁴⁾ ±h⁵

120f_i⁽⁵⁾ + h⁶

720f_i⁽⁶⁾ ±h⁷

7!f_i⁽⁷⁾+· · · f_i±1⁰ = f_i⁰ ±hf_i⁰⁰ +h²

2 f_i⁰⁰⁰ ±h³

6 f_i⁽⁴⁾ +h⁴

24f_i⁽⁵⁾ ± h⁵

120f_i⁽⁶⁾ +h⁶

720f_i⁽⁷⁾+· · · f_i±1⁰⁰ = f_i⁰⁰ ±hf_i⁰⁰⁰ +h²

2 f_i⁽⁴⁾ ±h³

6 f_i⁽⁵⁾ +h⁴

24f_i⁽⁶⁾ ±h⁵

120f_i⁽⁷⁾+· · · f_i±1⁰⁰⁰ = f_i⁰⁰⁰ ±hf_i⁽⁴⁾ +h²

2 f_i⁽⁵⁾ ±h³

6 f_i⁽⁶⁾ +h⁴

24f_i⁽⁷⁾+· · · Remarque: C’est en cherchant à répondre aux questions suivantes que l’on va pouvoir déter- miner jusqu’où il faut faire le développement.

b.1) En injectant ces égalités dans l’équation (1) de l’énoncé, on obtient le système linéaire sous-déterminé (8 équations avec 12 inconnues) suivant :

































































a₊+a₀+a₋ = 0 (f_i)

h(a₊−a₋) +(b₊+b₀+b₋) = 0 (f_i⁰) h²

2 (a₊+a₋) +h(b₊−b₋) +(c₊+c₀+c₋) = 0 (f_i⁰⁰) h³

6 (a₊−a₋) +h²

2 (b₊+b₋) +h(c₊−c₋) +(d₊+d₀+d₋) = 0 (f_i⁰⁰⁰) h⁴

24(a₊+a₋) +h³

6 (b₊−b₋) +h²

2 (c₊+c₋) +h(d₊−d₋) = 0 (f_i⁽⁴⁾) h⁵

120(a₊−a₋) +h⁴

24(b₊+b₋) +h³

6 (c₊−c₋) +h²

2 (d₊+d₋) = 0 (f_i⁽⁵⁾) h⁶

720(a₊+a₋) +h⁵

120(b₊−b₋) +h⁴

24(c₊+c₋) +h³

6 (d₊−d₋) = 0 (f_i⁽⁶⁾) h⁷

7!(a₊−a₋) +h⁶

720(b₊+b₋) +h⁵

120(c₊−c₋) +h⁴

24(d₊+d₋) = 0 (f_i⁽⁷⁾) (8)

avec une erreur de troncature d’ordre au moinsO(h⁵).

b.2)D’après les développements de Taylor de la question a), on voit que l’erreur de troncature 1

peut s’écrire sous la forme suivante : R= h⁵

120(d₊−d₋)f_i⁽⁸⁾+ h⁶

720((c₊+c₋)f_i⁽⁸⁾+ (d₊+d₋)f_i⁽⁹⁾) +O(h⁷). (9)

c.1)Comme trois des inconnues sont nulles, on a 9 inconnues et 8 équations (les 8 données par (8) avecc₋=c₀ =c₊= 0).

A l’aide des 3ème, 5ème et 7ème équations, on obtient que a₊ +a₋ = 0, b₊ −b₋ = 0 et d₊−d₋= 0. Maintenant de la 6ème et 8ème on en déduit

b₊=−5h

21a₊, d₊= h³

315a₊. (10)

Enfin, à partir des 1ère, 2ème et 4ème équations, on obtient les expressions dea₀,b₀ et d₀ en termes dea₊ :

a₀= 0, b₀ =−32h

21 a₊, d₀=−32h³

315 a₊. (11)

En divisant l’expression (1) de l’énoncé parh³ (voir (10) et (11)) et en regardant l’expression de Rdonnée dans (9), on s’aperçoit que l’ordre maximum est égal à 6 (n’oubliez pas qued₊=d₋!).

c.2)Comme le système d’équations (8) a une solution non nulle, elle est unique (on a 8 équations et 9 inconnues). Le schéma est donné par :

f_i+1⁰⁰⁰ −32f_i⁰⁰⁰+f_i−1⁰⁰⁰ =−315

h³ (f_i+1−f_i−1) + 75

h²(f_i+1⁰ +32

5 f_i⁰+f_i−1⁰ )− h⁶

360f_i⁽⁹⁾+O(h⁷).

c.3) On considère juste les 6 premières équations dans (8) en imposant d₊ = d₋ = 0. De la 3ème et la 5ème, on déduit que a₊+a₋ = 0 et b₊−b₋ = 0. Ensuite, la 6ème nous donne l’expression deb₊, la 4ème nous donne celle de d₀, la 2ème celle de b₀ et la 1ère celle de a₀ :

b₊=−h

5a₊, d₀ =−2h

15a₊, b₀ =−8h

5 a₊, a₀ = 0.

