N◦4 T STMG 2
Devoir en temps libre
EXERCICE 1
Une entreprise qui fabrique des chaussures fait une ´etude sur une production journali`ere comprise entre 5 et 50 paires.
Le coˆut de production, en euros, de x paires de chaussures est donn´ee par : C(x) =x2+ 16x+ 256 Partie A
1. (a) CalculerC0(x) (Fonction d´eriv´ee de la fonctionC) information
Cette fonctionC0 est la fonction coˆut marginal.
Elle d´etermine le coˆut occasionn´e par la production d’une paire de chaussure suppl´ementaire lorsquex chaussures ont d´ej`a ´et´e fabriqu´ees
(b) Calculer C0(10) et C0(40).
Interpr´eter concr`etement ces r´esultats ( Voir information ci-dessus)
2. Tracer la repr´esentation graphique de la fonction de la fonctionC0 sur le graphique ci-dessous.
Partie B
1. Calculer le coˆut de production de 40 paires de chaussures.
2. On d´esigne par f(x) le coˆut de production moyen pourxchaussures fabriqu´ees.
3. (a) V´erifier que : f(40) = 62,4.
Interpr´eter ce r´esultat concr`etement.
(b) On rappelle que ; f(x) = C(x) x . Montrer que : f(x) =x+ 16 + 256
x
4. Calculerf0(x) puis montrer quef0(x) = x2−256 x2 5. ´Etudier le signe def0(x) .
6. ´Etablir le tableau de variation de la fonction f
7. Tracer la courbe repr´esentative de f sur le graphique ci-dessous.
On utilisera le menu table de la calculatrice afin d’obtenir un tableau de valeurs de la fonction f 8. Combien de paires de chaussures l’entreprise doit-elle fabriquer pour que le coˆut de production
unitaire moyen soit minimal ? Indiquer ce coˆut.
9. (a) V´erifier que : f(16) =C0(16)
(b) Mettre en ´evidence cette ´egalit´e sur le graphique .
1 11 mars 2017
N◦4 T STMG 2
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
20 30 40 50 60 70 80 90 100
EXERCICE 2
Un artisan fabrique des objets en bois, qu’il propose ensuite aux touristes de passage.
Pour chaque mois, il estime que le coˆut de production de xobjets est donn´e par : C(x) =x2+ 60x+ 121 pourx dans l’intervalle [1; 30]
1. Le coˆut moyen de production d’un objet pour xobjets fabriqu´es est donn´e par : f(x) = C(x) x (a) Montrer que : f(x) =x+ 60 + 121
x
(b) Calculer f0(x) puis montrer que : f0(x) = x2−121 x2
(c) ´Etudier le signe de f0(x) puis ´etablir le tableau de variation de f (d) Contrˆoler les variations en tra¸cant la fonctionf sur votre calculatrice 2. L’artisan vend chaque objet 110 euros
(a) Justifier que le b´en´efice mensuel r´ealis´e par la fabrication et la vente de x objets est ´egal `a : B(x) =−x2+ 50x−121
(b) CalculerB0(x) , ´etudier son signe puis ´etablir le tableau de variation def ( sur l’intervalle [1; 30]) (c) En d´eduire le nombre d’objets `a fabriquer et `a vendre pour ce b´en´efice soit maximal.
Donner ce b´en´efice maximal.
2 11 mars 2017
