Devoir Libre n

ÉCS2

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EMLyon 2006 et compléments

Dans ce devoir, on traite un problème donné à l’EM en 2006 puis deux applications classiques (parties II & III) qui ne figuraient pas dans le sujet initial.

Soitnun entier supérieur ou égal à2. On désigne parI_n, la matrice unité deMn(C).

On considère un n-uplet(a₀, a₁, . . . , a_n−1)deCⁿ et le polynôme : P = Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a1X +a0

On note Cla matrice deMn(C)définie par

CP=



























0 · · · 0 −a0

1 . .. (0) ... −a1

0 . .. . .. ... ... ... . .. . .. . .. ... ... ... (0) . .. . .. 0 −an−2

0 · · · 0 1 −a_n−1

























 .

On dit queCest la matrice compagnon du polynôme P.

On note B0= (e1, . . . , en)la base canonique deCⁿ.

On note idl’application identité deCⁿ et on appellef l’endomorphisme de Cⁿ tel que Csoit la matrice associée àf relativement à la baseB0.

On note f⁰=idet, pour tout entier naturelk,f^k+1=f^k◦f. PartieI. Le problème EM-Lyon 2006

1. a)Exprimer, pour touti∈[[1 ;n−1]],f(ei)en fonction deei+1.

b)En déduire : ∀j∈[[1 ;n−1]], f^j(e1) =ej+1 etfⁿ(e1) =−(a0e1+a1e2+· · ·+ a_n−1en).

2. Soitg l’endomorphisme deCⁿ défini parg=fⁿ+a_n−1fⁿ⁻¹+· · ·+a1f+a0id.

a)Vérifier : g(e1) = 0.

b)Montrer : ∀i∈N, g◦fⁱ=fⁱ◦g.

c) En déduire : ∀i∈[[1 ;n]], g(ei) = 0.

d)Montrer que le polynômePest annulateur de l’endomorphismef.

Application 1 :Déterminer une matriceA∈M5(C)telle queA⁵= A³+ 2A²+ I5. e)Établir que toutes les valeurs propres deCsont des racines du polynômeP.

3. a)SoitQ =α0+α1X +· · ·+an−1Xⁿ⁻¹ un polynôme non nul et de degré inférieur ou égal àn−1.

On note Q(f) l’endomorphisme de Cⁿ défini par Q(f) = α0id+α1f +· · ·+ αn−1fⁿ⁻¹.

CalculerQ(f)(e1).

b)En déduire qu’il n’existe pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à n−1 et annulateur def.

c) Soitλune racine du polynômeP.

Il existe donc un unique polynômeR∈C[X]tel queP = (X−λ)R.

Vérifier que(f−λid)◦R(f) = ˜0, où˜0est l’endomorphisme nul deCⁿ. d)Conclure que toutes les racines du polynômePsont des valeurs propres deC.

Ce qui est pratique dans un livre, c’est que les pages sont numérotées et ordonnées.

Dans l’ensemble, ça facilite la lecture.

4. a)Montrer que, pour tout nombre complexe x, la matrice (C−xI_n) est de rang supérieur ou égal àn−1. En déduire que chaque sous-espace propre deCest de dimension1.

b)En déduire queCest diagonalisable si et seulement si Padmetnracines deux à deux distinctes.

5. a)Application 2 :Montrer que la matriceA1=











0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0











deM4(C)est diago-

nalisable.

b)Application 3 : Montrer que la matrice A₂ =











0 0 0 4 1 0 0 −8 0 1 0 3 0 0 1 2











de M4(C) n’est

pas diagonalisable.

6. On noteB = ^tCla matrice transposée deC.

a)Montrer que, pour tout nombre complexet, la matrice(B−tI_n)est inversible si et seulement si la matrice(C−tI_n)est inversible.

b)En déduire que les matricesBet Cont les mêmes valeurs propres.

c) Soitλune valeur propre de B. Déterminer une base du sous-espace propre deB associé àλ.

d)On suppose que le polynômePadmetnracinesλ1, . . . , λn deux à deux distinctes.

Montrer queBest diagonalisable et en déduire que la matrice

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V =

















1 1 · · · 1

λ₁ λ₂ · · · λ_n λ²₁ λ²₂ · · · λ²_n ... ... ... λⁿ⁻¹₁ λⁿ⁻¹₂ · · · λⁿ⁻¹_n

















est inversible.