Donc, le schéma est unique et il est donné par 2f_i⁰⁰⁰= 15

h³(f_i+1−f_i−1)− 3

h²(f_i+1⁰ + 8f_i⁰+f_i−1⁰ )− h⁴

120f_i⁽⁷⁾+O(h⁵) et l’ordre est égal à 4.

d.1)On a à nouveau 9 inconnues et 8 équations (les données par (8) avec b₊ =b₀ =b₋ = 0).

La 2ème équation impliquea₊−a₋= 0 et donc en combinant la 6ème et la 8ème équation on en déduitc₊−c₋= 0 etd₊+d₋= 0. Enfin, la 4ème équation donned₀= 0!

Cela veut dire qu’il faut imposer 7 équations (les 7 premières de (8)). Ceci donne une infinité de solutions. On choisit, par exemple, d’exprimer les inconnues en fonction dea₊ etc₊ :

a₀ =−2a₊ =−2a₋, c₋=−c₊−4h²

15 a₊, c₀=−11h² 15 a₊, d₊=−h

3c₊−7h³

360a₊, d₋ =−5h³

72 a₊−h

3c₊, d₀ =−4h

3 c₊−8h³ 45 a₊. 2

Comme le terme d’ordre maximum dansRest donné par(d₊+d₋)^h₂₄⁴f_i⁽⁷⁾, l’ordre de la méthode est, au plus, 4.

d.2) On a vu dans la question précédente que le schéma n’est pas unique. On choisit, par exemple,c₊= ^h₁₅²a₊; cela donne

a₀=−2a₊=−2a₋, c₋ =−h²

3 a₊, c₀=−11h² 15 a₊, d₊=−h³

24a₊, d₋=−11h³

120 a₊, d₀ =−4h

3 c₊−8h³ 45 a₊. Le schéma est

f_i+1⁰⁰⁰ +32

5 f_i⁰⁰⁰+11

5 f_i−1⁰⁰⁰ = 24

h³(f_i+1−2f_i+f_i−1) + 8

5h(f_i+1⁰ −11f_i⁰+ 5f_i−1⁰ )−2h⁴

15 f_i⁽⁷⁾+O(h⁵).

d.3) Dans cette questiono, on a encore 7 inconnues donc on considère que les 6 premières équations de (8). Mais, à partir des équations 4 et 6 on en déduit qued₀ = 0!

Par conséquent, on doit considèrer juste les 5 premières équations de (8), ce qui nous amène encore a une infinité de solutions possibles. En fonction dea₊ etc₊, ces solutions sont

a₀ =−2a₊=−2a₋, c₋=−c₊−h² 6 a₊, c₀ =−5h²

6 a₊, d₀ =−2hc₊−h³ 6 a₊.

Dans l’expression de l’erreur, le terme dominant est ^h₆³(c₊−c₋)f_i⁽⁵⁾ donc l’ordre maximum est 2.

Par exemple, avec le choixc₊= ^h₁₂²a₊ on a le schéma : f_i⁰⁰⁰ = 3

h³(f_i+1−2f_i+f_i−1) + 1

4h(f_i+1⁰ −10f_i⁰−3f_i−1⁰ )− h²

12f_i⁽⁵⁾+O(h³).

e)On doit compléter les 8 équations de (8) avec les 3 équations suivantes :

















 h⁸

8!(a₊+a₋) +h⁷

7!(b₊−b₋) +h⁶

720(c₊+c₋) +h⁵

120(d₊−d₋) = 0 (f_i⁽⁸⁾) h⁹

9!(a₊−a₋) +h⁸

8!(b₊+b₋) +h⁷

7!(c₊−c₋) +h⁶

720(d₊+d₋) = 0 (f_i⁽⁹⁾) h¹⁰

10!(a₊+a₋) +h⁹

9!(b₊−b₋) +h⁸

8!(c₊+c₋) +h⁷

7!(d₊−d₋) = 0 (f_i⁽¹⁰⁾) Maintenant, on a 12 inconnues et 11 équations. A l’aide des équations 5ème, 7ème, 9ème et 11ème, on obtient que

a₊+a₋= 0, b₊−b₋= 0, c₊+c₋= 0, d₊−d₋= 0.

D’après les équations 1ère et 3ème, on aa₀ =c₀ = 0. Ensuite, en combinant les équations 6èmè, 8ème et 10ème, on en déduit

b₊=−41h

105a₊, c₊= 2h²

35 a₊, d₊=− h³ 315a₊. 3

Enfin, les équations 2ème et 4ème donnent b₀=−128h

105 a₊, d₀ =−16h³ 315a₊.

Donc, ce schéma est unique et, comme le terme dominant de l’erreur de troncature est h⁸

8!(d₊+d₋)f_i⁽¹¹⁾, l’ordre maximum est 8. Ce schéma est donné par

f_i+1⁰⁰⁰ + 16f_i⁰⁰⁰+f_i−1⁰⁰⁰ = 18

h (f_i+1⁰⁰ −f_i−1⁰⁰ )−123

h² (f_i+1⁰ +128

41 f_i⁰+f_i−1⁰ ) +315

h³ (f_i+1−f_i−1)−2h⁸

8! f_i⁽¹¹⁾+O(h⁹).

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