Devoir libre n

Mathématiques

Devoir libre n ^o 11

à rendre le jeudi 17 mars 2011

Nombres réels et suites

Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.

Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le précisera dans sa copie.

Ï L’épreuve comporte un problème et un exercice sur les suites.

Paris XVI^e 2010-2011

Problème

Autour de la constante d’Euler

Pour tout entier naturelnnon nul, on pose

H_n=

n

X

k=1

1 k. Les deux parties du problème ne sont pas indépendantes.

Partie 1 — Développement asymptotique de la série harmonique

La partie a pour but d’obtenir un développement asymptotique deH_nà deux termes.

1. 1. Deux inégalités.

1. 1. a. Etablir que

∀k∈N^∗, 1

k+1Éℓn(k+1)−ℓn(k)É 1 k 1. 1. b. En déduire que

∀n∈N^∗, ℓn(n+1)ÉHnÉℓn(n)+1 1. 2. La constante d’Euler. Pour toutn∈N^∗, on pose

u_n=H_n−ℓn(n+1) et v_n=H_n−ℓn(n)

1. 2. a. Montrer que (u_n)_nÊ1et (v_n)_nÊ1sont adjacentes. On noteγleur limite commune, appelée constante d’Euler.

1. 2. b. Etablir que 0<γ<1.

1. 2. c. Justifier que

H_n=ℓn(n)+γ+o(1)

Partie 2 — Application à la série harmonique alternée

Pour tout entier naturel non nuln, on pose

x_n=

2n

X

k=n+1

1

k et y_n=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k

2. 1. Etude de(x_n)_nÊ1.En utilisant les résultats de la partie 1, établir que (x_n)_nÊ1converge vers ℓn(2).

2. 2. Etude de(x_n)_nÊ1.

2. 2. a. Montrer que (y_2n)_nÊ1et (y_2n+1)_nÊ1sont adjacentes.

2. 2. b. En déduire que (y_n)_nÊ1converge.

2. 2. c. Vérifier que

∀n∈N^∗, y_2n=x_n 2. 2. d. En déduire la limite de (y_n)_nÊ1.

Exercice — Posé à centrale Etudier la convergence de¡

⌊aⁿ⌋^1/n¢

n∈N^∗poura>0.

Corrigé du problème Autour de la constante d’Euler

Partie 1 — Développement asymptotique de la série harmonique

La partie a pour but d’obtenir un développement asymptotique deH_nà deux termes.

1. 1. Deux inégalités.

1. 1. a. Soitk∈N^∗. On a

∀kÉxÉk+1, 1 k+1É 1

x É1 k d’où, par positivité de l’intégrale,

Z_k+1

k

d xk+1É Z_k+1

k

d x x É

Z_k+1

k

d x k

ie. 1

k+1Éℓn(k+1)−ℓn(k)É 1 k

1. 1. b. Soitn∈N^∗. Pour tout 1ÉkÉn, on déduit de la question précédente que ℓn(k+1)−ℓn(k)É1

k d’où, par superposition des inégalités,

Xn k=1

(ℓn(k+1)−ℓn(k))É Xn k=1

1 k soit, après telescopage,

ℓn(n+1)ÉHn

Pourn=1,H₁=1Éℓn(1)+1=1. On peut donc supposernÊ2. Pour tout 1ÉkÉn−1, on déduit de la question précédente que

ℓn(k+1)−ℓn(k)Ê 1 k+1 d’où, par superposition des inégalités,

n−1X

k=1

(ℓn(k+1)−ℓn(k))Ê

n−1X

k=1

1 k+1 soit, après telescopage,

ℓn(n+1)ÊH_n−1 On en déduit que

HnÉℓn(n)+1

1. 2. La constante d’Euler. Pour toutn∈N^∗, on pose

u_n=H_n−ℓn(n+1) et v_n=H_n−ℓn(n) 1. 2. a. Procédons en trois temps.

Ï Pour toutn∈N^∗, on a

u_n+1−u_n=H_n+1−H_n−ℓn(n+2)+ℓn(n+1)= 1

n+1−ℓn(n+2)+ℓn(n+1)Ê0 d’après la question1.1.a.appliquée àk=n+1. Ainsi (u_n)_nÊ1est croissante.

