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MPSI2, Louis le Grand

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11 : Thermodynamique

Pour le lundi 03 juin

Problème 1 : Compresseur

L’énoncé comporte un graphique (figure 2) à rendre avec la copie. On n’hésitera pas à l’annoter et à s’y référer dans la copie.

On cherche à comprimer l’air de la pressionP^◦=1 bar jusqu’à la pressionPc=200 bar.

On utilise à cet effet un compresseur fonctionnant en écoulement permanent. Il admet l’air à une pression Peet le refoule, après compression, à une pressionPs(voir la figure 1). On admet que, sauf mention explicite du contraire, la transformation est adiabatique et réversible.

Fig. 1 : Cycle d’admission, de compression et de refoulement du compresseur.

I Compression en un étage

On étudie la traversée du compresseur d’une massemde fluide admise dans les conditionsPe =P^◦, θe=20^◦C. On notePsetθsles conditions en sortie du compresseur.

On utilise le diagrammeP , hde la figure 2 représentant les isothermes, les isochores et les isentropiques de l’air dans le plan des coordonnées pression (P) et enthalpie massique (h).

I.1. (a) Représenter les points correspondant (on les noteraE1etS1) aux conditions d’entrée et de sortie si la température maximale qu’on ne souhaite pas dépasser estθmax =200^◦C. On noteraP1la pression correspondante.

(b) En déduire le travail mécanique utile à fournir par unité de masse, notéw1 pour réaliser cette compression.

I.2. On constate que pour ce travailw1, la pression finale atteinte n’est que de 3 bar. Déterminer la création d’entropie par unité de masse si la transformation est toujours considérée adiabatique.

I.3. On considère de nouveau la transformation réversible mais plus nécessairement adiabatique. La pres- sion finale est de nouveauP1 mais on observe une température finaleθ⁰₁ = 120^◦C. En déduire le travail utile massique correspondant, notéw⁰₁. On considèrera que le compresseur est plongé dans l’at- mosphère de températureθatm=20^◦C.

II Compresseur multiétagé

Pour atteindre une pression dePc =200 bar, sans dépasser la températureθmax, on envisage un cycle de plusieurs compressions jusqu’à la températureθmax, suivies chacune d’un refroidissement isobare par contact thermique jusqu’à la températureθatm=20^◦C.

Les transformations dans le le compresseur sont de nouveau considérées adiabatiques et réversibles.

II.1. (a) Représenter sur le diagramme l’état de l’air après la première compression et le premier refroidis- sement. Préciser la pression atteinte.

(b) Déterminer le transfert thermique massique reçu par l’air pendant le refroidissement isobare.

II.2. (a) Représenter la suite des transformations permettant d’arriver jusqu’àPc=200 bar sans dépasser θmax=200^◦C. Combien de cycles sont nécessaires ?

(b) Déterminer le travail utile total nécessaire fourni par le compresseur.

III Comparaison au gaz parfait

On compare dans cette partie les résultats précédents au modèle du gaz parfait. On modélise l’air par un gaz parfait de coefficientγ=Cpm/Cvm=1,4 et de masse molaireM.

III.1. Donner l’expression de la variation∆hde l’enthalpie massique de l’air en fonction de la variation de sa température∆T, de la constante des gaz parfaitsR, de la constanteγet de la masse molaireM.

III.2. On considère la transformation adiabatique et réversible d’un gaz parfait des conditionsPi, Tià la températureRf. Donner l’expression de la pressionPfatteinte en fonction dePi, Ti, Tfetγ.

III.3. En déduire la pression atteinte et le travail utile reçu du compresseur lors d’une compression adia- batique et réversible dePi = P^◦, θi = 20^◦C jusqu’àθmax = 200^◦C. Comparer au cas duII.1et commenter.

III.4. Le travail utile nécessaire pour comprimer en plusieurs étages jusqu’àPc =200 bar est-il supérieur pour le gaz réel ou pour le gaz parfait ? On cherchera à répondre sans faire de calcul.

Données : constante des gaz parfaitsR=8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹,M=29 g·mol⁻¹.

Problème 2 : Étude d’un congélateur

L’énoncé comporte un graphique (figure 3) à rendre avec la copie. On n’hésitera pas à l’annoter et à s’y référer dans la copie.

On étudie un congélateur dans lequel le tétrafluoroéthane (CF3CH2F) subit des transformations cycliques en écoulement permanent.

On utilise le diagrammeP , hde la figure 3 représentant les isothermes, les isochores les isentropiques de l’air et les isotitres (courbes de titre massique en vapeur constant) dans le plan des coordonnées pression (P) et enthalpie massique (h).