7. SoitEunC-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme deEadmet- tantnvaleurs propresµ₁, . . . , µ_n deux à deux distinctes.

L’endomorphismeuest donc diagonalisable et on noteE = (e₁, . . . , e_n)une base deE constituée de vecteurs propres deurespectivement associés àµ₁, . . . , µ_n. a)Soita=ε1+ε2+· · ·+εn. Montrer que la familleBa= a, u(a), . . . , uⁿ⁻¹(a)

est une base deE.

b)Montrer qu’il existe un polynôme P1 = Xⁿ+b_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+b1X +b0 tel que la matrice associée àurelativement à la base Ba = a, u(a), . . . , uⁿ⁻¹(a)

soit la matrice compagnon du polynômeP1.

PartieII. Application à la localisation des racines d’un polynôme.

SoitA = (ai,j)une matrice de Mn(C). On pose :

∀i∈[[1 ;n]], r_i=

n

X

j=1

|ai,j|,ρ= max(r₁, . . . , r_n)etD={z∈C,|z|6ρ}}.

PourX = xi

16i6n∈ Mn,1(C), on notekXk= max

16i6n|xi|.

1. Soitλ∈Sp(A)etX = xi

16i6n un vecteur propre associé à λ.

Montrer que pour tout entieride[[1 ;n]]:|λxi|6rikXk.

2. Démontrer que : Sp(A)⊂D.

3. SoitP = Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a1X +a0 un polynôme deC[X].

Établir que toutes les racines deP sont dans le disque fermé de centre 0 et de rayonR = max{|a0|,1 +|a1|,1 +|a2|, . . .,1 +|an−1|}.

4. SoitQ =b_nXⁿ+b_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+b₀ un polynôme deC[X]de degrén. Proposer un majorant du module de ses racines.

5. Application :

Soita,b,cetdquatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l’équation d’inconnuen:

n^a+n^b =n^c+n^d n’admet pas de solution surN\ {0,1}.

Partie III. Applications aux suites récurrentes linéaires.

On note E =C^N l’espace vectoriel des suites de complexes et siuest une suite de E, on écrira u(n)à la place deu_n pour désigner l’image denparu.

On considère le polynômeP = X^p+a_p−1X^p−1+. . .+a₀ deC[X]aveca₀6=0et on lui associe le sous-espace vectorielFdeE formé des élémentsuvérifiant la relation :

∀n∈N:u(n+p) =−a_p−1u(n+p−1)−. . .−a₀u(n).

1. Montrer que siλest racine dePalors la suiten7→λⁿ est élément de F.

2. Soitϕl’application deFversC^p définie par :u7→(u(0), u(1), . . ., u(p−1)), mon- trer que ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Quelle est la dimension de F?

3. Pour tout entier06i6p−1 on définit les élementsei deFpar : ei(i) = 1 et, lorsque06j6p−1et j6=i, ei(j) = 0.

a)Déterminer, pour toutidans[[0 ;p−1]],e_i(p).

b)Montrer que le système de vecteurs(e0, e1, . . ., ep−1)est une base deF.

c) Soituun élément deF, établir que u=

p−1

X

i=0

u(i)ei.

4. Siuest un élément deE, on définit l’élémentf(u)deEpar : f(u) :n7→u(n+ 1).

Montrer que l’applicationf ainsi définie est un endomorphisme deEet queFest stable parf.

5. Si gest l’endomorphisme de Finduit parf, montrer que la matrice deg dans la base(e0, e1, . . ., e_p−1)est ^tCP.

6. On suppose quePadmetpracines non nulles et deux à deux distinctes : λ0, λ1, . . .,λ_p−1.

a)Déterminer une base deFformée de vecteurs propres deg.

b)En déduire que, si uest élément de F, il existe des constantes complexes k0, k1, . . .,kp−1telles que :

∀n∈N, u(n) =k0λⁿ₀+k1λⁿ₁ +. . .+kp−1λⁿ_p−1. 7. Exemple : (On revient à la notation usuelle un)

Soita,betc trois réels distincts.

Déterminer une base de l’espace vectoriel des suites définies par u₀, u₁ et u₂ et par la relation de récurrence valable pour toutn∈N:

u_n+3= (a+b+c)u_n+2−(ab+ac+bc)u_n+1+abcu_n.

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