Ï Pour toutn∈N^∗, on a

v_n+1−v_n=H_n+1−H_n−ℓn(n+1)+ℓn(n)= 1

n+1−ℓn(n+1)+ℓn(n)É0 d’après la question1.1.a.appliquée àk=n. Ainsi (v_n)_nÊ1est décroissante.

Ï On a clairement

∀n∈N^∗, v_n−u_n=ℓn(n+1)−ℓn(n)=ℓn³ 1+1

n

´

∼ 1 n aisni

n→+∞lim (v_n−u_n)=0 Les suites (u_n)_nÊ1et (v_n)_nÊ1sont donc adjacentes.

1. 2. b. Comme les suites (u_n)_nÊ1et (v_n)_nÊ1sont adjacentes de limiteγet respectivement croissante et décroissante, on a

∀n∈N^∗, unÉγÉvn

Commeu₁=1−ℓn(2)>0 etv₂=3/2−ℓn(2)<1 (carℓn(2)>1/2), on a 0<γ<1.

1. 2. c. On a

n→+∞lim (v_n−γ)=0= lim

n→+∞(H_n−ℓn(n)−γ) ce qui équivaut à

H_n=ℓn(n)+γ+o(1)

Partie 2 — Application à la série harmonique alternée

Pour tout entier naturel non nuln, on pose x_n=

2n

X

k=n+1

1

k et y_n=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k 2. 1. Etude de(x_n)_nÊ1.Pour tout entier naturelnnon nul, on a

xn=H2n−Hn

Or, d’après la dernière question de la première partie, on aH_n=ℓn(n)+γ+o(1). On en déduit que x_n=ℓn(2n)−ℓn(n)+o(1)=ℓn(2)+o(1)

ie.

n→+∞lim x_n=ℓn(2)

2. 2. Etude de(x_n)_nÊ1.

2. 2. a. Procédons en trois temps.

Ï Soitn∈N^∗. On a

y_2n+2−y_2n= 1

2n+1− 1 2n+2>0 donc (y_2n)_nÊ1est croissante.

Ï Soitn∈N^∗. On a

y_2n+3−y_2n+1= − 1

2n+2+ 1 2n+3<0 donc (y_2n)_nÊ1est décroissante.

Ï On a clairement

∀n∈N^∗, y_2n+1−y_2n= 1 2n+1 d’où

n→+∞lim (y_2n+1−y_2n)=0 Ainsi (y_2n)_nÊ1et (y_2n+1)_nÊ1sont donc adjacentes.

2. 2. b. Comme (y_2n)_nÊ1et (y_2n+1)_nÊ1sont adjacentes, elles sont convergentes de même limite et on déduit alors du cours sur les suites extrzites que la suite (y_n)_nÊ1converge vers cette limite commune.

2. 2. c. Soitnun entier naturel non nul. On a y2n=

X2n k=1

(−1)^k−1

k =

n−1X

m=0

(−1)^2m 2m+1+

Xn m=1

(−1)^2m−1 2m

=

n−1

X

m=0

1 2m+1−

n

X

m=1

1 2m=

2n

X

m=1

1 m−2×

n

X

m=1

1 2m

=H_n+1−H_n=x_n

2. 2. d. On déduit de ce qui précède que

n→+∞lim y_n= lim

n→+∞y_2n= lim

n→+∞x_n=ℓn(2)

Corrigé de l’exercice — Posé à centrale

Envisageons plusieurs cas...

Ï Si a=1, la suite est constante égale à 1.

Ï Si0<a<1, 0<aⁿ<1 à partir d’un certain rang et la suite est stationnaire à zéro.

Ï Si a>1, on a pour toutn∈N

aⁿ−1< ⌊aⁿ⌋ Éaⁿ d’où, puisqueaⁿ−1<0,

(aⁿ−1)^1/n< ⌊aⁿ⌋^1/nÉa

Commea>1, on déduit des croissances comparées que

ℓn(aⁿ−1)=nℓn(a)+ℓn(1−a⁻ⁿ)=nℓn(a)+o(n) d’où

(aⁿ−1)^1/n=e^{n1ℓn(an−1)}=e^ℓn(a)+o(1) et donc

n→+∞lim (aⁿ−1)^1/n=a

par continuité de l’exponentielle. On déduit alors du théorème d’encadrement que la suite de l’énoncé converge versa.