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/4 2018–2019

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11 : Thermodynamique

I Généralités

I.1. Comment varie l’enthalpie d’un fluide lors de sa vaporisation monobare ? En déduire les domaines du liquide, de la vapeur sèche et du mélange diphasé.

I.2. Lire sur le diagramme l’enthalpie massique de vaporisation du fluide à 0^◦C ainsi que son entropie massique de changement d’état à la même température. Calculer leur quotient et commenter.

I.3. Justifier la forme des isothermes dans le domaine du fluide diphasé.

I.4. Quelle est la forme des isothermes pour les valeurs dehélevées et dePfaibles dans le domaine du gaz.

Commenter.

II Cycle du congélateur en fonctionnement

Le fluide parcourt le cycle suivant.

1→2 Le fluide est initialement un liquide saturant à la pressionP1 =10 bar. Il subit une détente qu’on considère adiabatique dans le détendeur qui ne lui fournit aucun travail. Sa pression est alorsP2 = 1 bar.

2→3 Le fluide est entièrement vaporisé de manière isobare au voisinage de la source froide jusqu’à obtenir une vapeur saturante.

3→4 Le fluide est comprimé de manière adiabatique et réversible jusqu’à la pressionP1dans le compresseur.

4→1 Le fluide est entièrement liquéfié de manière isobare au voisinage de la source chaude jusqu’à l’état initial.

II.1. (a) Représenter le cycle sur le diagramme. Relever les températures de chacun des points ainsi que la composition du fluide dans l’état2.

(b) Déterminer les transferts thermiques massiques reçus de la source chaude (nomméqc) et la source froide (nomméqf), ainsi que le travail utile massique fourni par le compresseur.

II.2. (a) Proposer une définition de l’efficacité du cycle et calculer sa valeur en fonction des grandeurs déterminées précédemment.

(b) Établir l’expression de l’efficacité de Carnot d’une machine frigorifique pour un cycle réversible entre une source chaude à une températureTcet une source froide à une températureTfen fonction deTcetTf.

(c) L’évaporateur est en contact avec l’intérieur du congélateur de températureθg = −18^◦C, et le condenseur avec l’atmosphère àθe=20^◦C. En déduire la valeur de l’efficacité de Carnot et comparer au résultat deII.2a. Commenter.

(d) Les valeurs deθgetθepermettent-elles le fonctionnement du congélateur ?

II.3. On mesure une consommation électrique du compresseur deP=200 W et le circuit utilise une masse de fluidem=120 g. En déduire la durée, notéeD, d’un cycle.

II.4. En raison de l’isolation thermique imparfaite de l’intérieur du congélateur, il existe un transfert ther- mique de réchauffement de l’extérieur vers la source froide dont on noteQrla valeur sur la duréeD d’un cycle du fluide.

(a) Déterminer la valeur deQr.

(b) On admet que le transfert de réchauffementδQrpendant un temps dts’exprime, en fonction de la température extérieureθestationnaire et de la températureθgde l’intérieur du congélateur selon :

δQr=hr(θe−θg)dt.

Déterminer la valeur de la constantehret en déduire la puissance consommée en régime station- naire par le congélateur quand on veut maintenirθg =−18^◦C avec une température extérieure θe=30^◦C.

III Énergie consommée

On souhaite congeler une massemc=3 kg initialement àθ=θe=20^◦C.

III.1. Déterminer le travail électrique nécessaire en utilisant le congélateur ainsi que la durée de congélation.

III.2. Mêmes questions en utilisant une machine de Carnot dont la source chaude serait l’atmosphère à θe =cste et dont la source froide serait la massemcd’eau, dont la température décroît au cours du fonctionnement. Commenter

Données :capacité thermique massique de l’eau liquide :cH2O=4,2 kJ·kg⁻¹·K⁻¹; capacité thermique massique de la glace :cH2O = 2,1 kJ·kg⁻¹·K⁻¹enthalpie massique de fusion de l’eau liquide à 0^◦C :

`f =333 J·g⁻¹.

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11 : Thermodynamique

Fig. 2 : Diagramme pression (P)-enthalpie massique (h) de l’air. On y a représenté les courbes d’entropie massique constante (légendéess=. . .en kJ·K⁻¹·kg⁻¹), les courbes de température constante (légendées T=. . .en^◦C), les courbes de volume massique constant (légendéesv=. . .en m³·kg⁻¹).

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11 : Thermodynamique

Fig. 3 : Diagramme pression (P)-enthalpie massique (h) du fluide R134a. On y a représenté les courbes d’entropie massique constante (légendéess=. . .en kJ·K⁻¹·kg⁻¹), les courbes de température constante (légendéesT =. . .en^◦C).